《7.3 离散型随机变量的数字特征》考点讲解与专题训练

《7.3离散型随机变量的数字特征》考点讲解【思维导图】【常见考点】考法一分布列均值与方差【例1-1】已知随机变量的分布列是则（）A．B．C．D．【例1-2】．随机变量X的分布列如表所示，若，则（）X01PabA．9B．7C．5D．3【一隅三反】1．已知随机变量的分布列为：设，则的数学期望的值是（）-101A．B．C．D．2．已知X的分布列为：X－101Pa设，则Y的数学期望的值是（）A．B．C．1D．3．（多选）若随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．4．（多选）已知随机变量的分布列是－101随机变量的分布列是123则当在内增大时，下列选项中正确的是（）A．B．C．增大D．先增大后减小考法二实际应用中的分布列与均值【例2】某外贸企业在春节前夕特地从台湾进口优质大米向国内家大型农贸市场提供货源，据统计，每家大型农贸市场的年平均销售量单位：吨，以、、、、、、分组的频率分布直方图如图.（1）求直方图中的值；（2）在年平均销售量为、、、的四组大型农贸市场中，用分层抽样的方法抽取家大型农贸市场，求年平均销售量在、、的农贸市场中应各抽取多少家？（3）在（2）的条件下，再从、、这三组中抽取的农贸市场中随机抽取家参加国台办的宣传交流活动，记恰有家在组，求随机变量的分布列与期望和方差.【一隅三反】1．为迎接年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过小时免费，超过小时的部分每小时收费标准为元（不足1小时的部分按小时计算）.有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过小时离开的概率分别为、；小时以上且不超过小时离开的概率分别为、；两人滑雪时间都不会超过小时.（1）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；（2）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量（单位：元），求的分布列与数学期望，方差.2．某中学利用周末组织教职员工进行了一次秋季登山健身的活动，有个人参加．现将所有参加者按年龄情况分为等七组.其频率分布直方图如图所示，已知这组的参加者是6人．（I）根据此频率分布直方图求；（II）组织者从这组的参加者（其中共有4名女教师，其余全为男教师）中随机选取3名担任后勤保障工作，其中女教师的人数为，求的分布列、均值及方差.（Ⅲ）已知和这两组各有2名数学教师．现从这两个组中各选取2人担任接待工作，设两组的选择互不影响，求两组选出的人中恰有1名数学老师的概率考法三均值方差做决策【例3】．甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ与η，且ξ，η的分布列为：ξ123Pa0.10.6η123P0.3b0.3（1）求a，b的值；（2）计算ξ，η的期望与方差，并以此分析甲、乙技术状况．【一隅三反】1．某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，）的函数解析式；（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：日需求量n14151617181920频数10201616151320以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.①若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、数学期望及方差；②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.2．甲､乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪80元，每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内(含40单)的部分每单抽成6元，超出40单的部分每单抽成7元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表：送餐单数3839404142天数101510105乙公司送餐员送餐单数频数表：送餐单数3839404142天数51010205若将频率视为概率，回答下列两个问题：（1）记乙公司送餐员日工资为(单位：元)，求的分布列和数学期望；（2）小王打算到甲､乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由.答案解析考法一分布列均值与方差【例1-1】已知随机变量的分布列是则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由分布列的性质可得，得，所以，，因此，.故选：C.【例1-2】．随机变量X的分布列如表所示，若，则（）X01PabA．9B．7C．5D．3【答案】C【解析】，由随机变量的分布列得：，解得，，．．故选：．【一隅三反】1．已知随机变量的分布列为：设，则的数学期望的值是（）-101A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意，根据分布列的性质，可得，解得，所以随机变量的期望为，又由，所以随机变量的期望为故选：C.2．已知X的分布列为：X－101Pa设，则Y的数学期望的值是（）A．B．C．1D．【答案】B【解析】由题意，根据分布列的性质，可得，解得，所以随机变量的期望为，又由，所以随机变量的期望为故选：B.3．（多选）若随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】ABC【解析】因为随机变量服从两点分布，且，所以，，所以，故A正确；，故B正确；，故C正确；，故D不正确.