2021年人教A版(2019)必修第一册数学第三章-函数的概念与性质单元测试卷

2021年人教A版(2019)必修第一册数学第三章函数的概念与

性质单元测试卷

一、选择题

1.设集合U={-5,-3,-1,0,1,3},A={xGU\y=V-x2-2x+3},则Q4=()

A.[-5,3]B.{-3,1}C.{-5,3}D.{-5,-3,1,3}

2.下列函数中在定义域上既是奇函数又是增函数的为()

A.y=x+1B.y=—x2C.y=x3D.y=一：

3.已知函数/(x)=匕+f2)二则/•(1)-/(3)=()

(f(%+3)(%<2),

A.7B.12C.18D.27

—1,%V0

—'已知/(a)=3,则实数a的值为()

2x+1,x>0,

A.-2或1B.-2或2C.lD.-2或2或1

5,下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是()

A.y=x3B.y=x2C.y=xD.y=y/x

6.已知定义在R上的函数f(x)满足f(2-x)+/(x)=0,当x>1时，/(%)=%-2,则

不等式f(x)<0的解集为()

A.(l,2)B.(-oo,0)C.(-8,0)U(1,2)D.(0,2)

7.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且满足f(x+6)=/(*),当x6[0,3]时，

/(X)=x2-2,则f(2020)=()

A.-2B.-1C.2D.7

8.下列各项中，/(%)与g(%)表示同一函数的是()

A./(x)=x,g(x)=

2

B./(x)=%,g(x)=(Vx)

c./（x）=%,g（x）=?

D./（x）=ar-n,g。）=｛；二：„

9.已知函数y=/(x)是偶函数，其图像与x轴有四个交点，则方程/(x)=0的所有实根

的和为()

A.4B.2C.lD.0

10.设甲，乙两地的距离为矶a>0),小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，

在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回甲地用了30分钟，则小王从出发到返回

原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为()

Iy

cd]203060**

11.已知函数/(x)为(一1,1)上的奇函数且单调递增，若/(2尢-1)+/■(—4+1)>0,则

x的取值范围是()

A.(—1,1)B.(0,l)C,[l,+8)D.[—1,+8)

12.已知函数y=/(%+1)-1是奇函数，。(%)=三，且f(x)与g(x)的图像的交点为

(勺,乃)，(%2，、2)，…，(X6，、6)，则与+&+…+分+%+丫2+…+丫6=()

A.OB.6C.12D.18

二、填空题

13.下列四个图象中，表示的是函数图象的序号是

试卷第2页，总17页

14.当久6(0,+8)时，暮函数f(%)=(源—•-l)%-5m-3为增函数,则实数

m=.

15.已知函数/(x)=*+2ax—lnx,若f(x)在区间21上是减函数，则实数a的取

值范围为.

16.已知y=/(%)为奇函数，若/(1)=g(i)+12>且g⑴=1，则g(-1)=.

三、解答题

17.已知幕函数f(x)经过点(2,4).

(1)求人一》的值；

(2)设/(x)在区间［m,n］上的值域为［6m-8,6n-8］,求zn+n的值.

18.定义在［—3,—1］U［l,3］上的函数y=f(x)是奇函数，其部分图象如图所示.

(1)请在坐标系中补全函数f(x)的图象，并说出其单调性；

(2)求函数/(x)的最大值和最小值之和并比较/(I)与/(3)的大小.

-x2+4(x>0),

19.已知函数的解析式为f(x)=J0(%=0),

决<0)，

⑴求/(/⑷);

(2)画出这个函数的图象，并写出函数的值域；

(3)若/(x)=k，有两个不相等的实数根，求k的取值范围.

20.已知黑函数/(%)=x~m2^m+2(rnEZ)在(0,+oo)上单调递增.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)设g(%)=/(%)-ax+1,a为实常数,求g(%)在区间［-1,1］上的最小值.

21.若非零函数f(%)对任意实数％,y均有/(%)"(y)=/(%+y)，且当%<。时/(%)>1.

(1)求证:/(%)>0；

(1)求证：/(%)为R上的减函数；

(3)当/(4)=白时，对aG［-1,1］时恒有/(好一2ax+2)<p求实数x的取值范围.

164

b为常数),xe,^)4Xfx<o.

