振动理论与应用第8章-弹性体的一维振动

返回总目录制作与设计贾启芬振动理论与应用TheoryofVibrationwithApplications第8章弹性体的一维振动第8章弹性体的一维振动目录返回首页TheoryofVibrationwithApplications8.1杆的纵向振动8.2杆的纵向受迫振动8.3梁的横向自由振动8.4梁的横向受迫振动8.5转动惯量、剪切变形对梁振动的影响8.6轴向力作用对梁的横向振动的影响

8.7梁横向振动的近似解法

返回首页TheoryofVibrationwithApplications第8章弹性体的一维振动8.1杆的纵向振动返回首页TheoryofVibrationwithApplications8.1杆的纵向振动8.1.1等直杆的纵向振动8.1.2固有频率和主振型8.1.3主振型的正交性返回首页TheoryofVibrationwithApplications8.1杆的纵向振动8.1.1等直杆的纵向振动实际的振动系统，都具有连续分布的质量与弹性，因此，称之为弹性体系统。同时符合理想弹性体的基本假设，即均匀、各向同性服从虎克定律。由于确定弹性体上无数质点的位置需要无限多个坐标，因此弹性体是具有无限多自由度的系统，它的振动规律要用时间和空间坐标的函数来描述，其运动方程是偏微分方程，但是在物理本质上及振动的基本概念、分析方法上与有限多个自由度是相似的。

以杆的纵向作为x轴，在杆上x处取微元段dx返回首页TheoryofVibrationwithApplications8.1杆的纵向振动8.1.1等直杆的纵向振动均质等截面细直杆，长为l，单位长度的质量为，横截面积为A，材料的弹性模量为E,如图所示。设杆在纵向分布力q(x,t)的作用下作纵向振动时，其横截面保持为平面，并且不计横向变形。返回首页TheoryofVibrationwithApplications8.1杆的纵向振动8.1.1等直杆的纵向振动以杆的纵向作为x轴，在杆上x处取微元段dx，其左端纵向位移为u(x)，而右端即杆上x+dx处的纵向位移为应力为N是x处轴的内力应变为dx段的变形为返回首页TheoryofVibrationwithApplications8.1杆的纵向振动8.1.1等直杆的纵向振动微元段dx受力如图。根据牛顿第二定律得到EA是常数，可写成这是杆作纵向受迫振动方程，常称为波动方程。表示弹性波沿杆的纵向传播的速度返回首页TheoryofVibrationwithApplications8.1杆的纵向振动8.1.2固有频率和主振型系统是无阻尼的，因此可象解有限多个自由度系统那样，假设一个主振动模态即设系统按某一主振型振动时，其上所有质点都做简谐运动。可见杆上所有的点将同时经过平衡位置，并同时达到极限位置。

得到杆的纵向自由振动微分方程为返回首页TheoryofVibrationwithApplications8.1杆的纵向振动8.1.2固有频率和主振型即为杆的主振动的一般形式。

解可以用x的函数U(x)与t的谐函数的乘积表示，即返回首页TheoryofVibrationwithApplications8.1杆的纵向振动8.1.2固有频率和主振型杆有无穷多个自由度系统，振型不再是折线而变成一条连续曲线。振型函数振动规律当U(x)具有非零解，而且符合杆端边界条件的情况下，求解值p2及振型函数U(x)称为杆作纵向振动的特征值问题。p2为特征值，U(x)又称为特征函数或主振型；而p是固有频率。代入返回首页TheoryofVibrationwithApplications8.1杆的纵向振动8.1.2固有频率和主振型解可表示为由杆的边界条件，可以确定p2值及振型函数U(x)。返回首页TheoryofVibrationwithApplications8.1杆的纵向振动8.1.2固有频率和主振型现在来确定各种简单边界条件下杆的固有频率和主振型1.杆两端固定的情况边界条件为即两端固定杆的频率方程。由此解出固有频率为相应的主振型为返回首页TheoryofVibrationwithApplications8.1杆的纵向振动8.1.2固有频率和主振型分别令i=1,2,3，可得系统的前三阶固有频率和相应的主振型为杆的前三阶主振型表示如图所示。返回首页TheoryofVibrationwithApplications8.1杆的纵向振动8.1.2固有频率和主振型2.杆的左端固定，右端自由的情况边界条件为即为一端固定，一端自由杆的频率方程。解出固有频率为相应的主振型为返回首页TheoryofVibrationwithApplications8.1杆的纵向振动8.1.2固有频率和主振型3.杆的两端都是自由的情况边界条件为即为两端自由杆的频率方程。解出固有频率为相应的主振型为当p=0时，对应了杆的刚体振型。返回首页TheoryofVibrationwithApplications8.1杆的纵向振动8.1.2固有频率和主振型例8-1一均质等截面细直杆，长为l，单位长度的质量为，横截面积为A，材料的弹性模量为E。其一端固定，另一端连接弹簧常数为k的弹簧，试求杆的纵向振动的固有频率及主振型。当杆作纵向振动时，杆的右端的弹簧支承相当于作用kU(l)之力。因此，边界条件为解：杆的端部连接弹簧或带有集中质量时，称复杂边界条件。返回首页TheoryofVibrationwithApplications8.1杆的纵向振动8.1.2固有频率和主振型频率方程x=l处杆的抗压刚度相应于固有频率pi的主振型为返回首页TheoryofVibrationwithApplications8.1杆的纵向振动8.1.2固有频率和主振型相应的主振型为当时，相当于固定端，有,即讨论两个极端的情况则频率方程为若，相当于自由端，即返回首页TheoryofVibrationwithApplications8.1杆的纵向振动8.1.2固有频率和主振型例8-2与例8-1中所设参数相同的杆，若其一端固定，另一端附有集中质量M如图所示，试求杆作纵向振动时的固有频率和主振型。当杆作纵向振动时，附有集中质量的一端相当作用有惯性力因此杆的边界条件为得到C=0解：此系统仍属于复杂边界条件问题。返回首页TheoryofVibrationwithApplications8.1杆的纵向振动8.1.2固有频率和主振型得频率方程无量纲因子质量比相应的主振型为返回首页TheoryofVibrationwithApplications8.1杆的纵向振动8.1.2固有频率和主振型对于的情况，将很小，即杆的质量远小于集中质量时，可以取则得到对于基频情况，有其中是不计杆本身质量时杆的抗压刚度，以上结果与不计杆本身质量而将其看成是单自由度系统所得的结果相同。