故选：ABC4．（多选）已知随机变量的分布列是－101随机变量的分布列是123则当在内增大时，下列选项中正确的是（）A．B．C．增大D．先增大后减小【答案】BC【解析】对于，，，故错误；对于，，，故正确；对于，，当在内增大时，增大，故正确；对于，，，当在内增大时，单调递增，故错误．故选：．考法二实际应用中的分布列与均值【例2】某外贸企业在春节前夕特地从台湾进口优质大米向国内家大型农贸市场提供货源，据统计，每家大型农贸市场的年平均销售量单位：吨，以、、、、、、分组的频率分布直方图如图.（1）求直方图中的值；（2）在年平均销售量为、、、的四组大型农贸市场中，用分层抽样的方法抽取家大型农贸市场，求年平均销售量在、、的农贸市场中应各抽取多少家？（3）在（2）的条件下，再从、、这三组中抽取的农贸市场中随机抽取家参加国台办的宣传交流活动，记恰有家在组，求随机变量的分布列与期望和方差.【答案】（1）；（2）年平均销售量在、、的农贸市场中应各抽取、、家；（3）分布列见解析，，.【解析】（1）由频率和为，即，解得；（2）年平均销售量在的农贸市场有（家），同理可求年平均销售量、、的农贸市场有、、家，所以抽取比例为，从年平均销售量在的农贸市场中应抽取（家），从年平均销售量在的农贸市场中应抽取（家）从年平均销售量在的农贸市场中应抽取（家），即年平均销售量在、、的农贸市场中应各抽取、、家；（3）由（2）知，从、、的大型农贸市场中各抽取家、家、家，所以随机变量的可能取值分别为、、、，则，，，，的分布列如下表所示：数学期望为，方差为.【一隅三反】1．为迎接年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过小时免费，超过小时的部分每小时收费标准为元（不足1小时的部分按小时计算）.有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过小时离开的概率分别为、；小时以上且不超过小时离开的概率分别为、；两人滑雪时间都不会超过小时.（1）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；（2）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量（单位：元），求的分布列与数学期望，方差.【答案】（1）；（2）分布列见解析，，.【解析】（1）两人所付费用相同，相同的费用可能为、、元，两人都付元的概率为，两人都付元的概率为，两人都付元的概率为.则两人所付费用相同的概率为；（2）设甲、乙所付费用之和为，可能取值为、、、、，则，，，，.所以，随机变量的分布列为..2．某中学利用周末组织教职员工进行了一次秋季登山健身的活动，有个人参加．现将所有参加者按年龄情况分为等七组.其频率分布直方图如图所示，已知这组的参加者是6人．（I）根据此频率分布直方图求；（II）组织者从这组的参加者（其中共有4名女教师，其余全为男教师）中随机选取3名担任后勤保障工作，其中女教师的人数为，求的分布列、均值及方差.（Ⅲ）已知和这两组各有2名数学教师．现从这两个组中各选取2人担任接待工作，设两组的选择互不影响，求两组选出的人中恰有1名数学老师的概率【答案】（I）40（II）见解析（Ⅲ）【解析】（I）这组频率为，所以（II）这组的参加者人数为，，,,（Ⅲ）这组的参加者人数为这组的参加者人数为恰有1名数学老师的概率为考法三均值方差做决策【例3】．甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ与η，且ξ，η的分布列为：ξ123Pa0.10.6η123P0.3b0.3（1）求a，b的值；（2）计算ξ，η的期望与方差，并以此分析甲、乙技术状况．【答案】（1）a＝0.3；b＝0.4；（2）2.3；2；0.81；0.6；甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优势与劣势．【解析】(1)由离散型随机变量的分布列的性质可知a＋0.1＋0.6＝1，∴a＝0.3.同理0.3＋b＋0.3＝1，b＝0.4.(2)E(ξ)＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3，E(η)＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2，D(ξ)＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81，D(η)＝(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.3＝0.6.由于E(ξ)＞E(η)，说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但D(ξ)>D(η)，说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优势与劣势．【一隅三反】1．某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，）的函数解析式；（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：日需求量n14151617181920频数10201616151320以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.①若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、数学期望及方差；②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.