22.已知函数/(%)=ax2+b%+1(a,R

(1)若/(—1)=0,且函数/Q)的值域为［0,+8),求F(x)的解析式;

(2)在(1)的条件下,当无6［-2,2］时，g(x)=f(x)—依是单调函数，求实数k的取值

范围；

(3)设nm<0,m+n>0,a>0,且f(x)为偶函数，判断F(zn)+F(n)是否大于零,

请说明理由.

试卷第4页，总17页

参考答案与试题解析

2021年人教A版(2019)必修第一册数学第三章函数的概念与

性质单元测试卷

一、选择题

1.

【答案】

c

【考点】

函数的定义域及其求法

补集及其运算

【解析】

首先解出集合4再利用补集得解.

【解答】

解：由题设得一一一2%+320,

解得：—3<x<1.

即4={-

所以QA={-5,3}.

故选C.

2.

【答案】

C

【考点】

函数单调性的判断与证明

函数奇偶性的判断

【解析】

根据奇函数图象的特点，增函数的定义，反比例函数在定义域上的单调性，奇函数的

定义，二次函数的单调性，三次函数单调性，一次函数便可判断每个选项的正误，从

而找到正确选项.

【解答】

解：4根据y=x+l的图象知该函数不是奇函数；

B,y=/(x)=-x2=-(-x)2=/(-X),函数为偶函数；

C,函数定义域为R,

x增大时，y随x的增大而增大，所以函数为增函数，

且/(_X)=(一刀尸=-X3=f(X),函数为奇函数；

D.y=-三在其定义域上没有单调性.

故选C.

3.

【答案】

A

【考点】

函数的求值

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：依题意得〃1)=f(4)=42+1=17,

/(3)=32+1=10,

所以f⑴-"3)=7.

故选A

4.

【答案】

A

【考点】

分段函数的应用

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：因为/'(a)=3,

当xW0时，X2-1=3,解得X=2(舍)或一2；

当%>0时，2x+l=3,解得x=l.

故选人

5.

【答案】

D

【考点】

函数奇偶性的判断

【解析】

先分别求四个选项的函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称，再求〃-切，判

断与/(x)的关系，即可得解.

【解答】

解：A,函数y=/的定义域为R,关于原点对称，

且y=fM=x3,f(-x)=(―x)3=-x3=-fix'),

所以y=/是奇函数；

B,函数y=/的定义域为R,关于原点对称，

且y-/(%)-X2,/(-x)=(-X)2=X2=/(%),

所以y=%2是偶函数；

C,函数y=x的定义域为R,关于原点对称，

Uy=/(x)=x,/(-x)=-x=-/(x),

所以y=x是奇函数；

D,函数y=奴的定义域为［0,+8),不关于原点对称，

所以函数y=辰j既不是奇函数也不是偶函数.

故选D.

6.

【答案】

C

【考点】

函数单调性的性质

【解析】

可设时，2-％>1,然后根据已知可求f(x),代入即可求解不等式.

【解答】

试卷第6页，总17页

解：...x>l时，/(x)=x-2,

当x<1时，2—x>1,

f(2—x)=2—x—2=­x,

/(2-x)+/(x)=0,

—/(x)=—X,即/(x)=x,

函数f(x)满足/(2—X)+/(X)=0,

/(2-1)+/(1)=0,即f(1)=0,

卜-2,x>l,

故/(X)={0,x=1,

Vx,x<1,

当x>1时，/(x)=x-2<0,可得l<x<2,

当x<1时，/(x)=x<0可得，%<0,

综上可得，不等式的解集为(一8,0)U(1,2).

故选C.

7.

【答案】

C

【考点】

函数的周期性

函数奇偶性的性质

函数的求值

【解析】

【解答】

解：：函数/(%)满足f(x+6)=f(x),

・•・函数/'(x)是以6为周期的周期函数.

函数f(x)是定义在R上的偶函数，

且当x6［0,3］时，/(x)=X2—2,

：./(2020)=f(337x6-2)=/(-2)=/(2)=2.

故选C.

8.

【答案】

D

【考点】

判断两个函数是否为同一函数

【解析】

应根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，判断它们是同一函数.