返回首页TheoryofVibrationwithApplications8.1杆的纵向振动8.1.3主振型的正交性因为不涉及主振型的具体形式，所以不对杆作任何设定。即杆的质量密度、横截面积等都可以是x的函数。因此可写出杆的纵向振动微分方程式为这里只讨论简单边界条件的杆的主振型的正交性。将杆的主振动的表达式代入取特征值问题的两个解代入返回首页TheoryofVibrationwithApplications8.1杆的纵向振动8.1.3主振型的正交性乘以乘以分别沿杆长l对x积分，得再利用分部积分，可将式中左边积分为返回首页TheoryofVibrationwithApplications8.1杆的纵向振动8.1.3主振型的正交性杆端简单边界条件总可以写成1.固定端

2.自由端等于零相减，得就是杆的主振型关于质量的正交性。

返回首页TheoryofVibrationwithApplications8.1杆的纵向振动8.1.3主振型的正交性上二式则是杆的主振型关于刚度的正交性。返回首页TheoryofVibrationwithApplications8.1杆的纵向振动8.1.3主振型的正交性当i=j时，式总能成立，令为第j阶主质量第j阶主刚度

Kpj与Mpj的大小取决于第j阶主振动中常数的选择关系返回首页TheoryofVibrationwithApplications8.1杆的纵向振动8.1.3主振型的正交性与多自由度系统相似，可将主振型函数Uj进行标准化。如果主振型中的常数按下列归一化条件确定则得到的主振型称为正则振型，这时相应的第j阶主刚度

返回首页TheoryofVibrationwithApplications第8章弹性体的一维振动8.2杆的纵向受迫振动返回首页TheoryofVibrationwithApplications8.2杆的纵向受迫振动8.2.1杆对初始条件的响应8.2.2杆对任意激励的响应返回首页TheoryofVibrationwithApplications8.2杆的纵向受迫振动8.2.1杆对初始条件的响应与有限多自由度系统一样，在对杆进行的纵向自由振动分析的基础上，可以用振型叠加法求解杆对纵向任意激励的响应。杆的自由振动微分方程假定在给定的边界条件下，已经得到各阶固有频率及相应的正则振型。根据类似于多自由系统的线性变换，设通解为第i阶正则坐标第i阶正则振型函数返回首页TheoryofVibrationwithApplications8.2杆的纵向受迫振动8.2.1杆对初始条件的响应通乘以并沿杆长l积分这就是以正则坐标表示的杆作纵向自由振动的运动方程。考虑到正交性条件及标准化条件，上式成为返回首页TheoryofVibrationwithApplications8.2杆的纵向受迫振动8.2.1杆对初始条件的响应设杆的初始条件为正则坐标变换乘以沿x杆长对积分，得将正交性和归一化条件代入返回首页TheoryofVibrationwithApplications8.2杆的纵向受迫振动8.2.1杆对初始条件的响应得到杆以正则坐标表示下的对初始条件的响应得到杆对初始条件的总响应返回首页TheoryofVibrationwithApplications8.2杆的纵向受迫振动8.2.1杆对初始条件的响应例8-3一端固定，一端自由的等直杆，长为l。自由端受到轴向常拉力P的。设在t=0时突然去掉此力，求杆的纵向自由振动。杆的初始条件为杆的固有频率及主振型为解：根据题意，t=0时杆内的应变为返回首页TheoryofVibrationwithApplications8.2杆的纵向受迫振动8.2.1杆对初始条件的响应杆的固有频率及主振型为将主振型代入归一化条件，得得到正则振型为返回首页TheoryofVibrationwithApplications8.2杆的纵向受迫振动8.2.1杆对初始条件的响应得到正则坐标表示的初始条件为得到杆以正则坐标表示下的对初始条件的响应于是杆的自由振动为返回首页TheoryofVibrationwithApplications8.2杆的纵向受迫振动8.2.1杆对初始条件的响应令x=l，其中，若将t=0代入上式，可得初始时自由端的位移。得杆的自由端的自由振动返回首页TheoryofVibrationwithApplications8.2杆的纵向受迫振动8.2.1杆对初始条件的响应此题也可以用直接求解方法解出。根据已解出的固有频率及主振型函数可写出杆的振动方程为常数Ai,Bi由初始条件确定。初始条件为再利用三角函数的正交性可得返回首页TheoryofVibrationwithApplications8.2杆的纵向受迫振动8.2.1杆对初始条件的响应三角函数的正交性

