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文档简介
《数学方法与技能综合训练1》测试卷练习卷(答案及解析)
一、选择题(本大题共10小题,共30.0分)
1.下列函数中,其图象经过原点的是()
2
A.y=2x-3B.y=-C.y=x2-1D.y=
Jx-l
=的解是x=2a产+*的解鼠)
2.若方程组«则方程组«
尸
akyf=3a2x+y=a2-c:i
x=lx=lx=-1
A.«B.D.<
y=3y=-3jr=3
3.已知分式嘿舒的值为().
A.0B1C1D,
4.多项式57-4xy+4y2+12%+25的最小值为().
A.4B.5C.16D.25
5.在正方形ABC。中,E是边上一点(点E不与点C、。重合),连结BE.取BE的
中点连结CM.过点C作CG1BE交于点G,连接EG、MG,若CM=3,则四
边形GMCE的面积为()
A.6B.9C.12D.15
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6.如图,△ABC中,点。为边BC上的点,点E、尸分别
是边A8、AC上两点,BLEFHBC,若AE:EB=m,
BD:DC=n,贝ij()
A.m>1,n>1,贝!12S®AEF>S@ABD
B.TH>1,n<1>贝I]2s<SgxBD
C.m<1,n<1,则2sm4EF>SSABD
D.771<1,n>1,贝l」2S|34£F<SSABD
7.如果27n2+m-4=0,那么3m2。】8一加2。19一262020的值为()
A.m2018B.1C.-m2018D.-1
8.如图,乙4cB=90。,AC=6,BC=8,将边AC沿CE
翻折,使点A落在A8上的点。处;再将边8c沿CF翻
折,使点B落在C。的延长线上的点B'处,两条折痕与
斜边AB分别交于点E、F,则线段B'F的长为()
A&
ci
D.2
9.按下面的程序计算:
当输入x=100时,输出结果是299;当输入*=40时,输出结果是356:如果输入
x的值是整数,输出结果是446,那么满足条件的x的值最多有()
A.2个B.3个C.4个D.5个
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10.二次函数丫=Q%2+b%+C的图象如图所示,给出下列结论:|
①2a4-b>0;②b>a>c\③若一1VntV几V1,则m+
n<--④3|a|+|c|<2网.其中正确的结论个数是()
A.①③④
B.①③
C.①④
D.②③④
二、填空题(本大题共4小题,共12.0分)
11.若%2+2%—1=0,则%3+%2_3%+2035的值为.
12.若其一1=燮=等,则/+y2+z2可取得的最小值为
13.如图,抛物线丫=一%2+2%+3经过点4、B、C,抛物线顶点为E,EFlx轴于尸
点,M(7n,0)是x轴上一动点,N是线段EE上一点,若4MNC=90°,则实数,〃的
变化范围为.
14.如图,在矩形ABC。中,过点。作DM1.AC于点=6,
n点N,P分别在AC,BC上,则4P+NP的最小值
为.
三、解答题(本大题共7小题,共58.0分)
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15.如图,直线y=kx+k分别交x轴、),轴于点4,C,直线8c过点C交x轴于点B,
(1)求直线BC的解析式;
(2)若动点P从点C以每秒1个单位的速度向y轴负方向运动,当f为何值时,代数
式AP+在CP的值最小;
2
(3)若点。是直线AC上且位于第三象限图象上的一个动点,点M是),轴上的一个
动点,当以点夙。为顶点的三角形为等腰直角三角形时,求点Q和点M的坐
标.
16.把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这叫整体
代换或换元思想,请根据上面的思想解决下面问题:若关于X,y的方程组
{煞tby-「的解是-魅关于3的方程组[墨;y):牌二己:吃
的解.
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17.已知:多项式4=匕3—2Q/J.
(1)请将A进行因式分解;
(2)若4=0且aKO,b^O,求(a-i)2;=i的值.
18.阅读理解并解答:
(1)我们把多项a?+2ab+b2a2-2ah+炉叫做完全平方式,在运用完全平方公式
进行因式分解时,关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式.同样地,把一个
多项式进行部分因式分解可以来解决求代数式值的最大(或最小)值问题.
