无穷小无穷大

由于等同于因分析”.相同的.所以有人把“数学分析”也称为“无穷小此函数极限的性质与无穷小量的性质在本质上是§2.３无穷小量与无穷大量

极限为0的变量称为无穷小量，简称无穷小。一、无穷小量

注无穷小量是一个变量，不要与很小的数混淆。显然，无穷小量是有界量.而有界量不一定是无穷例如:小量.二、无穷小的性质

有限个无穷小的代数和还是无穷小。无穷小与有界变量的积是无穷小。常数与无穷小之积是无穷小。有限个无穷小的积还是无穷小。性质1：性质2：推论：性质3：利用性质3可以求某些变量的极限无穷小除以极限不为零的变量，其商仍是无穷小。性质4：解：例：

下面的运算：在附近发生无限密集的振动，其振幅被两条直线所限制.-0.1-0.050.050.1-0.1-0.05O0.050.1思考：

lim

y=A的充分必要条件是变量y

可以表示成A与一个无穷小之和。*证：无穷小与变量极限的关系必要性

若lim

y=A，则

>0，总有那么一个时刻，在那时刻之后，恒有|y-A|<

成立。记y-A=a，

则a是一个无穷小，即：y=A+a

y可以表示成

A与一个无穷小之和。充分性

若y=A+a，其中a是一个无穷小。则

>0，总有那么一个时刻，在那时刻之后，恒有|a|<

成立。而a=y–A，于是|y-A|<

成立，所以，lim

y=A。三、无穷小的比较

虽然无穷小都是以零为极限的变量，但不同的无穷小趋于零的速度不一定相同。三、无穷小的比较

虽然无穷小都是以零为极限的变量，但不同的无穷小趋于零的速度不一定相同。为了刻画这种快慢程度，引入无穷小阶的概念。定义：例1：

例2：

练习：与均为时的无穷小量,却不能按照前面讨论的方式进行阶的比较.这是因为是一个无界量，并且注：不是任何两个无穷小量都可作阶的比较.例如四、无穷大

例：

注注无穷大量是一个变量，不要与很大的数混淆。

一个无穷大量，其绝对值在其变化过程中可以任意大。因此，无穷大可有如下定义：

若

正数M（无论多么大），变量y

在某变化过程中，总有那么一个时刻，在那时刻之后，恒有|y|>M

成立，则称变量y

在该变化过程中为无穷大。练习:作业习题二(P73)5.6.（3）（4）7.（3）（4）复习一.无穷小量有限个无穷小的代数和还是无穷小。无穷小与有界变量的积是无穷小。常数与无穷小之积是无穷小。有限个无穷小的积还是无穷小。性质1：性质2：推论：性质3：

极限为0的变量称为无穷小量，简称无穷小。C=1为等价无穷小.无穷小量的比较二、无穷大

在自变量的某一变化趋势下,若函数f(x)的绝对值无限的增大,则称f(x)为无穷大量.一、极限的性质

§2.5极限的运算法则

性质1(惟一性)

若

存在，则极限是惟一的.性质2(局部有界性)

若

存在，则函数f(x)在

x0的某空心邻域内有界.

性质3(局部保号性)

若,且A>0(或A<0)，则在x0的某空心邻域内恒有f(x)>0(或f(x)<0).

性质4若,且在x0的某空心邻域内恒有

f(x)≥0(或f(x)≤0),则A≥0(或A≤0).

性质5

若,且在x0的某空心邻域内恒有f(x)≥g(x)则A≥B.法则1：

说明：下面的法则对x

x0

及x

时都成立。二.

极限的运算法则

若limf(x)=A，limg(x)

=B，则

lim(f(x)

g(x))存在，且有

lim(f(x)

g(x))

=limf(x)

limg(x)=A

B。推论：若有限个变量的极限均存在，则它们代数和的极限等于各个变量极限的代数和。

法则2：若limf(x)=A，limg(x)=B，则lim(f(x)g(x))存在，且有lim(f(x)g(x))

=limf(x)•

limg(x)=A•

B。推论1：若有限个变量的极限均存在，则它们的乘积的极限等于各个变量极限的乘积。

推论2：常数因子可以提到极限号外，即：lim

cy=clim

y

（c

为常数）。推论3：如果

n

为正整数，且limy存在,则：法则3：若lim

f(x)=A，limg(x)

