自动控制原理（李国勇第4版）课件 第4、5 章 线性控制系统的根轨迹分析法、线性控制系统的频域分析法

第4章线性控制系统的根轨迹分析法

目录4-l根轨迹分析的基础知识4-2绘制根轨迹的基本规则

4-3广义根轨迹的绘制4-4纯迟延根轨迹的绘制4-5利用根轨迹分析控制系统4-6利用MATLAB进行根轨迹分析

1

通过前面分析可知，闭环控制系统的稳定性和时间响应的形式由系统的闭环极点（即特征方程的根）决定，时间响应值的大小由系统的闭环极点和闭环零点共同决定。因此，分析系统性能时，常常要求确定系统闭环极点在s复平面的位置。然而，对于高阶的系统，求解闭环极点是相当困难的，尤其是当系统参数变化时，系统的闭环极点需要重复计算，而且不能看出系统参数变化对闭环极点分布的影响趋势。2

所以希望借助某种较为简单的分析方法，当已知系统某个参数发生变化时，可以很明显地看出系统闭环极点的变化趋势，从而能够判断系统稳定性、预测闭环系统的性能，以获得希望的性能指标。根轨迹分析法就是这样的一种图解分析方法。它是通过系统在复域中的特征根，来评价和计算系统在时域中的性能，因而根轨迹分析法又称为复域分析法。

34-l根轨迹分析的基础知识4.1.1根轨迹的基本概念

根轨迹的提出

对于图4-l所示单位反馈系统，已知开环传递函数为图4-1反馈系统

4

则系统的闭环传递函数为

系统的特征方程为系统的特征根或闭环极点为

(4-1)

5

式(4-1)表明，闭环极点随变量K的变化而变化，从而影响系统的瞬态响应，系统具有不同的动态过程。为了使系统尽可能稳、准、快地结束，应多次改变k值，以调节闭环极点在s复平面的位置，达到寻求理想的输出特性曲线的目的。但每改变一次K值，需重新求解一次闭环特征方程，这使得系统的分析、计算工作量很大。特别是当系统高于三阶时，求解特征根是相当困难的，尤其是当参数变化时，要求出系统特征方程的根，就更加困难了。

6

为了减少多次求解代数方程的工作量，1948年埃文斯(W.R.Evans)提出了根轨迹分析法，这种方法不直接求解特征方程，而是根据反馈控制系统开、闭环传递函数之间的内在联系，提出一种在s复平面上，根据系统开环零、极点的分布，用几何作图的方法，确定闭环系统特征方程根的图解方法。7

对于图4-1所示系统，当

K从0

+

变化时，可以采用解析的方法，利用式(4-1)尽可能多的求出系统对应于K的闭环极点值，将这些值标注在s平面上，并连成光滑的粗实线，如图4-2所示。图中带箭头的粗实线就称为系统的根轨迹，根轨迹上的箭头表示随着K的增大，系统闭环极点的变化趋势。8

由此可见，根轨迹图4-2直观地表示了系统参数K变化时，闭环极点变化的情况，也全面地描述了系统参数K对闭环极点分布的影响。利用根轨迹图4-2就能方便地分析系统性能随系统参数K变化时的规律。(1)稳定性当K由0

+

变化时，由图4-2可知，系统的闭环极点s1,s2均在s平面的左半平面，因此，系统对所有K值均是稳定的。9

(2)动态性能由于系统闭环极点的位置影响系统的瞬态响应及品质指标，则系统在不同的K值下，其动态特性不同，对应的阶跃响应曲线如图4-3所示。即：

①当0<K<0.5时，系统闭环极点s1,s2均为负实数，系统呈过阻尼状态，阶跃响应单调变化。10②当K=0.5时，s1=s2=-1，系统两个闭环极点重合，系统为临界阻尼状态。

③当0.5<K<+

时，系统闭环极点sl,s2为一对实部为负的共轭复数，系统呈欠阻尼状态，阶跃响应为衰减振荡过程。因随K增大，仅闭环极点的虚部增大，故系统阻尼比减小，超调量增大，但过渡过程时间不变。11(3)稳态性能由图4-2可知，系统在坐标原点有一个开环极点，系统属于I型系统。因此系统在阶跃信号作用下的稳态误差为零；在单位斜坡信号作用下的稳态误差就等于根轨迹上K值的倒数。122.根轨迹的定义所谓根轨迹就是当系统的某个参数从0

+

变化时，系统特征根在s平面上移动所形成的轨迹。

一般系统的开环传递函数可表示成如下形式（n

m）

13

根轨迹中的可变参数，实际上可取开环传递函数中的任何变量作为可变参数，如根轨迹增益k或开环零、极点zj和pi或时间常数

j和Ti，但通常取根轨迹放大系数k或开环增益K作为可变参数。以后如无特别说明，就假设可变参数为根轨迹放大系数k或开环增益K，它们是一一对应的线性正比关系。143.根轨迹分析法根轨迹分析法就是利用根轨迹对系统进行分析和设计的一种图解方法。该方法利用特征根在s平面上的位置，分析系统参数变化对系统特征根的影响，从而根据系统特征根位置与瞬态响应的关系，可直观地分析系统参数与系统的稳态响应和动静态特性的关系。154.1.2根轨迹的基本条件1．根轨迹的基本方程设系统如图4-4所示，其闭环传递函数为

图4-4反馈系统

特征方程式为

满足式(4-2)的s点均为闭环系统特征根（闭环极点），反过来，根轨迹上的所有点均必须满足式(4-2)。(4-2)16

可见，当系统中某个参数从0

+

变化时，满足式(4-2)的所有s值，都是闭环传递函数的极点。把这些闭环极点在s平面上按顺序连接起来，就是系统的根轨迹。因此式(4-2)称为控制系统根轨迹的基本方程，其可以写成如下形式(4-3)

因为开环传递函数G(s)H(s)为复变量s的函数，所以可以将式(4-3)用幅值和相角表示，根据等式两边幅值和相角相等条件，可将特征方程式(4-3)表示成以下幅值条件和相角条件17

对于系统中某个参数从0

+

变化时，满足以上两式的所有s点，均为闭环极点，也就是根轨迹上的所有点。复平面上的s点如果是闭环极点，那么它与开环零、极点所组成的向量必须满足式(4-4)幅值条件和式(4-5)相角条件。以上两式是绘制系统根轨迹及应用根轨迹分析和设计控制系统的重要依据。幅值条件：

相角条件：

(4-4)

(4-5)18如将开环传递函数写成零、极点形式（n

m）

(4-6)则式(4-2)，式(4-4)和式(4-5)可以进一步表示成

特征方程：

(4-7)

幅值条件：

(4-8)

相角条件：

(l=0,l,2,…)(4-9)