例如:(T)x2+2x+3=(x2+2x+1)+2=(x+I)2+2
(x+1)2是非负数,即0+1)210
•••(x+I)2+2>2
则这个代数/+2x+3的最小值是,这时相应的x的值是;
(2)3x2-12x+5=3(x2—4x)+5=3(x2—4x+4-4)+5
=3(x-2)2-12+5=3(x-2)2-7
・••(x-2)2是非负数,即(x-2)2NO
3(x-2)2-7>-7
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则这个代数式3M—12%+5的最小值是,这时相应的x的值是
(2)仿照上述方法求代数式-产一i4x+10的最大(或最小)值,并写出相应的x的值.
19.如图,团ABC内的线段B。,CE相交于点O,已知OB=OD,OC=2OE,设BBOE,
BBOC,舀CO。和四边形AEO。的面积分别为Si,52,S3,和S4.
⑴求工店;
(2)如果S2=4,求S4的值.
7
20.已知(1-2x)7=劭++a?/---\-a7x,求下列各式的值:
+0.2+…+。7;
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(2)01+03+«5+«7;
(3)%+a2+a4+a6.
21.我们可以用f(x)表示x为自变量的函数,如一次函数y=2x—1,可表示/(%)=
2x-1,/(I)=2x1-1=1,f(a)=2a-l.
(1)已知二次函数/(x)=x2-2ax-a-2.
①求证:不论。为何值,此函数图象与x轴总有两个交点;
②若/(1)=2,是否存在实数,",使得当WxWm+2时,函数g(x)=f(x)-
2mx的最小值为一芳,若存在,求出,〃的值,若不存在,请说明理由:
(2)已知函数/(x)=4x-4—2x~2,g(x)=y4+y?,若实数x、y使得/'(x)=g(y)=3.
求4x-4+y4的值.
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答案和解析
1.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查函数图像上点的坐标和函数解析式之间的关系.函数图像上点的坐标必须
满足函数解析式,根据这一知识点即可求出结果.
【解答】
解:4当x=0时,y=-3,所以(0,0)不在y=2*-3上,故本选项不符合题意;
B.函数y=:不会经过(0,0),故本选项不符合题意;
C.当x=0时,y=—1,所以(0,0)不在y=—1上,故本选项不符合题意;
D当x=0时,y=0,所以(0,0)在y=W上,故本选项符合题意;
故选。.
2.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查一元二次方程组的解法和换元法的思想方法.先把方程组变形为
-七户『Cl,再由题意得出『二;2,即可求出x,y的值.
U2(l-x)+(-y)=c2(-y=3'
【解答】
vra1X+y=a1-c1
肿,
la2^+y=a2-C2'
.(ciiCl-%)+(-y)=q
“况(1-尤)+(-y)=c2'
北篙;的解瑞:;,
"ly=-3-
故选D.
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3.【答案】B
【解析】略
4.【答案】C
【解析】
【分析】
此题主要考查了配方法的应用,正确的将原式分组配方是解决问题的关键;根据配方法
将原式写成几个完全平方式的和,再利用完全平方式的非负性即可解答.
【解答】
解:丫5刀2—4xy+4y2+12X+25,
=x2-4xy+4y2+4%2+I2x+25,
=x2—4xy+4y2+4(/4-3%4-4-16,
=(x-2y/+4(x+1)24-16,
(x-2y)2>0,4(x+1)2>0,
o3o
(x-2y)2+4(%+-)2+16>16,
工多项式5—-4xy+4y2+I2x+25的最小值为16,
故选C.
5.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了正方形的性质,同角的余角相等,全等三角形的判定和性质,直角三角形斜
边中线的性质,判断出CG=BE是解本题的关键.证明△BCE三4CDG(ASA),可得BE=
CG,根据直角三角形斜边中线的性质可得CG=BE=2CM=6,最后根据面积和可得
四边形GMCE的面积.