返回首页TheoryofVibrationwithApplications8.2杆的纵向受迫振动8.2.2杆对任意激励的响应并沿杆长l积分受迫振动微分方程通乘以这就是在激励q(x,t)作用下按正则坐标表示的杆的受迫振动的运动微分方程。利用正交性及归一化的条件返回首页TheoryofVibrationwithApplications8.2杆的纵向受迫振动8.2.2杆对任意激励的响应将形如上式的各个正则坐标表示的响应代入,便得到杆的初始条件下对任意激励的响应为写出第i个以正则坐标表示的响应为。返回首页TheoryofVibrationwithApplications8.2杆的纵向受迫振动8.2.2杆对任意激励的响应例8-4如图所示两端固定的杆，突然受到均布纵向力q(常数)的作用，试求其响应。设初始条件均为零。解：得该杆的固有频率和主振型为将主振型代入归一化条件，得返回首页TheoryofVibrationwithApplications8.2杆的纵向受迫振动8.2.2杆对任意激励的响应考虑到q为常量，并且初始条件均为零，得得到正则振型为返回首页TheoryofVibrationwithApplications8.2杆的纵向受迫振动8.2.2杆对任意激励的响应例8-5图示的等直杆在自由端作用有简谐激振力，其中为F0常数，求杆的纵向稳态受迫振动。解：由例8-3已知杆的正则振型为得第i个正则方程为在本例中由于激励不是沿杆身作用的分布力，而是集中力。返回首页TheoryofVibrationwithApplications8.2杆的纵向受迫振动8.2.2杆对任意激励的响应对于如图所示的在处的集中力，利用函数，第i个正则方程为由上式求出正则坐标的稳态响应为F(t)F(t)表示为分布力返回首页TheoryofVibrationwithApplications8.2杆的纵向受迫振动8.2.2杆对任意激励的响应于是杆的稳态受迫振动为当激振力频率等于杆的任一阶固有频率pi时，都会发生共振。

返回首页TheoryofVibrationwithApplications第8章弹性体的一维振动8.3梁的横向自由振动返回首页TheoryofVibrationwithApplications8.3梁的横向自由振动8.3.1梁的横向振动微分方程8.3.2固有频率和主振型返回首页TheoryofVibrationwithApplications8.3梁的横向自由振动8.3.1梁的横向振动微分方程图中的直梁在xy平面内作横向振动。假设梁的各截面的中心主惯性轴在同一平面Oxy内，外载荷也作用在该平面，且略去剪切变形的影响及截面绕中性轴转动惯量的影响，因此梁的主要变形是弯曲变形，这即是通常称为欧拉—伯努利梁(Bernoulli—EulerBeam)的模型。返回首页TheoryofVibrationwithApplications8.3梁的横向自由振动8.3.1梁的横向振动微分方程在梁上x处取长为dx的微元段。在任意瞬时t，此微元段的横向位移用y(x,t)表示；单位长度梁上分布的外力用p(x,t)表示；单位长度梁上分布的外力矩用表示m(x,t)。记梁的密度为ρ，横截面积为A，材料弹性模量为E，截面对中性轴的惯性矩为J。根据微段dx的受力图，写出微段沿y向的运动微分方程。返回首页TheoryofVibrationwithApplications8.3梁的横向自由振动8.3.1梁的横向振动微分方程再由各力对垂直于xy平面的轴的力矩平衡方程，得略去dx的二次项后，并简化得得代入材料力学知识欧拉—伯努利梁的横向振动微分方程