【答案】（1）；（2）①分布列详见解析，，；②都有道理，理由详见解析.【解析】（1）当日需求量时，利润.当日需求量时，利润.所以关于的函数解析式为.（2）①X可能的取值为60，70，80，并且，，.X的分布列为6070800.10.20.7X的数学期望为.X的方差为.②答案一：花店一天应购进16枝玫瑰花.理由如下：若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润（单位：元），那么Y的分布列为556575850.10.20.160.54Y的数学期望为.Y的方差为由以上的计算结果可以看出，，即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小.另外，虽然，但两者相差不大.故花店一天应购进16枝玫瑰花.答案二：花店一天应购进17枝玫瑰花.理由如下：若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利涧（单位：元），那么Y的分布列为556575850.10.20.160.54Y的数学期望为.由以上的计算结果可以看出，，即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润.故花店一天应购进17枝玫瑰花.2．甲､乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪80元，每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内(含40单)的部分每单抽成6元，超出40单的部分每单抽成7元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表：送餐单数3839404142天数101510105乙公司送餐员送餐单数频数表：送餐单数3839404142天数51010205若将频率视为概率，回答下列两个问题：（1）记乙公司送餐员日工资为(单位：元)，求的分布列和数学期望；（2）小王打算到甲､乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由.【答案】（1）详见解析；（2）推荐小王去乙公司应聘，理由见解析.【解析】（1）设乙公司送餐员送餐单数为，当时，，；当时，，；当时，，；当时，，；当时，，，故的所有可能取值为、、、、，故的分布列为：228234240247254故.（2）甲公司送餐员日平均送餐单数为：，则甲公司送餐员日平均工资为元，因为乙公司送餐员日平均工资为元，，所以推荐小王去乙公司应聘.《7.3离散型随机变量的数字特征》考点训练【题组一分布列均值与方差】1．若随机变量ξ的分布列：ξ124P0.40.30.3那么E(5ξ+4)等于（）A．15B．11C．2.2D．2.32．设ξ的分布列为ξ1234P又设η＝2ξ＋5，则E(η)等于（）A．B．C．D．3．设，则随机变量的分布列是：01则当在内增大时（）A．增大B．减小C．先增大后减小D．先减小后增大4．甲、乙两个运动员射击命中环数ξ、η的分布列如下表．表中射击比较稳定的运动员是()环数k8910P(ξ＝k)0.30.20.5P(η＝k)0.20.40.4A．甲B．乙C．一样D．无法比较5．（多选）（已知X的分布列为X－101Pa则下列说法正确的有（）A．P(X＝0)＝B．E(X)＝－C．D(X)＝D．P(X＞－1)＝6．（多选）已知0＜a＜，随机变量ξ的分布列如下．ξ－101P－aa当a增大时，（）A．E(ξ)增大B．E(ξ)减小C．D(ξ)减小D．D(ξ)增大7．（多选）已知随机变量的分布列如下，且，则下列说法正确的是（）123A．，B．，C．D．8．已知随机变量的分布列如下表；且，则________，_____________.029．设随机变量的分布列为：则____；随机变量的数学期望____.10．设随机变量的分布列为，为常数，则________．11．已知随机变量的分布列如下表所示，且，则________.0112．已知的分布列01且，，则______.13．已知随机变量X的分布列如下：013若随机变量Y满足，则Y的方差___________.【题组二实际应用中的分布列与均值】1．一个盒子里有2个黑球和3个白球，现从盒子里随机每次取出1个球，每个球被取出的可能性相等，取出后不放回，直到某种颜色的球全部取出．设取出黑球的个数，则__________，__________．2．“双十一”是指每年的11月11日，以一些电子商务为代表，在全国范围内兴起的大型购物促销狂欢日.某商家在去年的“双十一”中开展促销活动：凡购物满5888元的顾客会随机获得A，B，C三种赠品中的一件，现恰有3名顾客的购物金额满5888元.设随机变量X表示获得赠品完全相同的顾客人数，则_______，_____.3．一个袋子内装有若干个黑球、3个白球、2个红球（所有的球除颜色外其他均相同），从中一次性任取2个球，每取得一个黑球得0分，每取得一个白球得1分，每取得一个红球得2分，用随机变量表示取2个球的总得分，已知得0分的概率为．（1）求袋子内黑球的个数；（2）求的分布列与均值．4．甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立.（1）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；（2）记为比赛决出胜负时的总局数，求的分布列和均值（数学期望）.5．某产品有4件正品和2件次品混在了一起,现要把这2件次品找出来,为此每次随机抽取1件进行测试,测试后不放回,直至次品全部被找出为止.(1)求“第1次和第2次都抽到次品”的概率;(2)设所要测试的次数为随机变量X,求X的分布列和数学期望.【题组三均值方差做决策】1．设甲、乙两家灯泡厂生产的灯泡寿命表1X(单位：小时)和Y的分布列分别如表1和表2所示：X90010001100P0.10.80.1Y95010001050P0.30.40.3试问哪家工厂生产的灯泡质量较好？