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文档简介
由于等同于因分析”.相同的.所以有人把“数学分析”也称为“无穷小此函数极限的性质与无穷小量的性质在本质上是§2.3无穷小量与无穷大量
极限为0的变量称为无穷小量,简称无穷小。一、无穷小量
注无穷小量是一个变量,不要与很小的数混淆。显然,无穷小量是有界量.而有界量不一定是无穷例如:小量.二、无穷小的性质
有限个无穷小的代数和还是无穷小。无穷小与有界变量的积是无穷小。常数与无穷小之积是无穷小。有限个无穷小的积还是无穷小。性质1:性质2:推论:性质3:利用性质3可以求某些变量的极限无穷小除以极限不为零的变量,其商仍是无穷小。性质4:解:例:
下面的运算:在附近发生无限密集的振动,其振幅被两条直线所限制.-0.1-0.050.050.1-0.1-0.05O0.050.1思考:
lim
y=A的充分必要条件是变量y
可以表示成A与一个无穷小之和。*证:无穷小与变量极限的关系必要性
若lim
y=A,则
>0,总有那么一个时刻,在那时刻之后,恒有|y-A|<
成立。记y-A=a,
则a是一个无穷小,即:y=A+a
y可以表示成
A与一个无穷小之和。充分性
若y=A+a,其中a是一个无穷小。则
>0,总有那么一个时刻,在那时刻之后,恒有|a|<
成立。而a=y–A,于是|y-A|<
成立,所以,lim
y=A。三、无穷小的比较
虽然无穷小都是以零为极限的变量,但不同的无穷小趋于零的速度不一定相同。三、无穷小的比较
虽然无穷小都是以零为极限的变量,但不同的无穷小趋于零的速度不一定相同。为了刻画这种快慢程度,引入无穷小阶的概念。定义:例1:
例2:
练习:与均为时的无穷小量,却不能按照前面讨论的方式进行阶的比较.这是因为是一个无界量,并且注:不是任何两个无穷小量都可作阶的比较.例如四、无穷大
例:
注注无穷大量是一个变量,不要与很大的数混淆。
一个无穷大量,其绝对值在其变化过程中可以任意大。因此,无穷大可有如下定义:
若
正数M(无论多么大),变量y
在某变化过程中,总有那么一个时刻,在那时刻之后,恒有|y|>M
成立,则称变量y
在该变化过程中为无穷大。练习:作业习题二(P73)5.6.(3)(4)7.(3)(4)复习一.无穷小量有限个无穷小的代数和还是无穷小。无穷小与有界变量的积是无穷小。常数与无穷小之积是无穷小。有限个无穷小的积还是无穷小。性质1:性质2:推论:性质3:
极限为0的变量称为无穷小量,简称无穷小。C=1为等价无穷小.无穷小量的比较二、无穷大
在自变量的某一变化趋势下,若函数f(x)的绝对值无限的增大,则称f(x)为无穷大量.一、极限的性质
§2.5极限的运算法则
性质1(惟一性)
若
存在,则极限是惟一的.性质2(局部有界性)
若
存在,则函数f(x)在
x0的某空心邻域内有界.
性质3(局部保号性)
若,且A>0(或A<0),则在x0的某空心邻域内恒有f(x)>0(或f(x)<0).
性质4若,且在x0的某空心邻域内恒有
f(x)≥0(或f(x)≤0),则A≥0(或A≤0).
性质5
若,且在x0的某空心邻域内恒有f(x)≥g(x)则A≥B.法则1:
说明:下面的法则对x
x0
及x
时都成立。二.