【解答】
解:•••四边形ABC。是正方形,
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・•・BC=CD,4。=乙BCE=90°,
・・•CG1BE,
・•・乙COE=(CEO+乙ECO=乙CEO+Z-CBE=90°,
:.Z-ECO=Z.CBE,
在△8。£和4CDG中,
~CBE=Z.DCG
vW。=CD
I乙BCE=乙D
/.△BCECOGQ4S4),
BE=CG,
•••CM=3,乙BCE=90°,且M是BE的中点,
:.CG=BE=2CM=6,
四边形GMCE的面积=SAEMG+S4cME=\ME-OG+\ME-OC=\ME{OG+OC)=
ix3x6=9;
2
故选A
6.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了相似三角形的判定与性质,熟练掌握相似三角形的判定及性质,是解题的关
键.由EF//BC,可得△力EF-A4BC,利用相似三角形的面积比等相似比的平方,先计
算出m=l,n=l,时的面积关系,再逐个选项分析即可.
【解答】
解:解:EF//BC,
・•・Z-AEF=Z.ABC,Z.AFE=Z-ACB,
・••△AEF^L.ABC,
vAE:EB=m,
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AE_m
••AB-m+l,
.S^AEF_(my
"S^ABC-AB2一%1+1,・
vBD:DC=n,
..._B_D,BDn
,•BC-BD+DC-n+1'
又•.似BD为底的△ABD和以BC为底的AABC的高相等,
.S08D__££_1
S^ABCBCn+1'
.S"EF__/m\2.九+S
S^ABDm+1n'
当m=l时,EF为△ABC的中位线,此时受生=占
S&ABC4
当71=1时,。为8。中点,SMBD=;SMBC
则2sMEF=QS^ABC=SfB。
A.m>1,n>1,
3
比如mn=9,
c=?
S-EF_9
S^ABC25,
2sAAEF=~S^ABC,
_9
S^ABD=YQS&ABC,
2S〉AEFVS〉ABD,
故A错误;
B.m<1,n<1,
可取m=二,n=7,
105
则显然结论不成立,
故8错误;
C.m>1,n<1,
可取?n=10,n=同
则2sAAEF>S&ABD,
故c错误;
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D.m<1,n>1时,
SfEF减小而S—BC增大,
则衿,
即2SAAEF<SAAB。,
从而D正确.
故选:D.
7.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了代数式求值,同底数基的乘法的逆运算和整体代入法,掌握这些知识是解决
问题的关键.
首先计算出2m2+血=4,再将原式化为含有2m2+馆的代数式,最后利用整体代入法
进行计算即可.
【解答】
解:2m2+m—4=0,
:.2m2+m=4,
3m2018_m2019_2nl2020
=-m2018(2mz4-m—3),
把2m2+a=4代入到上式中得:
-m2018x(4-3),
=-m2018.
故选C.
8.【答案】B
【解析】
【分析】此题考查折叠的性质,勾股定理,等腰直角三角形的判定与性质.首先根据勾
股定理求出A8的长,然后根据折叠的性质利用等积变换法求得CE的长,再根据勾股
定理可求得4E的长,根据乙4CE+4ECD+4BCF+NB'CF=Z71CB=903进而可得
NECF=45%即△EC9为等腰直角三角形,所以CE=EF,最后根据BF=
力B-4E-EF即可求出8尸的长,即B'F的长.
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【解答】
解:VRtLABC^,AC=6,BC=8,
AB=yjAC2+BC2=10-
根据折叠的性质可得ZE=ED,AC=CD,CE1AD,乙ACE=乙ECD,4BCF=乙B'CF,
BF=B'F,
AS4ABe=\ACxBC=^ABxCE,B|j|x6x8=|x10xCfi1,
解得,C£=y,
又•••在孔△ACE中,AC=6,CE=g,
AE=yjAC2-CE2=y,
又•••AACE+乙ECD+乙BCF+AB'CF=乙ACB=909,
:•&ECF=^ACB=45e,即^ECF为等腰直角三角形,
24
・•.CE=EF=―,
BF=AB-AE-EF=10----=
555
o
B'F=BF=^,
故答案选艮
9.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用.解答本题时注意理解题意与逆向思维的
应用是解题的关键.利用逆向思维来做,分析第一个数就是直接输出257,可得方程3x-
1=257,解方程即可求得第一个数,再求得输出为这个数的第二个数,以此类推即可
求得所有答案.