2．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10，15)[15，20)[20，25)[25，30)[30，35)[35，40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．（1）求六月份这种酸奶一天的需求量（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量（单位：瓶）为多少时，的数学期望达到最大值？3．某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2000元；方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元.某医院准备一次性购买2台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：维修次数0123台数5102015以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记X表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数．（1）求X的分布列；（2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？4．某高校设计了一个实验学科的实验考查方案:考生从6道备选题中一次性随机抽取3题,按照题目要求独立完成全部实验操作.规定:至少正确完成其中2题的便可提交通过.已知6道备选题中考生甲有4题能正确完成,2题不能完成;考生乙每题正确完成的概率都是,且每题正确完成与否互不影响.(1)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列,并计算均值;(2)试从两位考生正确完成题数的均值及至少正确完成2题的概率分析比较两位考生的实验操作能力.5．为倡导绿色出行，某市推出“新能源分时租赁汽车”业务.其中一款新能源分时租赁汽车每次租车收费标准由两部分组成：①根据行驶里程数按1元/千米；②行驶时间不超过40分钟时，按0.12元/分计费；超过40分钟时，超出部分按0.20元/分计费.已知王先生家离上班地点15千米，每天租用该款汽车上､下班各一次.由于堵车､红绿灯等因素，每次路上开车花费的时间是变量(单位：分).现统计其50次路上开车花费时间，在各时间段内的频数分布情况如下表所示：时间分频数2182010将各时间段发生的频率视为概率，每次路上开车花费的时间视为用车时间，范围为分.（1）写出王先生一次租车费用(单位：元)与用车时间(单位：分)的函数关系式；（2）若王先生的公司每月发放1000元的车补，每月按22天计算，请估计：①王先生租用一次新能源分时租赁汽车上下班的平均用车时间(同一时段，用该区间的中点值做代表).②王先生每月的车补能否足够上下班租用新能源分时租赁汽车，并说明理由.答案解析【题组一分布列均值与方差】1．若随机变量ξ的分布列：ξ124P0.40.30.3那么E(5ξ+4)等于（）A．15B．11C．2.2D．2.3【答案】A【解析】由已知，得：Eξ=1×0.4+2×0.3+4×0.3=2.2，∴E(5ξ+4)=5E(ξ)+4=5×2.2+4=15.故选：A.2．设ξ的分布列为ξ1234P又设η＝2ξ＋5，则E(η)等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＝，所以E(η)＝E(2ξ＋5)＝2E(ξ)＋5＝2×＋5＝.故选：D.3．设，则随机变量的分布列是：01则当在内增大时（）A．增大B．减小C．先增大后减小D．先减小后增大【答案】D【解析】由分布列得，则，则当在内增大时，先减小后增大.故选：D.4．甲、乙两个运动员射击命中环数ξ、η的分布列如下表．表中射击比较稳定的运动员是()环数k8910P(ξ＝k)0.30.20.5P(η＝k)0.20.40.4A．甲B．乙C．一样D．无法比较【答案】B【解析】E(ξ)＝9.2，E(η)＝9.2，所以E(η)＝E(ξ)，D(ξ)＝0.76，D(η)＝0.56<D(ξ)，所以乙稳定．5．（多选）已知X的分布列为X－101Pa则下列说法正确的有（）A．P(X＝0)＝B．E(X)＝－C．D(X)＝D．P(X＞－1)＝【答案】ABD【解析】由分布列的性质可知＝1，即a＝.∴P(X＝0)＝，故A正确；E(X)＝，故B正确；D(X)＝，故C错误；P(X＞－1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝，故D正确．故选：ABD.6．（多选）已知0＜a＜，随机变量ξ的分布列如下．ξ－101P－aa当a增大时，（）A．E(ξ)增大B．E(ξ)减小C．D(ξ)减小D．D(ξ)增大【答案】AD【解析】0＜a＜，由随机变量ξ的分布列，得：E(ξ)＝a－，∴当a增大时，E(ξ)增大；D(ξ)＝×＋×＋×a＝－a2＋a＋＝－＋，∵0<a<，∴当a增大时，D(ξ)增大．故选：AD.7．（多选）已知随机变量的分布列如下，且，则下列说法正确的是（）123A．，B．，C．D．【答案】BC【解析】依题意，所以，结合，解得，所以B选项正确.，所以C选项正确.故选：BC8．已知随机变量的分布列如下表；且，则________，_____________.02【答案】4【解析】因为，所以.因为，所以，..故.故答案为：，49．设随机变量的分布列为：则____；随机变量的数学期望____.【答案】【解析】因为概率之和等于即，解得：，所以，故答案为：；.10．设随机变量的分布列为，为常数，则________．【答案】3【解析】因为，所以，所以，故．故答案为：311．