2．根轨迹基本方程的零极点表示19

复平面上的s点如果是闭环极点，那么它与开环零、极点所组成的向量必须满足式(4-8)幅值条件和式(4-9)相角条件。由于根轨迹的幅值条件与根轨迹增益k有关，而相角条件与k无关。所以在绘制根轨迹时，一般先用相角条件确定轨迹上的点；然后利用幅值条件确定根轨迹上该点对应的k值；最后将复平面上所有满足相角条件的点s顺序连成曲线，这种方法被称为试探法。

20

根据幅值条件与相角条件，采用试探法尽管可逐点精确绘制根轨迹，但它很麻烦，需要在s平面上任选足够多的实验点，来根据相角条件判断是否为根轨迹上的点，计算量大，不便于人工绘制，仅适用于计算机绘制。所以，人们根据相角条件和幅值条件推导出了若干绘制根轨迹的规则，利用这些规则可以简捷绘出根轨迹的大致图形，并为精确绘制根轨迹指明方向。

214-2绘制根轨迹的基本规则

本节仅讨论当系统根轨迹增益k变化时，根据相角条件和幅值条件绘制根轨迹的一般规则。这些基本规则，对于系统其它参数变化时，经过适当变换仍然可用。224.2.1负反馈系统的根轨迹

1．绘制根轨迹的基本规则对于如图4-4所示的负反馈系统，在绘制根轨迹前，首先将系统的开环传递函数表示成如式(4-6)所示的零、极点形式，且在s平面上，用”o”表示开环零点zj(j=1,2,…,m)的位置；用”

”表示开环极点pi(i=1,2,…,n)的位置。（n

m）(4-6)231）根轨迹的分支数、对称性和连续性当根轨迹增益k从0

+

连续变化时，每个闭环极点的变化都在s平面上形成一支连续变化的曲线，这些曲线被称为根轨迹的分支。故若系统有n个闭环极点，就可形成n支根轨迹，即根轨迹的分支数就为n。根据特征方程式(4-7)，得24

当n

m时，特征方程的阶次等于开环极点数n，而n阶特征方程就对应有n个特征根或n个闭环极点，所以其根轨迹的分支数就等于开环极点数n。另外，由于系统特征方程式(4-7)是一实系数方程，其特征根或为实根或为共轭复根，所以当k从0

+

连续变化时，根轨迹必然对称于实轴，且连续变化。所以可得绘制根轨迹的规则1。规则1：根轨迹是对称于实轴的连续曲线，其分支数等于系统的开环极点数n。252）根轨迹的起点和终点根轨迹的起点是指根轨迹上对应于k=0的点；终点是指根轨迹上对应k=+

的点。根据幅值条件式(4-8)，可得(4-10)

26①当k=0时，式(4-10)的右边1/k

+

。而式(4-10)的左边，只有s

pi(i=1,2,…,n)时为无穷大。也就是说，当k=0时，只有spi(i=1,2,…,n)时，式(4-10)才成立。所以，根轨迹的起点一定位于系统的n个开环极点处。(4-10)

27②当k+时，式(4-10)的右边1/k=0。而式(4-10)的左边，当szj时为0，即根轨迹终止于开环零点。另外，当n>m时，s+时，式(4-10)左边(4-10)

28

故当n>m时，有m支根轨迹终止于开环零点，其余(n-m)支根轨迹趋向无穷远处。由此可见，n阶系统的n支根轨迹（n个分支）分别起始于n个开环极点，其中m支终止于m个开环零点，其余(n-m)支终止于无穷远处。如果把趋向无穷远处根轨迹的终点称为无限开环零点，有限数值的开环零点称为有限开环零点，那么可以说根轨迹必终止于开环零点处。从这个意义上讲，可得绘制根轨迹的规则2。规则2：根轨迹起始于开环极点，而终止于开环零点。293）实轴上的根轨迹位于实轴上的根轨迹，可直接利用相角条件来判断，下面按两种情况讨论。假设系统所有的开环零、极点均为实数,其分布如图4-5(a)中的z1，p1和p2所示。

图4-5开环零、极点分布30

现假定讨论位于开环极点pl和p2之间的一段实轴，在该区间段上任取一点s0为试验点，很明显，从点s0左边的每一个实数开环零、极点向点s0所作矢量的相位角均为零，而从点s0右边的每一个实数开环零、极点向点s0所作矢量的相位角均为180°。因此只有当点s0右边的实数开环零、

极点总个数为奇数时，才满足相角条件。31(2)若系统还存在一对共轭复零点z2，3，和一对共轭复极点p3，4，其分布如图4-5(b)中所示。

由图4-5(b)可看出，开环复零点z2，3对实轴上任意一个试验点s0所作矢量的相位角之和为360°，同理开环复极点p3，4对实轴上任意一个试验点s0所作矢量的相位角之和也为360°，它们的位置对相角条件没有影响。因此，共轭复零点、共轭复极点对实轴上根轨迹的分布没有影响。32即

所以要满足相角条件，s0右边实轴上的开环零、极点总数之和(或差)必须是奇数。规则3：若实轴上某点右边的所有开环零点和开环极点数目之和为奇数，则这一点就是根轨迹。

如假设在试验点s0右边实轴上的开环零、极点数分别为m1和n1，在其左边实轴上的开环零、极点数分别为m2和n2，另外系统分别有m3和n3对共轭开环零、极点,则根据相角条件式(4-7)可得。

33例4-1

已知系统开环传递函数试绘制k从0

+

变化时的根轨迹。解

①开环极点p1=-2；开环零点z1=-1；n=m=1。

②系统有一条根轨迹，起始于-2，终止于-1。

③实轴上(-2,-1)区段为根轨迹。

根据以上规则可绘制系统的根轨迹如图4-6所示。344）根轨迹的渐近线由上可知，当系统的n>m时，根轨迹一定有(n-m)支在k

+

时趋向无穷远处，根轨迹在无穷远处的趋向可由渐近线来决定。假设在根轨迹上无穷远处有一点s，即当s

时,由于系统开环零、极点到根轨迹上无限远s点构成的向量差别很小，几乎重合。因而,可以将从各个不同的开环零、极点指向无限远s点的向量,用从同一点

a处指向无限远s点的向量来代替,即当s

时,用向量(s-

a)来代替向量(s-zj)和(s-pi)。35此时针对由根据特征式(4-7)所得的下式(4-11)

有(4-12)

即

(4-13)

式中，

(4-14)

36

式(4-13)即为根轨迹的渐近线方程。由式(4-13)可知，在给定开环传递函数的情况下（即n,m,pj,zi一定），自实轴上一定点

a向无限远处根轨迹上的变点s作矢量(s-

a)的长度为

（因当k

+

时，k-1/(n-m)

