结构位移和刚度-图乘法（建筑力学）

图乘法1主要内容图乘法的公式和适用条件图乘计算中的常见问题图乘法一、

图乘法1、图乘法的公式和适用条件

用单位荷载法求梁或刚架的位移时，其积分计算过程往往比较繁杂。如果结构满足以下两个条件：就可以用图乘法代替积分运算，从而简化计算工作。(1)杆件（或杆段）为等截面直杆，且EI为常数；

（2）在M和两个弯矩图中至少由一个是直线图形。图乘法设杆件的M图与图已知（如图），且EI为常数，其中ab段的图为直线图形。取图的延长线与x轴交点O为坐标原点。则(a)，dA=Mdx，利用位移计算公式有图乘法代入式(a)，得

(b)

又因为yC=xCtan

，则有(c)

式中，称为M图的面积对y轴的静矩，它等于M图的面积乘以其形心C的坐标xC，即图乘法式中，yC为M图的形心C下相应的图中的竖标。

对于多根杆件组成的结构，只要将每段杆图乘的结果相加，即=

用图乘法计算位移时，需要确定弯矩图的图形面积及其形心位置。下图给出几种简单图形的面积和形心位置，以备查用。式(c)表明，积分式之值等于M图的面积A乘以其形心所对应的图(直线图形)中的竖标yC，再除以杆的弯曲刚度EI。当A与yC在杆的同一侧时，两者乘积取正号，反之取负号。这就是图乘法。图乘法简单图形的面积和形心位置图乘法

2.图乘计算中的常见问题下面对图乘计算中将可能会遇到的一些问题加以讨论。

(1)两个弯矩图都为三角形。当两个三角形的高在同一边时(如图)有图乘法当两个三角形的高在两边时(如图)，有图乘法(2)复杂图形分解为简单图形

①当其中一个弯矩图为梯形时，可将其分解为两个三角形（如图）。设两个三角形的面积分别为A1和A2，该两面积形心下相应的图的竖标分别为yC1和yC2，则有图乘法

②当两个弯矩图都是梯形时，可将弯矩图都分解为两个等高的三角形(如图)。计算时A1、A2要分别与图中的两个三角形相乘，然后再相加，即图乘法

③当两个弯矩图都是直线图形，但都含有不同符号的两部分时(如图)，可将其中一个图形分解为ABC和ABD两个三角形，分别与另一个图形相乘并求和，即图乘法

④当M图如图a、b所示图形时，可将其分解为三角形（或梯形）和抛物线形，分别与图相乘，然后再求和。图乘法

(3)竖标yC必须在直线图形上取得。当两个弯矩图都是直线图形时，yC可取自任意一个弯矩图。

(4)每个面积只能对应一条直线图形。当M图对应的不是一条直线图形时(如图)，则要将其分割成几个面积，使每个面积对应一条直线图形，分别进行图乘再相加，即图乘法二、应用图乘法计算求位移解：例1图示一悬臂梁，已知EI，求B端截面的挠度yB和转角

B1、画MP图BA

lFFl

2、求yB

在B端加单位力F1=1，得虚拟状态F1=11

C

面积A=Fl2/22l/3=2l/3BAMP图3、

求

B

在B端加单位力M2=1，得虚拟状态画图BA图BA图M2=1=1l

画图

由图乘法得：

由图乘法得：图乘法

例2试用图乘法求图示简支梁跨中点C截面的竖向位移

CV和B截面的角位移

B。设梁的弯曲刚度EI为常数。图乘法正号表示

CV的方向与所设=1的方向相同，即铅直向下。=1，绘出图(图c)。解：(1)求竖向位移

CV

。绘出荷载作用下M图(图b)在C截面虚加一竖向单位力因M图和图都为折线，故必须分AC、CB两段图乘后相加，得图乘法将两图相乘，得（逆时针）

（2）求角位移

B。在B截面虚加一单位力偶=1，绘出图（图d）负号表示

B的转向与所设=1的转向相反，即逆时针方向。图乘法

例3试用图乘法求图示外伸梁C截面的竖向位移

CV。设梁的弯曲刚度EI为常数。

图乘法解：绘出荷载作用下的M图（图b）。

在C截面虚加一竖向单位力=1，绘出图(图c)。应分AB、BC两段图乘，并将AB段的M图分解为三角形和抛物线形。分段图乘后相加，得：正号表示

CV的方向与所设=1的方向相同，即铅直向下。图乘法三、应用图乘法计算求位移图乘法计算位移的解题步骤是:1)画出结构在实际荷载作用下的弯矩图MP；2)根据所求位移选定相应的虚拟状态，画出单位荷载作用下的弯矩图；3)分段计算一个弯矩图形面积及形心C对应的另一弯距图竖标yC；4)将A、yC代入图乘法公式计算所求位移。图乘法图乘法2主要内容6-8图乘法2出镜利用图乘法计算结构位移图示刚架，已知EI，求结点B的水平位移

BX和角位移

B。

c)BCA图解：2.求

Bx

在B端加水平单位力F1=1得虚拟状态a)llBCAqIIFAxFAyFC=ql/2=ql/2=0F1=11111.画MP图画图b)BCAMP图ql2/8

由图乘法得：ll图示刚架，已知EI，求结点B的水平位移

BX和角位移

B。

a)llBCAqIIFAx