高中数学竞赛系列讲座-进位制

高中数学竞赛系列讲座——进位制一、进位制1、什么是进位制？进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统。进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。可使用数字符号的个数称为基数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制。比方：

满二进一，就是二进制；

满十进一，就是十进制；满十二进一，就是十二进制；

满六十进一，就是六十进制“满几进一”就是几进制，几进制的基数就是几.基数：2、最常见的进位制是什么？除此之外还有哪些常见的进位制？请举例说明．最常见的进位制应该是我们数学中的十进制,比方一般的数值计算，但是并不是生活中的每一种数字都是十进制的.古人有半斤八两之说，就是十六进制与十进制的转换.比方时间和角度的单位用六十进位制,计算“一打”数值时是12进制的。电子计算机用的是二进制。

式中1处在百位，第一个3所在十位，第二个3所在个位，5和9分别处在十分位和百分位。十进制数是逢十进一的。我们最常用最熟悉的就是十进制数，它的数值局部是十个不同的数字符号0，1，2，3，4，5，6，7，8，9来表示的。十进制：例如133.59，它可用一个多项式来表示：133.59=1*102+3*101+3*100+5*10-1+9*10-2

实际上，十进制数只是计数法中的一种，但它不是唯一记数法。除了十进制数，生产生活中还会遇到非十进制的记数制。如时间：60秒为1分，60分为1小时，它是六十进制的。两根筷子一双，两只手套为一副，它们是二进制的。其它进制：

二进制、七进制、八进制、十二进制、六十进制……二进制只有0和1两个数字，七进制用0~6七个数字十六进制有0~9十个数字及ABCDEF六个字母.二进制：八进制：十六进制：010，1,2,3,4,5,6,70，1，2，3，4，5，6，7，8，9，

A,B,C,D,E,F101112131415K进制数的一般形式：其中注意：最高位不能是0

为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，十进制一般不标注基数.例如十进制的133.59，写成133.59(10)七进制的13，写成13(7)；二进制的10，写成10(2)

一般地，若k是一个大于1的整数，那么以k为基数的k进制可以表示为一串数字连写在一起的形式：3、十进制的构成十进制由两个局部构成例如：3721其它进位制的数又是如何的呢？第一、它有0～9十个数字；第二、它有“数位”，即从右往左为个位、十位、百位、千位等等。(用10个数字来记数，称基数为10)表示有：1个1，2个十，7个百即7个10的平方，3个千即3个10的立方十进制：“满十进一”探究：P43其它进制数化成十进制数公式二、二进制二进制是用0、1两个数字来描述的．如11001二进制的表示方法区分的写法：11001〔2〕或者(11001)2八进制呢？如7342(8)k进制呢？anan-1an-2…a1(k)？三、二进制与十进制的转换1、二进制数转化为十进制数例1：将二进制数110011(2)化成十进制数。解：根据进位制的定义可知所以，110011〔2〕=51．其它进制数化成十进制数公式1、将下面的二进制数化为十进制数？（1）11（2）110练习2、把其他进位制的数化为十进制数的公式是什么？注意：1.最后一步商为0，2.将上式各步所得的余数从下到上排列，得到：89=1011001〔2〕〔十进制化成二进制〕：522212010余数11224489222201101练习将下面的十进制数化为二进制数？（1）10（2）20例1：把89化为五进制数。3、十进制转换为其它进制解：根据除k取余法以5作为除数，相应的除法算式为：所以，89=324〔5〕895175350423余数练习：完成以下进位制之间的转化：〔1〕10231〔4〕=〔10〕；〔2〕235〔7〕=〔10〕；〔3〕137〔10〕=〔6〕；〔4〕1231〔5〕=〔7〕；〔5〕213〔4〕=〔3〕；〔6〕1010111〔2〕=〔4〕。1．进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。可使用数字符号的个数称为基数，基数为k，即可称k进位制，简称k进制。k进制需要使用k个数字；2．十进制与二进制之间转换的方法；先把这个k进制数写成用各位上的数字与k的幂的乘积之和的形式，再按照十进制数的运算规那么计算出结果。小结将五进制数434化为二进制数．[解析]先将五进制数化为十进制数．434(5)＝4×52＋3×51＋4×50＝119，再将十进制数119化为二进制数．那么119＝1110111(2)所以434(5)＝1110111(2