），相角

a也一定，它不随s的变化而变化。37

另外，根据式(4-11)和式(4-12)可得

(4-15)

(4-16)

比较式(4-15)和式(4-16)知，当s

时，两式是等价的，其项的系数应相等，所以有(4-17)

38规则4：当系统的n>m时，根轨迹在k

+

时，有(n-m)支渐近线，它们与实轴的夹角

a分别为

(4-18)

其所有(n-m)支渐近线交于实轴上同一点，其交点坐标为(4-19)39说明:

(1)由于开环零、极点或为实数或为共轭复数，故

a

必为实数，即各支渐近线的交点在实轴上。

(2)在求渐近线与实轴的夹角

a时，l依次取0,1,2,3,…，直到所求值重复3600为止。

(3)在(n-m)条渐近线中，两两与实轴成镜像关系。40例4-2

已知系统开环传递函数试绘制k从0

+

变化时的根轨迹。解

①开环极点p1=-1,p2=-1；没有开环零点；n-m=2。②系统有2条根轨迹，均起始于-1，而终止于无穷远处。，41④两条渐近线与实轴的夹角和交点分别为③实轴上无根轨迹段；

根据以上规则可绘制系统的根轨迹如图4-7所示。425）根轨迹的分离（会合）点与分离（会合）角(1)分离（会合）点两条或两条以上根轨迹分支在s平面上相交的点称为根轨迹的分离（会合）点。由于根轨迹对称于实轴，所以分离（会合）点可以位于实轴也可以位于复平面上。如图4-8所示。图4-8根轨迹上的分离点和会合点

43其中，在图4-8(a)和图4-8(b)中，分离点和会合点均位于实轴上，通常将根轨迹分支离开实轴进入复平面时与实轴的交点称为分离点，如图4-8(a)所示；而将根轨迹分支从复平面进入实轴时与实轴的交点称为会合点，如图4-8(b)所示。分离（会合）点还可以共轭复数对的形式出现在复平面中，如图4-8(c)所示。44

由于根轨迹上的分离（会合）点实质上就是闭环特征方程的重根，因而可以利用求解方程重根的方法确定根轨迹上的分离（会合）点。针对式(4-6)所示系统，可得其特征多项式为(4-20)

则在根轨迹上的分离（会合）点，即系统特征方程的重根处，一定满足

(4-21)

(4-22)45将式(4-21)除式(4-22)得

(4-23)

即

由于

所以

(4-24)

46根据式(4-24)，可得

利用式(4-25)求出实数s值（实轴上的根轨迹）中，使k>0的点，即为所求的分离点与会合点。对应于重根处的k值，可由式(4-21)或特征方程式(4-7)求得，即

(4-26)(4-25)47(2)分离（会合）角所谓分离（会合）角是指根轨迹进入分离（会合）点的切线方向与离开分离（会合）点的切线方向之间的夹角。这里不加证明地给出，当有条根轨迹进入并离开分离（会合）点时，分离（会合）角的计算公式为(4-27)

显然，当r=2时，分离（会合）角必为直角。48

另外，因为针对于实轴上的根轨迹而言，在分离点处的k值最大，会合点处的k值最小。故也可根据求导来得到最大k值处的s值和最小k值处的s值。此时，利用根轨迹增益k的表达式(4-26)，将增益k对s求导，并令其为零，即，可得(4-28)

或

(4-29)

49

可见，所得结果式(4-29)与式(4-23)是等价的。规则5：根轨迹的分离（会合）点可由式(4-25)或式(4-28)求解；分离（会合）点对应的根轨迹增益k可利用式(4-26)求解；根轨迹在分离（会合）点处的分离（会合）角可由式(4-27)求解。必须指出，规则5用来确定分离点或会合点的条件只是必要条件，不是充分条件，也就是说由式(4-25)或式(4-28)求的解不一定是分离点和会合点。只有当求出的重根点在根轨迹上时，该点才是分离点或会合点。所以在求出重根及对应的k值后，必须判断该点的k值,如果该点的k>0，才能认为该点为分离点或会合点。50例4-3

已知系统开环传递函数试绘制k从0

+

变化时的根轨迹。解

①开环极点p1=0、p2=-2；没有开环零点；n-m=2。②系统有两条根轨迹，分别起始于0、-2，均终止于无穷远处。，51③实轴上(-2,0)区段为根轨迹段；52④两条渐近线与实轴的夹角和交点分别为，53⑤根轨迹的分离点方法一：根据式(4-25)可得即

解此方程可得分离点为在分离点s=-1处的分离角，根据式(4-27)可知为得

方法二:由再令

同样可得

54

系统的根轨迹如图4-9所示。

图4-9例4-3系统的根轨迹

556）根轨迹与虚轴的交点由前可知，系统闭环极点的位置影响系统的瞬态响应及品质指标，特征根在s平面的左半平面时，系统处于稳定状态，根轨迹穿越虚轴进入右半平面，系统将不稳定，根轨迹与虚轴相交，意味着闭环极点中有一部分极点为纯虚数，系统处于临界稳定状态。为了判断系统的稳定范围，需确定根轨迹与虚轴的交点。56根轨迹与虚轴的交点可采用以下两种方法确定：

1)利用劳斯判据，可求出系统临界稳定时的k值和根轨迹与虚轴的交点。2)由特征方程方程s=j

联立求解，可得

即

(4-30)和虚轴57

根据式(4-30)，则可解出根轨迹与虚轴的交点

值及对应的临界开环增益k值。规则6：根轨迹与虚轴的交点可根据劳斯判据或式(4-30)求解。58例4-4

已知系统开环传递函数试绘制k从0

+

变化时的根轨迹；解

①开环极点p1=0、p2=-1、p3=-2；无开环零点；n-m=3。

②系统有三条根轨迹，分别起始于0、-1、-2，均终止于无穷远处。

59④三条渐近线与实轴的夹角为渐近线与实轴的交点③实轴上(-

,-2)与(-1,0)两区段为根轨迹；60⑤根轨迹的分离点方法二：根据系统特征方程

得

由

解得：s1=-0.42,

s2=-1.58,(舍去)方法一：根据式(4-25)有

得

61⑥求根轨迹与虚轴交点系统闭环特征方程为：列Routh阵列：

根据劳斯阵列可知,系统临界稳定时k=6，将其代入辅助方程求得

62根据以上规则可绘制系统的根轨迹如图4-10所示。

637）根轨迹的出射角和入射角根轨迹的出射角，是指起始于复数开环极点的根轨迹在起点处的切线与正实轴方向的夹角。如图4-11中的

p1角。而根轨迹的入射角，是指终止于复数开环零点的根轨迹在终点处的切线与正实轴方向的夹角，如图4-12中的

z1角.图4-11根轨迹的出射角图4-12根轨迹的入射角

64

在图4-11所示根轨迹上，靠近起始点p1附近取一点s1，根据根轨迹相角条件有

当s1无限靠近pl时，则各开环零、极点指向sl的向量，就变成各开环零、极点指向pl的矢即为出射角量，而这时

更一般情况，根据相角条件式(4-7)，根轨迹在第a个开环极点pa处的出射角为

(4-31)