【解答】

解：A,g(x)=V^=|x|,与/'(x)=》对应关系不同，不是同一函数，故A错误；

B,/(x)=x定义域为R,g(x)=(代)2定义域为［0,+8),它们的定义域不同，不是同

一函数，故B错误；

2

C,/0)=”定义域为1^,g(x)=v亍的定义域为(-8,0)u(0,+8),它们的定义域不同,

不是同一函数，故C错误；

D,/(x)=|x-l|=fX-1,与。(%)=『一1'"D’定义域均为R,值

(1-(%V1).(1-x,(x<1).

域相同，是同一函数，故D正确.

故选D.

9.

【答案】

D

【考点】

奇偶函数图象的对称性

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：因为函数图象关于y轴对称，

所以与x轴的四个交点关于原点对称，

所以f。)=0的所有实根之和为0.

故选D.

10.

【答案】

D

【考点】

函数图象的作法

【解析】

根据运动的路程与时间判断函数图象.注意几个时间段：首先小王从甲地到乙地花费

一段时间，在乙地休息，然后从乙地返回甲地，据此得到正确选项.

【解答】

解：根据题意可知，图象是从甲地到乙地用时20分钟，

在乙地休息10分钟，再返回甲地用时30分钟，共60分钟，

若甲地到乙地的路程为a,则小王骑车经过的路程为2a,

观察选项只有。符合题意.

故选D.

11.

【答案】

B

【考点】

奇偶性与单调性的综合

【解析】

(1)根据题目所给信息进行求解即可.

【解答】

解：；已知函数f(x)为上的奇函数且单调递增，

则/(2x-1)+/(-x+1)>0等价于/(2x-1)>f(x-1),

其满足—1<2x—1<1,—1<x—1<1,2.x—1>x—1,

解得0<x<1.

故选B.

12.

【答案】

试卷第8页，总17页

c

【考点】

函数的对称性

奇偶函数图象的对称性

【解析】

分别判断函数/(X)与g(x)的对称性，结合函数的对称性进行求解即可.

【解答】

解：因为函数丫=/0+1)—1为奇函数，

所以函数/'(x)的图象关于点(1,1)对称，

因为g(x)=三=W+1关于点(1,1)对称，

所以两个函数图象的交点也关于点(1,1)对称，

则(*1+x2+•••+x6)+01+y2+1,,+丫6)

=2x3+2x3=12.

故选C.

二、填空题

13.

【答案】

⑴，(3),(4)

【考点】

函数的概念

【解析】

根据函数的定义可知：对于无的任何值y都有唯一的值与之相对应，紧扣概念，分析图

象即可得到结论.

【解答】

解：设在某变化过程中有两个变量x,y,

如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，

y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数.

根据函数的定义可知，

只有(2)不能表示函数关系.

故答案为：(1),(3),(4).

14.

【答案】

-1

【考点】

幕函数的单调性、奇偶性及其应用

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：由题意可得，

(.-5m—3>0,

解得：m=—1.

故答案为：—1.

15.

【答案】

【考点】

已知函数的单调性求参数问题

【解析】

由题意，f(x)在区间［Q］上是增函数可化为/"'(x)=x+2a，20在［Q］恒成立，从

而再化为最值问题.

【解答】

解：；/⑺在区间由2］上是减函数,

/'(X)=x+2a—；S0在慨,2］上恒成立,

即2aWr+5在*,2］上恒成立.

y=-x+5在住同上是减函数，

ymin=(~x+,=_；，

\mm/

2d4——,即Q4——.

24

故答案为：a<—

4

16.

【答案】

-3

【考点】

奇函数

【解析】

先求得/(I)的值，再根据/(x)为奇函数，可得f(-1)的值，从而得到g(-1)的值.

【解答】

解：因为/'(l)=g(l)+/=2,y=f(x)为奇函数,

所以/(—l)=g(—1)+1=-2,

所以g(—1)=-3.

故答案为：一3.

三、解答题

17.

【答案】

解：⑴设幕函数/(©=%%

4=2a,

a=2,

/(x)=x2,

(2).-/(x)=x2>0,

67n—8N0,

4

..m-3,

试卷第10页，总17页

又函数f(x)在(0,+8)上单调递增，

函数/'(X)在上单调递增，

/(m)=6m—8,/(n)=6n—8,且zn<n,

解得：m=2,n=4,

m+n=6.

【考点】

幕函数的单调性、奇偶性及其应用

事函数的概念、解析式、定义域、值域

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：(1)设基函数f(x)=xa,

4=2a,

a=2,

f(x)=X2,

：./(-i)=-.

