2022-2023学年河北省石家庄市高一下学期第一次月考数学试题2【含答案】

2022-2023学年河北省石家庄市高一下学期第一次月考数学试题

一、单选题

1.已知向量m=(4,-1),〃=(-5,2),且(戊+砂〃(初则实数X=()

-77

A.1B.—1C.-D.—

55

【答案】B

【分析】分别求〃?+〃和〃的坐标，再根据向量平行，列式求解.

【详解】/??+«=(-1,1),x∕77-n=(4x+5,-x-2),

因为(/"+")//(ʌm-"),fiffl⅛(-l)×(-x-2)-(4x+5)=0,

解得：x=-l.

故选：B

【点睛】本题考查向量平行的坐标表示，重点考查计算能力，属于基础题型.

1]3

2.已知点42,-5),8(万，5),则与向量A8同方向的单位向量是

A.(9)-/43、

D.(——,-)

555555

【答案】C

与向量同方向的单位向量是

【详解】试题分析:A”-.)

【解析】单位向量的求法.

3.在4ABC中，AQ为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB=

3113

A.-AB——ACB.-AB——AC

4444

31—1一3…

C.-A8+-ACD.-AB+-AC

4444

【答案】A

【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得=+之后

应用向量的加法运算法则——三角形法则，得到BC=BA+AC，之后将其合并，得到

3131

BE=^-BA+-AC下一步应用相反向量，求得=从而求得结果.

44944

【详解】根据向量的运算法则，可得

E

BE=-BA+-BD=-BA+-BC=-BA^-（BA+AC∖=-BA+-BA+-AC=-BA+-AC

222424v724444f

31

所以破=2/18——AC,故选A.

44

【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、

向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每

一步运算.

4.对任意向量α1,下列关系式中不恒成立的是

A.∣a∙⅛>∣≤∣α∣∣⅛∣

B.∣<7-⅛∣≤∣∣W∣-∣∕J∣∣

C.(a+b)2=∖a+b∖2

D.(«+⅛)(α-⅛)=ɑ2-⅛2

【答案】B

【详解】因为卜川=|陋际〈。力〉日|刑，所以选项A正确；当4与/,方向相反时，,”|邨|训

不成立,所以选项B错误:向量的平方等于向量的模的平方,所以选项C正确；（4+租〃-。）=。2-。2,

所以选项D正确.故选B.

【考点定位】1、向量的模；2、向量的数量积.

TT

5.已知ABC中角A、B、C对边分别为“、b、c,若α=4,A=-,则6+c的最大值为（）

A.4B.6C.8D.以上都不对

【答案】C

【分析】利用余弦定理结合基本不等式可求得b+c∙的最大值.

【详解】由余弦定理可得16="=b1+c2-2Z>ccosA-b2+c2-⅛c=(⅛+c)^-2>bc

N(6+c)2一,

v,44

所以，(⅛+C∙)2≤64,即6+C≤8,

当且仅当。=c=4时，等号成立，故b+c的最大值为8.

故选：C.

6.已知三个向量〃，b，C共面，且均为单位向量，a∙b=0,则I。+。-Cl的取值范围是

A.[五-1,五+1]B.[1,逝]C.[√2,√3]D.[√2-l,l]

【答案】A

【详解】因为α∕=0,所以∣α+∕√=∕+2a.6+/=2,所以∣α+6∣=√∑,所以∣α+∕,-c∣2=

a2+b2+c,2+2a∙b-2(a+b)∙c=3-2(α+0)∙c,则当C与(α+/?)同向时3+A)∙c最大，|〃+/?—e『最

2

小，此时(α+6)∙c=k+"c|cosO。=应，∣67+⅛-c∣=3-2√2,所以∣d+B-√Imin=0-1；当C与

(α+b)反向时(α+b)∙c最小，∣α+b-cf最大，此时(α+6)∙c=∣<2+Z2∣∣C∣COSΛ∙=-Λ∕2,

∣Λ+⅛-C∣2=3+2√2,所以∣4+b-c∣M=&+1,所以∣“+b-c∣的取值范围为[√Σ-1,√Σ+1],故选

A.