【解答】
解:第一个数就是直接输出其结果的:3%-1=446,
解得:x=149,
第二个数是(3x-1)x3-1=446
解得:x=50;
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第三个数是:3[3(3久—1)-1]-1=446,
解得:x=17,
第四个数是3{3[3(3%-1)-1]-1}-1=446,
解得:x=6;
第五个数是3(81x-40)-1=446,
解得:》="不合题意舍去);
故满足条件所有x的值是149、50、17和6共4个.
故选C.
10.【答案】A
【解析】
【分析】
此题主要考查了二次函数图象与系数的关系,利用特殊值法求出m+n的取值范围是解
题关键.
分别根据二次函数开口方向以及对称轴位置和图象与),轴交点得出a,b,c的符号,再
利用特殊值法分析得出各选项即可.
【解答】
解:•••抛物线开口向下,
・,.QV0,
:.2a<0,
对称轴%=--->1,—bV2a,
2a
A2a+h>0,故选项①正确;
v-b<2a,
Ab>-2a>0>a,
令抛物线解析式为y=-|x2+bx-|,
此时a=c,欲使抛物线与x轴交点的横坐标分别为:和2,
解得:b=\,
二抛物线y=-2/+:》一5符合“开口向下,与x轴的一个交点的横坐标在。与1之
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间,
对称轴在直线x=l右侧”的特点,而此时a=c,(其实a>c,a<c,都有可能)故②
选项错误;
v—1<m<n<1,—2<m4-n<2,
抛物线对称轴为:x=-^>1,?>2,m+n<^,故选项③正确;
当%=1时,Q+b+c>0,
2Q+b>0,
・•・3Q+2b+c>0,
・•・3a4-c>—2b,
:.-3a—cV2b,
va<0,b>0,cVO(图象与),轴交于负半轴),
・,・3|a|+\c\=-3a-c<2b=2网,故④选项正确.
故①③④正确,
故选A.
11.【答案】2034
【解析】
【分析】
此题考查了代数式求值,从多项式中整理成已知条件的形式,然后利用“整体代入法”
求代数式的值.
先依据/+2%-1=0求出/=l一2/,%24-2%=1,然后整体代入,即可求出所求
代数式的值.
【解答】
解:v%2+2%—1=0,
AX34-2x2-%=0,%24-2%=1,
・•・x3=x-2x2,
Ax3+x2-3x4-2035
=x—2x2+/-3%+2035
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=-7—2%+2035
=-(X2+2X)+2035.
=-1+2035
=2034
故答案为2034.
12.【答案】
14
【解析】
【分析】
本题考查的是配方法的应用和非负数的性质:偶次方,设X-1=受=学=鼠则%=
k+1,y=2k—1,z=3k+2,将x,y,z代入/+y2+%2,然后利用配方法将其变
形,再利用平方的非负性即可得到答案.
【解答】
解:设%-1=等=平=%则
x=k+1,y=2k.-1,z=3k+2,
•••x2+y2+z2
=(k+l)2+(2/c-l)2+(3k+2)2
=1+2k+1+4k2-4k+1+9k2+12k+4
=14/c2+10/c+6
,55225
=14(k+/+备)一迹+6
=14(k+-)2+-,
'14714
•••14(fc+^)2>0,
;.14(k+V)2+Q弟
/+y2+z?可取得的最小值为整
,14
故答案为白
14
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13.【答案】—
4
【解析】
【分析】
本题主要考查的是二次函数的综合应用,解答本题主要应用了配方法求二次函数的最值、
待定系数法求一次函数的解析式、函数与坐标轴的交点、相互垂直的两条直线的特点等
知识点,得到力与W的函数关系式是解题的关键.
先求得抛物线的顶点坐标和点C的坐标,设点N的坐标为(l,n),0<n<4,依据待定
系数法求得NC的解析式(用含”的式子表示),然后根据相互垂直的两直线的一次项系
数积为-1可得到直线例N的一次项系数,然后由点N的坐标可求得的解析式(用含
〃的式子表示),接下来,令y=0可求得机的值(用含〃的式子表示),最后依据二次函
数的性质求得m的最大值和最小值即可求得m的取值范围.
【解答】
解:如图所示:
•••y——x2+2x+3=—(%—I)2+4,
••・抛物线的顶点坐标为(L4).
■:将x=。代入y=—x2+2x+3得:y=3,
•••C(0,3).
设点N的坐标为(l,n),0<n<4.