65同理可得，根轨迹在第b个开环零点zb处的入射

有了出射角与入射角，就可确定根轨迹在复数开环极点和复数开环零点处大致的起始方向与终止方向。规则7：根轨迹的出射角和入射角分别根据式(4-31)和式(4-32)计算。角为(4-32)66例4-5

单位反馈系统的开环传递函数试绘制系统根轨迹。

解

①系统开环极点p1=0、p2=-1+j、p3=-1-j；无开环零点；n-m=3。

②系统有3条根轨迹，分别起始于3个开环极点p1,p2,p3，它们均终止于无穷远处；67

④

三条渐近线夹角和交点分别为③实轴上根轨迹段为(-

，0)；⑤由于根据式(4-25)所得方程在k>0时无解，所以无分离点；68⑥根轨迹与虚轴交点系统闭环特征方程为：列Routh阵列：

根据劳斯阵列可知，系统临界稳定时k=4，将其代入辅助方程P(s)=2s2+k=2s2+4=0

得

即根轨迹在k=4时，与虚轴交于69⑦根轨迹在极点p2处的出射角因p2与p3为共轭复数，所以

70图4-13例4-5的根轨迹

系统的根轨迹如图4-13所示。

71

由此可见，在给定系统开环零点和开环极点的情况下，利用以上介绍的绘制根轨迹的7条基本规则，就可以比较迅速地绘制出根轨迹的大致形状和变化趋势。如果对某些重要部分的根轨迹感兴趣，比如虚轴和原点附近的根轨迹，可以根据相角条件精确绘制。需要说明的是，根据系统的不同，绘制系统的根轨迹不一定要用到以上全部的绘制规则，有时只用到部分规则就可以绘制出系统完整的根轨迹。72

2．系统的闭环极点与闭环极零点的关系在根轨迹上，当根轨迹增益k为确定值时，若已知一些闭环极点，利用根之和、根之积规则可以较方便地确定其它待求的根。73

系统的特征方程可表示为

当系统n

m+2时，sm阶次比sn

、sn-1要低，上式闭环特征方程还可由闭环极点pci来表示

(4-35)

(4-33)合并为

(4-34)74比较式(4-34)与(4-35)中sn-1的系数有式中，pci为系统闭环极点，i=l,2,…,n；pi为系统开环极点，i=l,2,…,n。根据这一规则可知，当系统n

m+2时，根轨迹若有一些分支向左移，必有一些分支向右移动，以保持不变。(4-36)75式中，pci为系统闭环极点，i=l,2,…,n；pi为系统开环极点，i=l,2,…,n；zj为系统开环零点，j=l,2,…,m；k为根轨迹增益。

由此可见，当系统满足n

m+2时，根轨迹增益k变化时，闭环极点之和为常数，等于开环极点之和。系统闭环极点之积满足式（4-37）。

比较式(4-34)与(4-35)式的常数项可得，n个闭环极点之积为

(4-37)

76图4-14正反馈控制系统

4.2.2正反馈系统的根轨迹

前面提到的建立根轨迹的基本规则是针对负反馈控制系统而言的。而对图4-14所示的正反馈控制系统，其闭环传递函数为

其特征方程式为

(4-38)

77

由此可得正反馈系统的特征方程式应满足的两个条件幅值条件

相角条件

由式(4-38)、(4-39)可见正反馈系统根轨迹的幅值条件与负反馈系统的相同，而相角条件与负反馈系统的不同。因此绘制正反馈系统的根轨迹时，必须修改绘制负反馈系统根轨迹基本规则中的与相角有关的规则，即规则3、规则4和规则7。即：(4-39)(4-40)78

规则4：正反馈系统根轨迹渐近线与实轴的夹角为

(4-41)

规则3：正反馈系统在实轴上的根轨迹是分布在其右边的开环实零、极点总数为偶数的线段上。根轨迹的入射角为(4-43)

(4-42)规则7：正反馈系统根轨迹的出射角为79

除了上述3条规则修改外，其它规则与负反馈系统相同。其中包括分离（会合）角的计算公式仍按式(4-28)计算。80

例4-6

系统结构图如图4-15所示，试绘制具有正反馈控制系统的根轨迹，并证明根轨迹为一圆。

解

(1)正反馈系统的开环传递函数为图4-15正反馈控制系统

81①系统开环极点p1=0、p2=-1；开环零点z1=2。n-m=1；②根轨迹有两条，分别起始于开环极点p1,p2；两条根轨迹分别趋向于z1=2和无穷远处；82③根轨迹在实轴上分布在(2，+

)和(0，-1)之间；④根轨迹的渐近线有一条，夹角

a=0与正实轴重合；83⑤根轨迹的分会点根据式(4-25)可得

求得分会点为s1=4.45(k1=9.9),s2=-0.45(k2=0.1)

即根轨迹的分离点有2个s1=4.45,s2=-0.45。84系统特征方程为将s=j

代入特征方程

D(s)中，得可得：

⑥根轨迹与虚轴的交点85图4-16例4-6正反馈控制系统的根轨迹

根轨迹的大致图形如图4-16所示。

当k>l时，系统的闭环极点将位于s平面的右半平面，正反馈系统将是不稳定的。

86(2)证明根轨迹为一圆①由特征方程得

将代入上式可得消去以上两式中的k可得

分别令其实部和虚部为零，有87②利用相角条件：将代入以上相角条件可得

整理可得

可见，根轨迹在s平面是以为圆心，为半径的圆。

884.2.3180

等相角根轨迹和0

等相角根轨迹（n

m）

(4-6)

因为上面介绍的负反馈系统和正反馈系统根轨迹的绘制规则，都是首先假设能将系统的开环传递函数表示成如式(4-6)所示的零、极点形式，然后根据根轨迹增益k从0

+

变化时，应用系统特征方程的相角条件或幅值条件进行推导的。

89

所以，当系统的开环传递函数不能表示成如式(4-6)所示的零、极点形式时，应对具有负反馈结构的系统，采用正反馈系统的根轨迹规则进行绘制；对具有正反馈结构的系统，采用负反馈系统的根轨迹规则进行绘制。这是因为对于某些系统虽然是负反馈（或正反馈）结构，但在将其开环传递函数表示成如式(4-6)所示的零、极点形式时，开环传递函数前可能出现一负号，使系统具有正反馈（或负反馈）的性质。90