=B0，则存在，如果

n

为正整数，且limy存在,则：解：例1：一般，设有多项式函数当x

x0

时，多项式函数的极限恰为函数在x0

处的值。则解：例2：

一般，设有理分式函数为，其中P(x)、Q(x)都是多项式，如果(注：对于有理分式函数，首先要验证分母极限是否为零。)例3：

注

对有理分式函数的极限，若分母极限为零，而分子极限不为零，则可直接断定该极限为无穷大。解：例4：

解：先把分子分母同除以x2，然后再求极限。

例5：

解：先把分子分母同除以x3，然后再求极限。<例6：

解：先把分子分母同除以x3，然后再求极限。<ai

(i=0,1,2,…,s)bj

(j=0,1,2,…,t)常数，s,t

为非负整数。其中：结论：例7：

解：型对，分解因式，分子、分母约去无穷小因子，再求极限。例8：

解：例9：

解：项数无限，需先整理。例10：

解：例11：

解：由此可得k=-3。准则1：§2.5极限存在准则与两个重要极限

一、极限存在准则

两边夹准则

若在某变化过程中，三个变量x、y、z总有关系y

x

z，且

lim

y=lim

z=A，则

lim

x=A。例.证明证:利用两边夹定理.且由练习：解:利用两边夹定理.且由定义：设有数列准则2：单调、有界数列必有极限。作业：习题二

P688(4)(6);9(1)(5);10。13(3)(7)(9)(13)。二、两个重要极限

解：例1：

解：例2：

解：例3：解：例4：例5：

解：例6：

解：几个练习解:1.左极限存在,右极限存在,不存在.这是重要极限2常用的另一种形式.注意:例7：

解：例8：解：例9：

解：例10：

解：例11：

解：

设有本金A0，年利率为

r，则该资金到第一年度末的本利和为：A1=A0(1+r)。例12：连续复利的计算

以A1为第二年度的本金，则到第二年度末的本利和为：A2=A1(1+r)=A0(1+r)2。

依次继续下去，至第

t年度末的本利和为：

At

=A0(1+r)t。

如果将一年分为n期计息，则每期利率为r/n，第一

年末的本利和为(复利n次)：An

=A0(1+r/n)n。

若期数无限增大，即令n

，则t年后本利和为：说明：(1)这种将利息记入本金重复计算复利的方法称为连续复利。(2)其他实际问题例如人口增长、林木增长、细菌繁殖、放射元素衰变等也类似于该模型。

依次类推,t年后的本利和为(复利nt次)：

An(t)

=A0(1+r/n)nt。练习:计算极限解：关于等价无穷小在求极限中的应用，有如下定理.证定理

定理设函数f,g,h在内有定义,且证所以例1解所以定理告诉我们，在求极限时，乘积中的因子可用等价无穷小量代替，这是一种很有用的方法.例2解只有乘积或商当中才能用,和、差当中不能用解练习1:解练习2:补充练习求下列极限①②③解:①②③④四.极限的运算法则

若limf(x)=A,limg(x)

=B，则

lim(f(x)

g(x)),lim(f(x)g(x))存在，且有

lim(f(x)

g(x))=limf(x)

limg(x)=A

B;

lim(f(x)g(x))=limf(x)•

limg(x)=A•

B;若B≠0,则以上结论都可以推广到有限项.复习:1.一般，设有理分式函数为，其中P(x)、Q(x)都是多项式，如果ai

(i=0,1,2,…,s)bj

(j=0,1,2,…,t)常数，s,t

为非负整数。其中：4.几个等价的无穷小量准则1：5.极限存在准则

夹挤准则

若在某变化过程中，三个变量x、y、z总有关系y

x

z，且

lim

y=lim

z=A，则

lim

x=A。准则2：单调、有界数列必有极限。这是重要极限2常用的另一种形式.几个等价的无穷小量

在很多实际问题中，变量的变化常常是“连续”不断的．例如，气温随时间而变化着，当时间的改变极为微小时，气温的改变也极为微小，这就是说，气温是“连续变化”的．自然界的许多“连续变化”的现象在函数关系上的反映，就是函数的连续性．这一节里，我们将运用极限来定义函数的连续性．下面先介绍函数增量的概念．§2.6函数的连续性

一、函数的连续性

1、改变量（增量）注：改变量可正、可负、可为零