设直线CN的解析式为y=kx+3.
将N(l,n)代入得:k+3=n,解得:k=n-3.
•:4MNC=90°,
・・.直线NM的一次项系数为±(0<n<4且ri。3).
设直线MN的解析式为y=77-x+b.
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•・,将N(l,n)代入得:―-+b=n,解得:b=n-
3—n3—n
・,・直线MN的解析式为y=±工+n-士.
・.•当y=0时,T—X+n-=0,
J3-n3-n
解得:%=n2-3n4-1,即m=n2-3n4-1(0<n<4且九03).
当九=3时,点M(l,0)与点F重合,
即m=1,n=3符合TH=n2—3n+1»
故?n=n2—3n4-1(0<n<4).
vm=n2—3n+1=(n—|)2—%
二当n=|时,加有最小值一J.
24
当九=4时,团有最大值,机的最大值=4?一3x4+1=5.
・・.m的取值范围是:一:W?nW5.
故答案为:一
14.【答案】3V3
【解析】
【分析】
本题考查了轴对称最短路径问题,矩形的性质,相似三角形的判定与性质等知识,根据
轴对称作出点N关于BC的对称点N'是解解关键.利用相似求出OM后,进而求出ZMCD的
面积,最后利用等积法求出AN'的长度即可.
【解答】
解:如图,作出AC关于BC的对称线段AC,则点N关于8C对称点在4C上,则PN=PN',
AC=A'C,ACBA=ACBA'.
•••AP+NP=AP+PN'>AN',
所以AN'最小时,AP+NP最小,
根据垂线段最短,则当点A、P、N'在一条直线上,且AN'_L4'C时,4N'最小.
vDM14c于点M,
•••"MA="MC=90°,
^DAM+Z.MDA=90°,乙MDC+Z.MCD=90°,
•••四边形ABCQ是矩形,
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/./.ADC=90°,AABC^ACDA,
・•.NZX4M+4MCD=90。,
乙
A/.DAM=Z.MDCfADM=LDCM,
AAAMD〜4DMC,
AM_DM
DM='CM
・・.DM2=AM-CM
9
-AC=6,AMCM=AC=AM,
2
/、9327
:.DM29=AM-CM=AMx(AC-AM)=-x-=—
.,3V3
**•DnM=—,
2
・二S矩杉=2SSACD=2x0xACxDA/)=,
・・•ACBA三ACBA\AABC三ACDA,
**•^ACAAf=2SAABC=2SAACD=9y/3f
A-ACxAN'=工x6xAN'=973,
22
.・.4N'=3V5,即4P+NP的最小值为3b.
故答案为3b.
AD
15.【答案】28.解:⑴直线y=kx+k分别交x轴、y轴于点A,C,则点4(一1,0),
且。4=:。。,则点C(0,3),则k=3,
故直线AC的表达式为:y=3x+3,
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VACBA=45°,OB=0C=3,.♦.点B(3,0),
•••点C(0,3)、点B(3,0),则直线BC的表达式为:y=-x+3;
过点A作PHJ.BC交BC于点H,交y轴于点P,
此时,AP+立CP的值最小.
2
由(1)得直线BC的表达式为:y=-x+3;
由于PH1BC,
图1
所以设直线AP的表达式为:y=x+b;将4(—1,0)代入得:b=1,
二直线BC的表达式为:y=—X+3;
•••P(0,l)
ACP=2;
t=2.
(3)设点点Q(n,3n+3),
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①如图2(左侧图),
当N8MQ=90。时,(点M在x轴上方),
分别过点Q、P作y轴的平行线QG、BH,过点M作工轴的平行线分别交GQ、BH于点
G、H,
・•・乙GMQ+乙MQG=90°,乙GMQ+乙HMB=90°,
:.乙HMB=乙GQM,
Z.MHB=Z.QGM=90°,MB=MQ,
・•・△MHBWAQGM^AAS),
・•・GQ=MH,BH=GM,
即:m=—n,771—371—3=3,
解得:m=§,n=一§;
22
故点M(0母)、点Q(一!>—1-);
同理当点M在x轴下方时,
3n4-3—m=3且一=-n,解得:m=n=0(舍去);
②当NMQB=90。时,
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同理可得:-n=-3n—3,3n4-3-m=3-n,
解得:m=—6,n=—―,
2
故点M(0,-6)、点Q(—1,—I);
③当=90。时,
同理可得:一3九一3=3,m=3—7i
解得:771=5,71=-2,
点M(0,5)、点Q(—2,-3);
综上,M(0。)、Q(—得,一多或%0,-6)、<?(-|,—|)或M(0,5)点Q(-2,-3).