由此可见，绘制系统的根轨迹时，不仅要看系统的结构，而且也要看系统的开环传递函数的形式，结合两者才能判断该系统的根轨迹满足的相角条件是式(4-5)还是式(4-39)，从而最终决定采用何种反馈方式的规则进行绘制系统的根轨迹。91

通常，也将复平面上所有满足相角条件式(4-5)的点s连成的曲线称为180

等相角根轨迹，即上面所述的负反馈系统的根轨迹；将复平面上所有满足相角条件式(4-40)的点s连成的曲线称为0

等相角根轨迹（零度根轨迹），即上面所述的正反馈系统的根轨迹。一般来说，0

等相角根轨迹的来源有两个方面：其一是系统的开环传递函数中包含s最高次幂的系数为负的因子；其二是控制系统中包含有正反馈回路。92

例如对如图4-15所示的具有正反馈结构的控制系统，如该系统的开环传递函数为则将其表示成如式(4-6)所示的零、极点形式时，开环传递函数就变为所以该系统实际具有负反馈的性质。因此绘制该系统的根轨迹时，应该采用负反馈系统的根轨迹规则进行绘制，即该系统的根轨迹是180

等相角根轨迹。934-3参数根轨迹的绘制

前面讨论系统根轨迹的绘制方法时，是以根轨迹增益k（或开环增益K）为可变参量，这是在实际中最常见的情况。而在实际控制系统中，有时需要研究根轨迹增益k以外的其它参数，如开环零点、开环极点、时间常数和反馈系数等对系统性能的影响，这时可绘制以其它参数为可变参数的根轨迹。94

通常将负反馈系统中以根轨迹增益k为可变参量的根轨迹称为常规根轨迹。而将除根轨迹增益k为可变参量的根轨迹以外，其他情况下的根轨迹统称为广义根轨迹。如以上介绍的零度根轨迹，及以下将要介绍的参数根轨迹、开环传递函数中零点个数多于极点个数时的根轨迹和开环传递函数中含有纯迟延因子时的根轨迹等均可列入广义根轨迹的范畴。954.3.1单参数根轨迹

绘制单参数根轨迹的规则与绘制常规根轨迹的规则完全相同。只要在绘制参数根轨迹之前，引入等效开环传递函数概念，则常规根轨迹的所有绘制规则，均适用于参数根轨迹的绘制。96已知系统的开环传递函数为假设

m为可变参数，闭环系统的特征方程

(4-45)

(n

m)(4-44)97总可以化成当的阶次不小于的阶次时，有否则，有(4-48)

(4-46)(4-47)98

比较式（4-45）和式（4-47）知，它们尽管等式左边的第二项不同，但它们都由同一特征方程式得到，因而可得到相同的闭环极点，故可把看成一个等效开环传递函数，即令

(4-49)

则

等效开环传递函数中

m所处的位置与原开环传递函数中k的位置相同，这样就可按前述绘制以k为参变量的方法来绘制以

m为参变量的根轨迹。99

当系统的其他参数作为参变量时，可以采用同样的方法处理。顺便指出，当系统的开环传递函数式(4-44)中的n<m时，对于根轨迹的绘制，同样也可采用类似式(4-48)的方法处理。

需要强调指出，等效开环传递函数是根据式(4-45)得来的，因此“等效”的含义仅在闭环极点相同这一点上，而闭环零点一般是不同的。所以根据闭环零、极点分布来分析和估算系统性能时，可以采用参数根轨迹上的闭环极点，但必须采用原来闭环系统的零点。100例4-7

已知系统开环传递函数试绘制参数T从0

变化时系统的根轨迹。

解系统闭环特征方程为以除特征方程，得等效开环传递函数为

其中k1=6T，由于k1所处位置与G(s)H(s)中k所处位置相当，可以按以k为参变量绘制常规根轨迹的方法来绘制k1=6T为参变量的根轨迹。101

①系统开环极点p1=-3、p2=j、p3=-j开环零点z1=0；n-m=2。

②根轨迹有三条，分别起始于开环极点p1,p2,p3；三条根轨迹分别趋向于0和无穷远处，

③实轴上的根轨迹在(0,-3)之间。

④渐近线有两条，其夹角为渐近线与实轴的交点

102⑤由于根据式(4-25)所得方程在k>0时无解，故无分离点；⑥由可知，根轨迹与虚轴除在起点处和终点处有交点外无其它交点；103⑦

根轨迹的出射角对共轭复极点p2处根轨迹的出射角104

根轨迹如图4-17所示。1054.3.2多参数根轨迹在有些场合，需研究几个参数同时变化时对系统性能的影响。这时就需要绘制几个参数同时变化时的根轨迹，此时根轨迹将是一族曲线，称为根轨迹族。设系统开环传递函数为试绘制k1和k2为可变参量的根轨迹族。

(4-50)第一步：令可变参数k2为零，绘制k1的根轨迹。第二步：令k1为某一常值，绘制k2变化时的根轨迹。106

例4-8

已知系统开环传递函数为试绘制以k和a为参变量的根轨迹族。

解第一步：令a=0，绘k为参变量的根轨迹。

此时等效开环传递函数为k变化的轨迹如图4-18(a)所示。第二步：令k=4，绘制a从0

变化时的根轨迹。根据特征方程107可得等效开环传递函数为

k=4时，a从0

变化时的根轨迹如图4-18(b)所示。该根轨迹起始于图4-18(a)根轨迹上k=4的点，即(0，

j2)点，终止于原点及无远穷处。108图4-18例4-8控制系统的根轨迹

当k为其它值时，a从0

变化时的根轨迹如图4-18(c)所示。

1094-4纯迟延根轨迹的绘制

在很多控制系统中，如过程控制系统的成分分析控制、温度控制等，不仅存在着时间常数较大的环节，还常有纯迟延存在，这时系统的开环传递函数中含有纯迟延因子e-

s。假设系统的开环传递函数为

则系统闭环特征方程为(4-56)

(4-57)

(4-55)110由于e-

s是一个超越函数，故式(4-57)为一超越方程，它有无穷多个根。因此，具有纯延迟系统的根轨迹有无穷多条分支，这是纯迟延系统根轨迹的特点。则纯延迟系统根轨迹的幅值条件为因为

相角条件为(4-58)

(4-59)式中，l=0,l,2,…111纯延迟系统根轨迹绘制的基本规则为：1．根轨迹的分支数、对称性和连续性由于e-

s是超越函数，可展开成无穷级数，即由此可知，e-

s展成无穷级数后，方程式(4-57)仍为实系数方程，仅仅是阶次是无穷大的多项式。因而系统的特征根有无穷多个。当k从0

+

连续变化时，根轨迹对称于实轴，且连续变化。所以可得绘制纯迟延系统根轨迹的规则1。规则1：纯迟延系统的根轨迹是对称于实轴的连续曲线，其分支数为无穷多个。1122．根轨迹的起点和终点