7.如图所示，等边一ABC的边长为2,。位边AC上的一点，且Az)=2AC，VAOE也是等边三角

44

形，若BEBD=则2的值是()

【解析】根据向量表示以及向量数量积定义化简条件，解得结果.

【详解】BEBD=(BA+AE)(BA+AE+ED)

2~2

=BA~+BA∙AE-}-BA∙ED+AE∙BA+AE~+AEED

=22+2-2λcos--2-2λ+2-2λcos-+4λ2+4λ2cos-

333

=2Λ2+4

4442

则2宏+4=方=£=：因为2>0,所以/1=(.

故选：A.

【点睛】本题考查向量表示以及向量数量积，考查基本分析求解能力，属中档题.

8.在,ABC中，角A、B、C所对的边分别为“、b、c,a=b=5,c=8,/是,.ΛBC内切圆的圆

心，^AI=xAB+yAC,则X+N的值为()

20Clo-3-13

A.—B.—C.-D.——

33218

【答案】D

【分析】计算出一43C的内切圆半径，以AB直线为X轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐

标系，利用平面向量的坐标运算可求得X、y的值，即可得解.

【详解】α=)=5,c=8,所以，ABC内切圆的圆心/在AB边高线OC上(也是AB边上的中线),

∙∙Q=O3=4,OC≈√βC2-OB2ɪ√52-42ɪ3-

以AB直线为X轴，A8的垂直平分线为V轴建立平面直角坐标系，

则A(T0)、8(4,0)、C(0,3),

设_A6C的内切圆的半径为r，根据等面积法可得：—a-OC=—(«+⅛+c)r,

解得'=ξ⅛⅛=g,即点/(。*,则川=(8,0),AC=(4,3),A/=(4,g

^8x+4γ=4x=A

18,,13

因为A/=xAB+yAC,则,。4,解得,4)则mf=G

3>'=-

-3

故选：D.

二、多选题

9.已知向量。,方是同一平面ɑ内的两个向量，则下列结论正确的是()

A.若存在实数2,使得〃="，贝跖与。共线

B.若°与6共线，则存在实数2,使得/,=zla

C.若α与人不共线，则对平面ɑ内的任一向量c,均存在实数大〃，使得c=+

D.若对平面ɑ内的任一向量°,均存在实数4〃，使得c=2α+〃匕，则°与人不共线

【答案】ACD

【解析】根据平面向量共线、平面向量的基本定理判断出正确选项.

【详解】根据平面向量共线的知识可知A选项正确.

对于B选项，若“与b共线，可能a=0,当6为非零向量时，不存在实数％,使得6=20,所以B

选项错误.

根据平面向量的基本定理可知C、D选项正确.

故选：ACD

【点睛】本小题主要考查平面向量共线、平面向量的基本定理，属于基础题.

10.已知两个单位向量e∣,e2的夹角为仇则下列结论正确的是（）

A.不存在仇使e「e?=啦B.∣el—2e,∣=∣2el-e2∣

13

C.当，=120?时，（2e/e2＞（e「2e2）=5D.e∣在e?方向上的投影数量为Sine

【答案】ABC

【分析】根据条件知同=同=1,再利用数量积的定义及运算逐一对各个选项分析判断即可得出结

果.

【详解】因为两个单位向量q,弓的夹角为。，所以同=同=1,

选项A,因为e∣∙e?=同同CoSe=Cos。，又6e[θ,π],所以e∣∙e2≤l,故选项A正确；

选项B,因为卜∣-2eJ=同-4ele2+4p2∣=5-4e1e2=5-4cos0,

∣2el-¢2∣=4∣el∣-4^1∙e2+∣e2∣=5-4e∣∙e?=5-4cos0,所以＞∣-2eJ=∣2^l-e2∣,即

pl-2e,∣=∣2¢l-e2∣,故选项B正确；

选项C,因为（2e∣-ez）∙（e∣-2e?）=2同°_5e「g+2,2『=4-5e,∙e2=4-5cos（9,

113,

又夕=120?,所以（2e∣-∕＞（e∣-？々）=4-5x（-]）二万，故选项C正确；

选项D,因为q在C?方向上的投影数量为甘"=同COSO=COsd,故选项D错误.