乙乙乙乙乙
【解析】【试题解析】
本题主要考查了求一次函数解析式,常用三角函数值的应用;动点问题,转化思想,数
形结合思想,分类讨论思想。
解题时要注意定点的应用,三角函数值的应用。对于等腰直角三角形要知道讨论直角顶
点的位置。
13al(x+y)+2瓦(x-y)=5c
16.【答案】解:v
(3a2(x+y)+2b2(x—y)=5c2,
^a1(x+y)+-b1(x-y)=q,
32
ga2(x+y)+gb2(x-y)=c2>
|(x+y)=6,
由题意知:
解需:著
•••原方程组的解为仁建
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【解析】本题考查了二元一次方程组的解,换元思想,对比两个方程组,可得失也就
是第一个方程组中的X,即自詈=6,同理可得改乎=2,解出即可.
17.【答案】解:(1)/1=b3-2ab
=b(b2—2d);
(2)vA=0且aH0,bH0,
・•・b(b2—2a)=0,
即Z>2—2a=0,
:.b2=2a,
(a-I-+炉一1
ab2
Q2—2Q+1+/—i
ab2
Q2—2Q+1+2Q—1
a•2a
2a2
—_1.
2
【解析】此题考查了提公因式,整式的混合运算,整体代入法,正确因式分解,化简求
值是关键.
(1)提公因式后即可将A进行因式分解;
(2)根据4=0且a#0,b*0,得到/=2%把X=2a代入心工学二,化简即可得
abz
到答案.
18.【答案】解:(1)①2;—1;@—7;2;
(2)-x2-14%+10
=—(%2+14%+49)+49+10
=-(x2+14%+49)+59
=-(x+7)2+59
0+7)2是非负数,a+7)2NO
-(x+7)2<0
-(x+7)2+59<59
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.•.这个代数式的最大值是59,这时相应的x的值是-7.
【解析】
【分析】
此题主要考查了因式分解的应用,要熟练掌握,注意完全平方公式的应用.
(1)①根据:%2+2x+3=(x+1)2+2,可得:这个代数/+2x+3的最小值是2,这
时相应的x的值是-1;
②根据:3/—12X+5=3(X-2)2-7,可得:这个代数式3/一12%+5的最小值是
-7,这时相应的x的值是2;
(2)首先应用完全平方公式,把一/一14%+10化成一0+7)2+59,然后判断出这个代
数式的最大值是59,这时相应的x的值是-7即可.
【解答】
解:(1)①一+2x+3=(尤+1)2+2,
.•.这个代数它+2X+3的最小值是2,这时相应的x的值是-1;
②•••3/-12x+5=3(x-2)2-7,
二这个代数式3/一I2x+5的最小值是-7,这时相应的x的值是2.
故答案为①2;—1;@—7:2;
(2)见答案.
19.【答案】解:(1)根据高相等的三角形的面积之比等于底边之比,
・.•OB=0D,
・•・S2=S3,
・・•OC=20E,
:.S3=S2=2sl,
:・Si:S3=1/2;
(2),・•S2=4,
・•・Si=2,S3=4,
如图所示,连接OA,设SMOE=X,
韩哥智慧之窗-精品文档24
则S/1A0D=^AAOB=%+2,
VS^AOC=^AAOE»
・•.%+2+4=2x,
解得%=6,%4-2=8,
・•・54=6+8=14.
【解析】本题主要考查的是三角形的面积、等积变换.熟知“高相等的三角形的面积之
比等于底边之比”是解答此题的关键.
(1)根据高相等的三角形的面积之比等于底边之比即可求出答案;
(2)由(1)可知Si、S?、S3的面积,连接OA,设S"OE=X,则SdAOD=$4408=%+1,再
由S/M0C=S/AOE,列出方程,求出X的值即可・
20.
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