由幅值条件(4-58)式可得当k=0时，即根轨迹的起点条件为s=pi或s的实部

趋于-

。当k=+

时，由式(4-58)可得根轨迹的终止条件为s=zj或s的实部

趋于+

。

规则2：纯迟延系统根轨迹的起始点为有限的开环极点pi和无穷多个

-

的无穷远点；而根轨迹的终止点为有限零点zj和无穷多个

+

的无穷远点。1133．实轴上的根轨迹在实轴上，将

=0代入相角条件式(4-59)，其变为与常规根轨迹时相角条件相同，因此，确定实轴上根轨迹的规则3同前。即规则3：若实轴上某线段右边的所有开环零点和开环极点数目之和为奇数，则这一线段就是根轨迹。1144．根轨迹的渐近线

由上可知，纯迟延系统根轨迹的渐近线有无穷多条，且全部平行于s平面的实轴。渐近线与虚轴的交点由下式计算。(1)起点处的渐近线因在根轨迹无穷远点的起点处有:k=0，

-

。所以，这时所有开环零、极点到s平面左半无穷远处变点s的矢量相角均为

。根据纯迟延系统的相角条件式(4-59)有

(4-60)115为使式(4-60)成立，当n-m=奇数时，

应为

的偶数倍，即

=

2l

(l=0,1,2,…)

当n-m=偶数时，

应为

的奇数倍，即

=

(2l+1)

(l=0,1,2,…)

所以起点处的渐近线与虚轴的交点为当n-m=奇数时，

=

2l

/

(l=0,1,2,…)(4-61)

当n-m=偶数时，

=

(2l+1)

/

(l=0,1,2,…)(4-62)116(2)终点处的渐近线因在根轨迹无穷远点的终点处有:k=

，

+

。所以，这时所有开环零、极点到s平面右半无穷远处变点s的矢量相角均为0。根据纯迟延系统的相角条件式(4-59)有所以终点处的渐近线与虚轴的交点为

=

(2l+1)

/

(l=0,1,2,…)(4-63)规则4：纯迟延系统的根轨迹在无穷远起点处和无穷远终点处均有无限多条渐近线平行于实轴；其中，无穷远起点处的无限多条渐近线与虚轴的交点按式(4-61)或式(4-62)计算；无穷远终点处的无限多条渐近线与虚轴的交点按式(4-63)计算。1175．其它规则同前，可仿照进行。118例4-9

已知纯迟延系统开环传递函数为试绘制k

变化时系统的根轨迹。

解

1）纯迟延系统存在一个有限开环极点p=

-1；无有限开环零点。

2)根轨迹有无限多条分支，根轨迹的起点为有限开环极点p=-1及无限多个

-

的点，终点为无限个

+

的点。

3）实轴上(-1，-)区段为根轨迹段；

1194）渐近线因n-m=奇数，所以无穷远起点处的渐近线与虚轴的交点为

=

2

l

/

=

2

l

(l=0,1,2,…)无穷远终点处的渐近线与虚轴的交点为

=

(2l+1)/

=

(2l+1)

(l=0,1,2,…)渐近线用点划线标在图4-19上。120

5）分会点令

可得s=-26）求根轨迹与虚轴交点：系统闭环特征方程为将s=j

代入特征方程

D(s)中，得即121令：

可得：

有无穷多个解

=0.64

，k=2；

=2.55

，k=8；…

设l＝0,l,2,…可绘出系统根轨迹如图4-19所示。l=0的根轨迹称为主根轨迹。l=l,2,…的根轨迹称为辅助根轨迹。系统的动态响应主要由主根轨迹来决定。122图4-19例4-9控制系统的根轨迹1234-5利用根轨迹分析控制系统利用特征根在s平面上的位置分析系统的稳定性和动态特性是根轨迹法的重要应用。本节通过实例来具体说明。4.5.1利用根轨迹定性分析系统如果系统的根轨迹全部位于s左半平面，则对于所有的根轨迹可变参数，闭环系统都是稳定的。但是很多系统的根轨迹通常一部分位于s左半平面，而另一部分位于s右半平面。这意味着对于某些根轨迹的可变参数，在一定范围内取值时，闭环系统是稳定的；而取值超出此范围时，闭环系统是不稳定的。可变参数在一定范围内取值才能使闭环系统稳定，这样的系统称为条件稳定系统。对于条件稳定系统，可由根轨迹法确定使系统稳定的参数取值范围。即使对于稳定的系统，也可能由于根轨迹的不同，系统表现为不同的动态过程。124例4-10

已知系统开环传递函数(1)试绘制k从0

+

变化时的根轨迹；(2)利用根轨迹分析k对系统动态特性的影响；(3)利用根轨迹确定使闭环系统稳定时的根轨迹增益k的范围。解

(1)绘制k从0+

变化时的根轨迹①开环极点p1=0、p2=-4、p3=-6;无开环零点；n-m=3。②系统有三条根轨迹，起始于0、-4、-6，均终止于无穷远处。

125④三条渐近线与实轴的夹角为渐近线与实轴的交点⑤根轨迹的分离点分离点为:s1=-1.57，在分离点s1=-1.57处的分离角，根据式(4-27)可知为⑥求根轨迹与虚轴交点③实轴上(-

,-6)与(-4,0)两区段为根轨迹；126图4-21例4-10控制系统的根轨迹127系统根轨迹如图4-21所示。(2)从根轨迹图可以看到：当0<k

16.9时，系统三个闭环极点都是负实数，系统为衰减单调型；当16.9<k<240时，系统有两个闭环极点成为实部为负的共轭复数，系统为衰减振荡型；当k=240时，闭环系统临界稳定，系统为等幅振荡型；当k>240时，闭环系统不稳定。(3)由以上对根轨迹分析可知，使闭环系统稳定时的根轨迹增益k的范围为0<k<240

可见，根轨迹清晰地描绘了闭环极点与根轨迹系数k的关系。1284.5.2利用根轨迹定量分析系统1．利用根轨迹估算系统的性能根轨迹分析法和时域分析法的实质是一样的，都可用来分析系统的性能。但是由根轨迹采用的是图解方法，与时域分析法相比，避免了繁琐的数学计算，又能清楚地看到系统开环根轨迹增益或其它开环参数变化时，系统闭环极点位置及其动态性能的改变情况。根轨迹法用于控制系统的分析和设计十分方便，尤其是对于具有主导极点的高阶系统，使用根轨迹对系统进行分析和设计更加简便。129对于典型二阶系统的传递函数

(4-65)