故选：ABC.

II.已知。为坐标原点，点6(COSC,sina),Λ(cos/?,-sin/?),鸟(CoS(C+y0),sin(α+;?)),A(l,0),

则()

A∙∣04I=IoWB.卜止,可

C.OAoP3=OP∖∙OP1D.OAoP∖=OP2∙OP3

【答案】AC

UUUUUU

【分析】A、B写出。4，OP2、APl,A6的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据

向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.

【详解】A：Oq=(COSa,sinα),OP2=(cosβy-sinβ),所以Ioql=JCoS?α+sin?α=1,

22

IOP2∣=λ∕(cosy5)+(-sin∕7)=1,故IoIl=I"|,正确；

B：AP{=(cos□r-l,sintz),AP2=(cosyff-l,-siny?),所以

222

IAPxI=J(CoSa-1)」+sin"α=√cosa-2cosα÷l+sina=,2(1-cosa)=J4siny=2∣sin-ɪ∣,同理

IA鸟I=J(CoS夕-1)2+sin?)=21sin?I,故∣∣,∣|不一定相等，错误；

C：由题意得：OA∙OF∖t=1×cos(a+∕?)+0×sin(α÷∕?)=cos(α÷β),

OPxOP2=cosa∙cos∕?÷sina∙(-sinβ)=cos(α÷β),正确；

D：由题意得：OA-OPx=l×∞sα÷0×sina=cosa,OP2∙OP3=cosβ×cos(a+/7)+(-sin∕?)×sin(<z+β)

=cos(β+(α+β))=cos(α+2β),故一般来说。4∙O<wOR∙O^故错误；

故选：AC

〃力,当a,〃不共线时

12.定义一种向量运算“⑤”：a0z7=k⅛∣当Qb共线时，(〃，力是任意的两个向量)对于同一平

面内的向量〃，b,C,e,给出下列结论，其中正确的选项是()

A.a®b=h®ciB.X(a应方)=(之a)应伙，∈R)；

C.(a+b)®c=a®c+b®c；D.若e是单位向量，则卜区e∣≤∣a∣+1

【答案】AD

【分析】AD可根据定义及向量运算法则计算得到；BC可举出反例.

【详解】A选项，因为“∙∙=6∙α,卜-4=性故aBb=b③a，A正确；

B选项，当a力不共线时，A(a®b)=Aa-b,(Aa)®b=Aab,

当α,b共线时，Λ(a0⅛)=Λ∣a-⅛∣,(λ^h=∖λa-l^,

不妨设2=2,β=(l,0),⅛=(2,0),则曲-*2,1£一相OI=0,故B错误;

C选项，不妨设α=(O,l),6=(2,0),c=(2,l),满足4+%,c共线，α,c与b,c均不共线,

当α+B,c共线时，S+3③c=∣α+力一Cl=O,

α,c与/7,C均不共线时，a®c+b®c=a-c+b-c=\+^=5>

此时两者不相等，故C错误；

D选项，e是单位向量，当α,e不共线时，,③e∣=ke∣=∣qcos0≤∣”∣<∣α∣+l,

当a,e共线时，∣θ<S>4=∣α-e∣≤同+H≤∣α∣+1,

故若e是单位向量，则卜z8e∣Sa∣+l,D正确.

故选：AD

三、填空题

13.ABCO是边长为1的正方形，E、F分别是3C、8的中点，则AE∙AF=.

【答案】1

【分析】建立平面直角坐标系，得出点坐标，向量的坐标，再由向量的数量积的坐标运算可得答案.