返回首页TheoryofVibrationwithApplications8.3梁的横向自由振动8.3.1梁的横向振动微分方程对于等截面梁，则E、J为常数，上式又可写成欧拉—伯努利梁的横向振动微分方程

返回首页TheoryofVibrationwithApplications8.3梁的横向自由振动8.3.2固有频率和主振型得到梁的横向自由振动的运动微分方程解用x的函数Y(x)与t的谐函数的乘积表示梁上各点按振型函数Y(x)作同步谐振动

代入在Y(x)符合梁的边界条件并具有非零解的条件下，由此方程求解p2和振型函数Y(x)的问题，称为梁作横向振动的特征值问题。返回首页TheoryofVibrationwithApplications8.3梁的横向自由振动8.3.2固有频率和主振型对于等截面梁通解为或表示为根据梁的边界条件可以确定β值及振型函数Y(x)中待定常数因子。边界条件要考虑四个量，即挠度、转角、弯矩和剪力，梁的每个端点都与其中的两个量有关。返回首页TheoryofVibrationwithApplications8.3梁的横向自由振动8.3.2固有频率和主振型1.固定端在梁的固定端上挠度y与转角等于零，即常见的简单边界条件有如下几种2.简支端在梁的简支端上挠度y与弯矩等于零，即3.自由端在梁的自由端上弯矩M与剪力等于零，即返回首页TheoryofVibrationwithApplications8.3梁的横向自由振动8.3.2固有频率和主振型下面讨论在两种支承情况下，梁的固有频率和主振型。1.两端铰支这时的边界条件为代入由此式得简支梁的频率方程返回首页TheoryofVibrationwithApplications8.3梁的横向自由振动8.3.2固有频率和主振型对应于的固有频率为可见，各固有频率与梁长的平方成反比。因此主振型函数为返回首页TheoryofVibrationwithApplications8.3梁的横向自由振动8.3.2固有频率和主振型2.左端固定，右端自由因此有代入边界条件为返回首页TheoryofVibrationwithApplications8.3梁的横向自由振动8.3.2固有频率和主振型悬臂梁的频率方程方程的前四个根为时，可以取固有频率为基频为则主振型函数为返回首页TheoryofVibrationwithApplications8.3梁的横向自由振动8.3.2固有频率和主振型则主振型函数为前三阶主振型由图所示

返回首页TheoryofVibrationwithApplications8.3梁的横向自由振动8.3.2固有频率和主振型例8-6如图所示的悬臂梁的自由端附加一集中质量M，将附加质量视为质点，求频率方程和主振型函数。解：与杆的复杂边界条件相同，梁的端点带有支承弹簧或附加质量，或者两者都有，为复杂边界条件。该题即为复杂边界条件问题。其边界条件为

代入返回首页TheoryofVibrationwithApplications8.3梁的横向自由振动8.3.2固有频率和主振型

令上面两式是关于C1,C2的齐次方程组，具有非零解的充分必要条件是，是其系数行列式必须为零。返回首页TheoryofVibrationwithApplications8.3梁的横向自由振动8.3.2固有频率和主振型

具有非零解的充分必要条件是，是其系数行列式必须为零，由此得到即频率方程

则主振型函数为

返回首页TheoryofVibrationwithApplications第8章弹性体的一维振动8.4梁的横向受迫振动返回首页TheoryofVibrationwithApplications8.4梁的横向受迫振动8.4.1主振型的正交性8.4.2梁横向振动的受迫响应返回首页TheoryofVibrationwithApplications8.4梁的横向受迫振动8.4.1主振型的正交性梁作横向振动时，振型函数也具有正交性。这里只讨论具有简单边界条件下主振型的正交性，但梁可以是变截面的或非均质的。

取特征值问题的任意两个解代入并且都沿梁的长度l对x积分，得乘以乘以返回首页TheoryofVibrationwithApplications8.4梁的横向受迫振动8.4.1主振型的正交性左边进行分部积分，得对前面提出的任一种简单边界条件，以上二式已积分出来的各项均为零。有返回首页TheoryofVibrationwithApplications8.4梁的横向受迫振动8.4.1主振型的正交性二式相减，得如果时，有

，则由上式必得即梁的主振型关于质量的正交性。

代入代入上面两式即梁的主振型关于刚度的正交性。

当i=j时，返回首页TheoryofVibrationwithApplications8.4梁的横向受迫振动8.4.1主振型的正交性第j阶主质量第j阶主刚度可得到它们的关系，即如果主振型Yj(x)中的常数按下列归一化条件来确定，即这时相应的第j阶主刚度为

总能成立，令由此得到的主振型函数称为正则振型函数返回首页TheoryofVibrationwithApplications8.4梁的横向受迫振动8.4.2梁横向振动的受迫响应梁的横向受迫振动微分方程与解杆的纵向受迫振动的响应类似，可设通解为正则振型函数