在欠阻尼状态下，系统的两个闭环极点为一对共轭复极点，即

根据第3章3.3.4小节中的讨论可知，二阶系统的等

线与负实轴间的夹角

越小，系统的阻尼比

就越大，则系统的超调量越小。闭环极点离开虚轴的距离越远，系统的调整时间越小。；130图4-22

显然，如果二阶系统的闭环极点位于如图4-22所示的折线ABCD的左边区域，则必有；131

在具有主导极点的高阶系统中，可以使用该方法估算系统的动态性能指标。在进行高阶系统的性能指标估算时，应先确定系统的闭环主导极点；然后将系统简化为以主导极点为极点的二阶系统（主导极点为一对共轭复数）或一阶系统（主导极点为一个实数）；最后再根据二阶系统（或一阶系统）的性能指标来估算。132例4-11已知例4-10所给系统。试判断闭环极点是否为系统的主导极点。若是，试解

(1)首先根据根轨迹的绘制规则，可得系统的根轨迹如图4-23（a）所示。估算该系统的超调量和调整时间。图4-23系统根轨迹及性能指标计算图133(2)判断闭环极点①判断闭环极点利用图4-23（b），根据相角条件可知点满足相角条件。所以是系统根轨迹上的是否为系统的主导极点是否为系统的闭环极点点，即为系统的闭环极点。134②判断闭环极点是否为系统的主导极点首先假设系统的另一个闭环极点为，然后再根据。当系统满足n

m+2时，系统的闭环极点之和等于开环极点之和。则有解上式可得：由，可知为系统的主导复极点。在闭环极点处的根轨迹增益k，可根据以下特和征方程求解，即135(3)估算系统的性能指标根据以上所得系统的闭环极点、根据主导极点(s)和对应的根轨迹增益k，可得系统的闭环传递函数为，将原三阶系统近似为以下典型其中，系数根据系统近似前后要保证其稳态值（系统稳态增益）不变，即求得为

二阶系统136(s)由图4-23（b）可知，在闭环主导极点处，系统的阻尼角为则系统的超调量和调整时间分别为。1372．利用根轨迹计算系统的参数利用根轨迹法可以计算在一定性能指标下的系统参数。这里通过下例来讨论如何根据系统的动态和稳态性能指标来确定系统的参数。例4-12

已知例4-10所给系统。(1)若要求在单位阶跃输入信号作用时，闭环系统的超调量。试确定根轨迹增益k的范围。(2)能否通过选择k满足系统静态速度误差系数的要求。解

(1)由于闭环系统的超调量为所以，可得阻尼角138

在根轨迹图上，画一条与负实轴为的直线，它与根轨迹交于A点，如图4-24所示。假设A点的坐标为，则另外根据相角条件有联立求解以上两式可得即A点的坐标为由于根据上例4-11知，可作为系统的闭环主导极点，且这时系统的根轨迹增益。所以，若要求系统的超调量，则根轨迹增益要满足139。

另外，将A点的坐标代入系统的闭环特征方程，令其实部和虚部分别为零，再利用A点坐标的实部和虚部的关系式，也可求出A点的坐标和对应的根轨迹增益。

(2)系统静态速度误差系数为

由例4-10可知，使闭环系统稳定时的根轨迹增益k的范围为0<k<240。因此，在使闭环系统稳定的范围内，静态速度误差系数所以，不能通过选择k满足系统静态速度误差系数140图4-24系统根轨迹1414-6利用MATLAB进行根轨迹分析

MATLAB提供了绘制系统精确根轨迹的函数，使用它们不仅可以很方便地绘制出控制系统的零、极点图和根轨迹，而且也可以利用绘制出的根轨迹求给定点的根轨迹增益.1424.6.1绘制系统根轨迹和获得根轨迹增益1．绘制系统的根轨迹利用rlocus()函数可绘制出当根轨迹增益k由0至+∝变化时，闭环系统的特征根在s平面变化的轨迹，该函数的调用格式为

[r,k]=rlocus(num,den)或[r,k]=rlocus(num,den,k)143

如果系统的开环传递函数是用零、极点的形式表示，也就是说它们的分子和分母可能由若干个一阶多项式相乘组成，则可利用MATLAB中的多项式乘法运算函数conv()将其分子和分母分别处理成一个高阶多项式的形式。当然也可以先表示成零、极点的形式，然后再利用函数zpk2tf()将其转换成的多项式的形式。这些函数的具体调用格式参第2章的2.5节。1441442.获得系统的根轨迹增益在系统分析过程中，常常希望确定根轨迹上某一点处的增益值k，这时可利用MATLAB中的rlocfind()函数，在使用此函数前要首先得到系统的根轨迹，然后再执行如下命令[k,poles]=rlocfind(num,den)[k,poles]=rlocfind(num,den,p)其中，num和den分别为系统开环传递函数的分子和分母多项式的系数按降幂排列构成的系数向量；poles为所求系统的闭环极点；k为相应的根轨迹增益；p为系统给定的闭环极点。145例4-13

已知某反馈系统的开环传递函数为试绘制该系统根轨迹，并利用根轨迹分析系统稳定的k值范围。解MATLAB的命令为>>num=1;den=conv([1,0],conv([1,1],[1,2]));>>rlocus(num,den);[k,poles]=rlocfind(num,den)或>>K=1;Z=[];P=[0;-1;-2];[num,den]=zp2tf(Z,P,K);>>rlocus(num,den);[k,poles]=rlocfind(num,den)执行以上命令，并移动鼠标到根轨迹与虚轴的交点处单击鼠标左键后可得如图4-25所示的根轨迹和如下结果：146Selectapointinthegraphicswindowselected_point=0.0000-1.4142ik=6.0000poles=-3.00000.0000+1.4142i0.0000-1.4142i图4-25负反馈系统的根轨迹

由此可见根轨迹与虚轴交点处的增益k=6，这说明当k<6时系统稳定，当k>6时，系统不稳定；利用rlocfind()函数也可找出根轨迹从实轴上的分离点处的增益k=0.38,这说明当0<k<0.38时，系统为单调衰减稳定，当0.38<k<6时系统为振荡衰减稳定的。

147例4-14

已知某正反馈系统的开环传递函数如例4-13所示。试绘制系统根轨迹，并计算根轨迹上点-2.3

j2.02处的根轨迹增益和此时系统的稳定性。解MATLAB的命令为>>num=1;den=conv([1,0],conv([1,1],[1,2]));>>rlocus(-num,den);[k,poles]=rlocfind(-num,den,-2.3+2.02j)执行以上命令可得如下结果和如图4-26所示的根轨迹。148k=15.0166poles=-2.3011+2.0195i-2.3011-2.0195i1.6021图4-26正反馈系统的根轨迹