【详解】建立平面直角坐标系，如图所示；

则A(0,0)、8(1,0)、C(1,1)、D(O5I),

因为E、F分别是8C、CZ)的中点，则小?、叫,1

所以AE=(I,；AF=K』］,故AE∙AF=IXLLX1=1.

U)22

故答案为：1∙

【点睛】本题考查平面向量的坐标表示，向量的数量积的坐标运算，属于基础题.

14.已知.ABC中角A、B、C对边分别为“、b、c,若a:b:c=3:2:6,则LABC中最大角的余弦

值为.

【答案】-B

6

【分析】根据大边对大角，结合余弦定理求解即可.

【详解】因为a:b:c=3:2：6,不'妨设a=3k,b=2k,c=币k(k>O),

在三角形中，大边对大角，所以最大角为A,

根据余弦定理‘c°X=L〃+⅛C2—qM22+3-32-2√3

2×2×∙j3~4-j3~6

故答案为：-3.

6

15.如图，在,ABC中，。是BC的中点，E在边48上，BE=2EA,AO与CE交于点。.若

A8∙AC=6AO∙EC,则下的值是.

【答案】√3∙

【分析】由题意将原问题转化为基底的数量积，然后利用几何性质可得比值.

【详解】如图，过点D作DFVCE,交48于点F,由BE=2E4,。为BC中点，⅛BF=FE=EAAO=OD.

6AO.EC=3AO∙(AC-AE)=MAB+AC).(AC-AE)

=∣(AB+AC).^AC-∣AB^=∣^ΛB.AC-∣Aβ2+AC2-∣AB.AC^

3,21ɔ2A1232

=--AB.AC——AB'+AC'∖=AB.AC——AB+-AC=AB.AC,

2(33J22

得=5AC2,即网=网AC∣,故嗡=在

22AC

【点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.

采取几何法，利用数形结合和方程思想解题.

16.已知W=W=α∙b=2,|«-c∣=√3,则」.工的取值范围为_______.

【答案】[2-2√3,2+2√3]

【分析】设α=(2,0),根据W=M=αW=2,得到b=(l,√J),设c=(x,y),根据卜-*6,得至I」

(Λ-2)2+√=3,再由f=6∙c=x+√Jy,利用直线与圆的位置关系求解.

【详解】设(4,b)=α,

因为M=W=4∙6=2,

所以COSa=J,

因为αe[0,司，

所以ag

设”=(2,0),则6=(1,6),设C=(X,y),

因为卜-Cl=后,

所以(x-2y+y2=3,表示以(2,0)为圆心，以√J为半径的圆，

则/=6∙c=x+λ∕Jy，表示一条直线在y轴上的截距，

当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，

即d=H=r=6,

2

解得f=2+2√J或f=2-2√J,

所以从C的取值范围为[2-2G,2+2√Γ∣,

故答案为：[2-2^,2+2√3]

四、解答题

2

17.已知4、々，、%、%是正实数，证明：χlχ2+yly2≤7XI+K√ΛJ+^(并说明式子左边与右

边相等时的条件）

【答案】证明见解析

【分析】利用向量数量积的定义和坐标运算可得答案.

【详解】设a=（x∣,χ）,b=^x2,y2）,

•平洞那I，

.∙.X1X2+yly2≤+J考+）J，当且仅当Xly2=々乂时取等号.

18.如图，在403C中，点A是BC的中点，点。是。8上靠近点3的一个三等分点，OC和OA交

于点£设OA=a,0B=b.

⑴用向量α,b表示。C,QC,

(2)若。E=204,求实数2的值.

UUUrrUUirr5r

【答案］(I)OC=2a-h,DC=2a--h

4

(2)2=-

【分析】（1）根据平面向量的线性运算求解；

（2）根据三点共线结合平面向量基本定理运算求解.

IILr1Ulin1uuπr1uunɪr

【详解】（1）：点A是BC的中点，则04=50C+∕08,即+

整理得OC=2α-6,

___2一O5

可得OC=OC-OD=OC--OB=2a-b--b=2a~/

uuιπrruuιrr5r

故OC=2a-b,DC=2a——h.