极限的运算法则
若limf(x)=A,limg(x)
=B,则
lim(f(x)
g(x))存在,且有
lim(f(x)
g(x))
=limf(x)
limg(x)=A
B。推论:若有限个变量的极限均存在,则它们代数和的极限等于各个变量极限的代数和。
法则2:若limf(x)=A,limg(x)=B,则lim(f(x)g(x))存在,且有lim(f(x)g(x))
=limf(x)•
limg(x)=A•
B。推论1:若有限个变量的极限均存在,则它们的乘积的极限等于各个变量极限的乘积。
推论2:常数因子可以提到极限号外,即:lim
cy=clim
y
(c
为常数)。推论3:如果
n
为正整数,且limy存在,则:法则3:若lim
f(x)=A,limg(x)
=B0,则存在,如果
n
为正整数,且limy存在,则:解:例1:一般,设有多项式函数当x
x0
时,多项式函数的极限恰为函数在x0
处的值。则解:例2:
一般,设有理分式函数为,其中P(x)、Q(x)都是多项式,如果(注:对于有理分式函数,首先要验证分母极限是否为零。)例3:
注
对有理分式函数的极限,若分母极限为零,而分子极限不为零,则可直接断定该极限为无穷大。解:例4:
解:先把分子分母同除以x2,然后再求极限。
例5:
解:先把分子分母同除以x3,然后再求极限。<例6:
解:先把分子分母同除以x3,然后再求极限。<ai
(i=0,1,2,…,s)bj
(j=0,1,2,…,t)常数,s,t
为非负整数。其中:结论:例7:
解:型对,分解因式,分子、分母约去无穷小因子,再求极限。例8:
解:例9:
解:项数无限,需先整理。例10:
解:例11:
解:由此可得k=-3。准则1:§2.5极限存在准则与两个重要极限
一、极限存在准则
两边夹准则
若在某变化过程中,三个变量x、y、z总有关系y
x
z,且
lim
y=lim
z=A,则
lim
x=A。例.证明证:利用两边夹定理.且由练习:解:利用两边夹定理.且由定义:设有数列准则2:单调、有界数列必有极限。作业:习题二
P688(4)(6);9(1)(5);10。13(3)(7)(9)(13)。二、两个重要极限
解:例1:
解:例2:
解:例3:解:例4:例5:
解:例6:
解:几个练习解:1.左极限存在,右极限存在,不存在.这是重要极限2常用的另一种形式.注意:例7:
解:例8:解:例9:
解:例10:
解:例11:
解:
设有本金A0,年利率为
r,则该资金到第一年度末的本利和为:A1=A0(1+r)。例12:连续复利的计算
以A1为第二年度的本金,则到第二年度末的本利和为:A2=A1(1+r)=A0(1+r)2。
依次继续下去,至第
t年度末的本利和为:
At
=A0(1+r)t。
如果将一年分为n期计息,则每期利率为r/n,第一
年末的本利和为(复利n次):An
=A0(1+r/n)n。
若期数无限增大,即令n
,则t年后本利和为:说明:(1)这种将利息记入本金重复计算复利的方法称为连续复利。(2)其他实际问题例如人口增长、林木增长、细菌繁殖、放射元素衰变等也类似于该模型。
依次类推,t年后的本利和为(复利nt次):
An(t)
=A0(1+r/n)nt。练习:计算极限解:关于等价无穷小在求极限中的应用,有如下定理.证定理
定理设函数f,g,h在内有定义,且证所以例1解所以定理告诉我们,在求极限时,乘积中的因子可用等价无穷小量代替,这是一种很有用的方法.例2解只有乘积或商当中才能用,和、差当中不能用解练习1:解练习2:补充练习求下列极限①②③解:①②③④四.极限的运算法则
若limf(x)=A,limg(x)
=B,则
lim(f(x)
g(x)),lim(f(x)g(x))存在,且有
lim(f(x)
g(x))=limf(x)
limg(x)=A
B;
lim(f(x)g(x))=limf(x)•
limg(x)=A•
B;若B≠0,则以上结论都可以推广到有限项.复习:1.一般,设有理分式函数为,其中P(x)、Q(x)都是多项式,如果ai
(i=0,1,2,…,s)bj
(j=0,1,2,…,t)常数,s,t
为非负整数。其中:4.几个等价的无穷小量准则1:5.极限存在准则
夹挤准则
若在某变化过程中,三个变量x、y、z总有关系y
x
z,且
lim
y=lim
z=A,则
lim
x=A。准则2:单调、有界数列必有极限。这是重要极限2常用的另一种形式.几个等价的无穷小量
在很多实际问题中,变量的变化常常是“连续”不断的.例如,气温随时间而变化着,当时间的改变极为微小时,气温的改变也极为微小,这就是说,气温是“连续变化”的.自然界的许多“连续变化”的现象在函数关系上的反映,就是函数的连续性.这一节里,我们将运用极限来定义函数的连续性.下面先介绍函数增量的概念.§2.6函数的连续性
一、函数的连续性
1、改变量(增量)注:改变量可正、可负、可为零
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