已知随机变量的分布列如下表所示，且，则________.01【答案】3【解析】因为，所以故答案为：312．已知的分布列01且，，则______.【答案】4【解析】,且，，即，解得，故答案为：413．已知随机变量X的分布列如下：013若随机变量Y满足，则Y的方差___________.【答案】9【解析】由分布列的性质可知，，所以，所以数学期望，方差，因为，所以，故答案为：9．【题组二实际应用中的分布列与均值】1．一个盒子里有2个黑球和3个白球，现从盒子里随机每次取出1个球，每个球被取出的可能性相等，取出后不放回，直到某种颜色的球全部取出．设取出黑球的个数，则__________，__________．【答案】【解析】，表示取球3次，3次取白球，则，表示取球4次，3次取白球，前3次中有1次取黑球，则，，，故.故答案为：，.2．“双十一”是指每年的11月11日，以一些电子商务为代表，在全国范围内兴起的大型购物促销狂欢日.某商家在去年的“双十一”中开展促销活动：凡购物满5888元的顾客会随机获得A，B，C三种赠品中的一件，现恰有3名顾客的购物金额满5888元.设随机变量X表示获得赠品完全相同的顾客人数，则_______，____.【答案】【解析】故答案为：；.3．一个袋子内装有若干个黑球、3个白球、2个红球（所有的球除颜色外其他均相同），从中一次性任取2个球，每取得一个黑球得0分，每取得一个白球得1分，每取得一个红球得2分，用随机变量表示取2个球的总得分，已知得0分的概率为．（1）求袋子内黑球的个数；（2）求的分布列与均值．【答案】（1）有4个黑球；（2）分布列见解析，.【解析】（1）设袋子内黑球的个数为，由条件知，当取得2个黑球时得0分，概率为，化简得，解得或（舍去），即袋子内有4个黑球．（2）的所有可能取值为0,1,2,3,4，，，，，，的分布列为01234．4．甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立.（1）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；（2）记为比赛决出胜负时的总局数，求的分布列和均值（数学期望）.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）用表示“甲在4局以内（含4局）赢得比赛”，表示“第局甲获胜”，表示“第局乙获胜”.则，..（2）的可能取值为.，，.故的分布列为2345所以.5．某产品有4件正品和2件次品混在了一起,现要把这2件次品找出来,为此每次随机抽取1件进行测试,测试后不放回,直至次品全部被找出为止.(1)求“第1次和第2次都抽到次品”的概率;(2)设所要测试的次数为随机变量X,求X的分布列和数学期望.【答案】（1）；（2）见解析【解析】(1)设“第1次和第2次都抽到次品”为事件A,则P(A)==.(2)X的所有可能取值为2,3,4,5.P(X=2)=,P(X=3)==,P(X=4)=+=,P(X=5)=+=.X的分布列为X2345P因此,E(X)=2×+3×+4×+5×=.【题组三均值方差做决策】1．设甲、乙两家灯泡厂生产的灯泡寿命表1X(单位：小时)和Y的分布列分别如表1和表2所示：X90010001100P0.10.80.1Y95010001050P0.30.40.3试问哪家工厂生产的灯泡质量较好？【答案】乙厂生产的灯泡质量较好.【解析】由期望的定义，得E(X)＝900×0.1＋1000×0.8＋1100×0.1＝1000，E(Y)＝950×0.3＋1000×0.4＋1050×0.3＝1000.两家灯泡厂生产的灯泡寿命的期望值相等，需进一步考查哪家工厂灯泡的质量比较稳定，即比较其方差．由方差的定义，得D(X)＝(900－1000)2×0.1＋(1000－1000)2×0.8＋(1100－1000)2×0.1＝2000，D(Y)＝(950－1000)2×0.3＋(1000－1000)2×0.4＋(1050－1000)2×0.3＝1500.因为D(X)＞D(Y)，所以乙厂生产的灯泡质量比甲厂稳定，即乙厂生产的灯泡质量较好．2．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10，15)[15，20)[20，25)[25，30)[30，35)[35，40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．（1）求六月份这种酸奶一天的需求量（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量（单位：瓶）为多少时，的数学期望达到最大值？【答案】（1）分布列见解析；（2）300．【解析】（1）由题意知，所有的可能取值为200，300，500，由表格数据知，，．因此的分布列为2003005000.20.40.4（2）由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑当时，若最高气温不低于25，则；若最高气温位于区间，则；若最高气温低于20，则因此当时，若最高气温不低于20，则，若最高气温低于20，则，因此所以时，的数学期望达到最大值，最大值为520元．3．某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2000元；方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元.某医院准备一次性购买2台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：维修次数0123台数5102015以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记X表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数．（1）求X