3

（2）由题意可得：OE=AOA=Aa,

YC,。,E三点共线，则OE=mOC+"OQ,月.机+〃=1,

UunUUIIUUnl/rrʌ(2Dr(1Vr

贝IJOE-mOC÷nOD=myla-b^÷77∣-⅛I=Ima+∖-n-rn∖b=λcι,

2

m=-

2m=z5

23

可得vʒ■〃-加=。，解得，

m-∖-n-∖4

Λ=­

5

故2二二.

19.已知向量K=(CoSe,sin8)，9w[0,句，向量Z=(G,-1).

(1)求，的值；

—>—>

(2)若2"-b<机恒成立，求实数机的取值范围.

【答案】(1)y:(2)加>4.

【解析】(1)根据向量垂直的坐标表示得tane=6,再结合ew[o,句得夕=。；

(2)先根据坐标运算得2»=(2cos。-后,2sinJ+l),再根据模的坐标表示得

2a-b=8+8sinlI,故2α-〃的最大值为16,,进而得的最大值为4,故相>4.

【详解】解：(1).Va±⅛,

∙*∙>∕3cos，一Sine=O,即：tanJ=有,

又6e[o,句，.∙.e[

(2)V2α-⅛≈(2cos6>-√3,2sin6>+l),

.∙.Ici-Z=(2COSe-6『+(2Sine+iy=8+8(gsin6>-等COSe

=8+8sin("∣^,

又；同0,司，

.n乃7t2π'

∙^^yeL^ττJ,

sin(θj)w-ɪ,l,

—>—>一

2a-b的最大值为16,

・・・2a-b的最大值为4,又2〃-〃<加恒成立，

.,.m>4.

【点睛】本题考查向量垂直的坐标表示，向量模的计算，三角函数求最值，考查运算能力，是中档

题.

20.如图，。是ABC内一点，ZAoB=I50。，ZAOC=I20。，向量OAoB,OC的模分别为2,√3,

⑴求IoA+08+0C∣;

(2)^OC=mOA+nOB，求实数〃?，〃的值.

【答案】⑴3

(2)m=n=-4

【分析】(1)应用向量数量积定义，及其运算律求|。4+。8+。。|；

(2)由已知，应用向量数量积的运算律OA.OC=WOA2、OBOC=mOB-OA+nOB'列

方程组求参数.

【详解】(1)由已知，OAOB=∣OA∣∣O8∣COS∕AOB=-3,OA-OC=∖OA∣∣OC∖cosAOC=-4,

XZBOC=360o-ZAOB-ZAOC=90°,故O8∙OC=0,

222

∙∙∖OA+OB+OC∖2=OA+OB'+OC'+2(OAOB+OAOC+OBOC)=9^

：.\OA+OB+OC∣=3.

(2)由OC=〃?OA+“03得：OAOC=mθ^+nOA-OB>OBOC=mOB-OA+nθβ"-

[4m-3π=-4/

J<,可得机=〃=-4.

-3///+3/1=0

21.在工ABC中，角A、B、C对边分别为“、b、c,向量W=(SinA,√Jsin8)与"=(COSA,sin3)平行.

⑴求角A;

（2）若匕=3,点。满足CO=2OB,∣AC∣=JΣT,求α.

【答案】（I）A=?

⑵α=3&

【分析】(1)根据平行的数量积公式，结合三角函数的性质求解即可；

(2)过点。作龙〃47交AB于点E,根据三角形中平行线的性质可得£»=4与A8=6,再在一ASC

中由余弦定理求解即可.

【详解】⑴'：m//n

∙*∙sinAsinB="73cosAsinB

：B∈(0,π),sinB≠(),

∙,∙SinA=∖∣3cosA

∙^∙tan4=6

"."0<A<π,

(2)过点。作应'〃/C交AB于点E,