由此可见，点-2.3

j2.02确实为根轨迹上的，且该点处的增益为15.0166，而由于另一个闭环极点位于正实轴上的1.6021点处，故此时系统不稳定。实际上由于系统的一条根轨迹一直位于正实轴上，因此该系统在所有的正值增益k值下均不稳定。149

由以上两例可见，对同一开环传递函数，其正、负反馈系统在实轴上的根轨迹正好互补，它们的根轨迹共同占据了整个实轴，即实轴上负反馈系统的根轨迹没有经过的区段恰好有相应的正反馈系统的根轨迹所填补。1504.6.2绘制阻尼系数和自然频率的栅格线

MATLAB中的函数sgrid()可在系统的根轨迹或零极点图上绘制出栅格线，栅格线由等阻尼系数和等自然频率线构成，阻尼系数ζ以步长0.1，从0到1给出；自然频率ωn以步长π/10，从0到π绘出。函数sgrid()有以下几种调用格式sgrid%在已有的图形上绘制栅格线；

sgrid('new')%先清除图形屏幕，然后绘制出栅格线并设置成holdon，使后续绘图命令能绘制在栅格上；

sgrid(zeta,wn)%可指定阻尼系数ζ和自然频率ωn；

sgrid(zeta,wn,'new')%可指定阻尼系数ζ和自然频率ωn；且在绘制栅格线之前清除图形窗口。

1514-15

已知某负反馈系统的开环传递函数如例4-13所示。试绘制系统的根轨迹，并求取系统具有阻尼比

=0.5的共轭闭环极点，并估算此时系统的性能指标。解MATLAB的命令为>>num=1;den=conv([1,0],conv([1,1],[1,2]));>>rlocus(num,den);sgrid(0.5,[]);执行以上命令，可得如图4-27所示的根轨迹。然后移动鼠标到根轨迹与阻尼比

=0.5射线的交点处单击鼠标左键便可获得此时系统的有关性能指标，即可得系统的阻尼比

=0.5时，根轨迹增益为1.02；闭环极点为-0.335j0.569；最大超调量(%)为15.8%；阻尼比为0.507；无阻尼自然振荡频率为0.661，如图4-27所示。152图4-27例4-15的根轨迹153

再者，由于系统另外一个闭环实极点位于其开环极点-2的左边，且2/0.335>5，故另外一个闭环实极点离虚轴的距离一定大于共轭闭环极点-0.335

j0.569离虚轴距离的5倍以上，因此极点-0.335j0.569可作为该系统的一对共轭闭环主导极点。从而根据该主导极点的实部可知，系统的调整时间为(34)/0.335。拖动利用鼠标单击所产生的标记点，也可获得各个点的系统有关性能指标。尽管直接利用鼠标单击虽然快捷，并同时给出了系统的动态性能指标，但不能给出其余极点的值和位置。若要获得它们的值和位置，则需利用rlocfind()函数。154本章小结系统闭环传递函数的极点、零点的分布位置对系统的性能有直接的影响。根轨迹法是根据系统的开环零、极点分布绘制系统某个参数变化时，闭环系统特征根的轨迹曲线。利用根轨迹法，能较方便地确定高阶系统中某个参数变化时闭环极点分布的规律，可形象地看出参数对系统动态过程的影响，特别是可以看到增益变化的影响。

155第5章控制系统的频域分析目录5-1频率分析的基础知识5-2典型环节的频率特性5-3系统的开环频率特性5-4系统的闭环频率特性5-5利用频率特性对闭环系统进行分析5-6基于MATLAB的控制系统频裕分析156

频域分析法:频域分析法的特点:

1可以根据系统的开环频率特性去判断闭环系统的性能。

是一种图解分析方法，它依据系统的频率特性，对系统的性能进行分析。

2能较方便地分析系统中参数对系统性能的影响。1575-l频率分析的基础知识

5.1.1频率特性的基本概念

在正弦输入信号作用下，线性定常系统输出的稳态分量称为系统的频率响应。

系统频率响应与正弦输入信号的关系称为频率特性。

图5-1系统的传递函数为158

正弦输入信号

系统输出响应为(5-1)其中159

对式(5-1)进行拉氏反变换，可得对于稳定的系统，当t

+

时，

此时系统的稳态分量为(5-3)(5-2)160(5-3)

式(5-3)表明,线性定常系统在正弦输入信号作用下,其输出的稳态分量是与输入正弦信号同频率的正弦信号,与输入正弦信号的幅值之比为|G(j

)|,相角之差为∠G(j

),均与G(j

)有关。式中，即

161通常定义(5-4)

为系统的频率特性，它反映了线性定常系统在正弦输入信号作用下，系统稳态输出信号与正弦输入信号之间的关系。

A(

)=|G(j

)|系统稳态输出信号与正弦输入信号的幅值之比,称为系统的幅频特性,反映了系统稳态输出对于不同频率正弦输入信号的幅值变化特性。

(

)=∠G(j

)系统稳态输出信号与正弦输入信号的相角之差,称为系统的相频特性,表示系统输出对于不同频率正弦输入信号的相位变化特性。

162(5-5)

因为频率特性G(j

)为复数，所以它还可以用如下的形式来表示，即

显然，频率特性的极坐标和直角坐标表示形式的相互关系为式中，Re(

)为频率特性G(j

)的实部，它是频率

的函数，称为系统的实频特性；Im(

)为频率特性G(j

)的虚部，它也是频率

的函数，称为系统的虚频特性。163(5-6)

通过上述推导过程，可以看出系统的频率特性与传递函数的关系为

由于这种简单关系的存在，利用频率特性的频率分析法和利用传递函数的时域分析法在数学上是等价的，因此在系统分析和设计时，其作用也是类似的。但频率分析法有其独特的优势。因为利用式(5-6)不仅可以获得稳定系统的频率特性，而且也可获得不稳定系统的频率特性。另外稳定系统的频率特性还可以通过实验的方法获得，这对于那些内部结构未知以及难以用分析的方法列出动态方程的系统尤为重要。频率特性虽然是一种稳态特性，但它却不仅能够反映系统的稳态性能，而且还可以用来研究系统的稳定性和暂态响应。164

根据对数频率特性的实部和虚部(不考虑0.434)，可得：

对数幅频特性:

对数相频特性:

另外，由系统的频率特性式(5-4)，可得系统的对数频率特性165对数幅相图对数幅相频率特性(Nichols)对数坐标图对数频率特性(Bode)频率对数分度幅值/相角线性分度极坐标图幅相频率特性(Nyquist)以频率为参变量表示对数幅值和相角关系：L(

)—

(

)图5.1.2频率特性的表示方法166(1)极坐标图

极坐标图，又称为幅相频率特性曲线。它是当频率

从0变化时，G(j

)在直角坐标复平面上的幅值A(

)=|G(j

)|与相角

(

)=∠G(j

)的关系曲线。

幅频特