八2，4

(2)v/(x)=x2>0,

•*.67n—8>0,

、

..m>-4.

又函数/(x)在(0,+8)上单调递增，

.,・函数f(%)在［犯71］上单调递增，

f(rn)=6m—8,/(几)=6n—8,且m<n,

解得：m=2,n=4,

m+n=6.

18.

【答案】

解：(1)定义在［-3,-1］U［1,3］上的函数y=f(x)是奇函数,

故函数的图象如图：

故函数y=/(%)在［-3,-1］U［1,3］上单调递减；

(2)由函数的图象可得f(X)max=〃一3),/(X)min=f(3)，

又函数y=/(x)是奇函数，/(一3)+/(3)=0,

由函数的图象可得/(1)>/(3).

【考点】

函数的图象变换

函数的最值及其几何意义

【解析】

(1)利用函数的奇偶性画出函数的图象即可.

(2)利用函数的图象判断大小即可.

【解答】

解：⑴定义在[-3-1]U[l,3]上的函数y=f(x)是奇函数,

故函数的图象如图：

故函数y=/(x)在[-3,-1]U[l,3]上单调递减；

(2)由函数的图象可得f(x)max=〃-3),Z(x)min=门3),

又••・函数y=f(x)是奇函数，，/(一3)+f(3)=0,

由函数的图象可得f(l)>〃3).

19.

【答案】

解：(1)/(4)=-16+4=-12,

/(/(4))=/(-12)=-i;

(2)如图即为所求：

值域：(-8,4)；

(3)/(x)=k有两个不相等的实数根，

即函数f(x)的图象与y=k有两个不相同的交点,

由函数图象可知，上6(—8,0].

【考点】

函数的零点与方程根的关系

分段函数的解析式求法及其图象的作法

函数的求值

试卷第12页，总17页

函数的值域及其求法

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：(1)/(4)=-16+4=-12,

/(/(4))=/(-12)=-i；

(2)如图即为所求:

值域：(-8,4)；

(3)/(x)=k有两个不相等的实数根，

即函数“X)的图象与y=k有两个不相同的交点，

由函数图象可知，上6(—8,0］.

20.

【答案】

解：(1)因为幕函数/'(X)=X-mZ+m+2在(0,+8)上单调递增,

所以—Tn?+7n+2>0,故—1<小<2.

又因为meZ,故m=0,或?n=l,

所以/(x)=x2.

(2)由(1)知g(x)=x2-ax4-1,

①若三<-1，即a<—2时，g(x)在［-1,1］上单调递增，

所以g(x)min=g(-l)=a+2；

巨)若—1<］W1,即—2<aW2时，

g(x)在上单调递减，岁1］上单调递增，

所以g(x)min=g6)=1一9；

③若5>1,即a>2时，g(x)在［-1,1］上单调递减，

所以g(x)min=g⑴=2—a.

综上：aW-2时,9。)在区间［-1,1］上的最小值为。+2；

—2<a<2时，g(x)在区间［-1,1］上的最小值为1—%

a>2时，g(x)在区间［-1,1］上的最小值为2—a.

【考点】

二次函数在闭区间上的最值

基函数的性质

【解析】

(1)由条件可得-Hi?+m+2>0,解得m的范围m.再结合meZ,求得m的值，可

得/(x)的解析式.

(2)由(1)知g(x)=/一。久+1,再分①若1、②若一lC^Sl、③若］>

1三种情况，分别利用二次函数的性质，求得g(x)mm-

【解答】

解：(1)因为幕函数/(x)=%-裙+狙+2在(0,+8)上单调递增，

所以一僧2+m+2>0,故—1<m<2.

又因为m6Z,故m=0,或m=l,

所以/(x)=X2.

(2)由(1)知g(x)=x2—ax+1,

①若］<-1,即a<—2时，g(x)在［-1,1］上单调递增，

所以g(x)min=g(T)=a+2；

②若一即一2<aW2时，，

g(x)在上单调递减，6，1］上单调递增，

所以g(X)min=5(7)=1一;；

③若］>1，即a>2时，g(x)在［-1,1］上单调递减，

所以g(x)min=g(l)=2-a.

综上：aW-2时，0。)在区间［一1,1］上的最小值为。+2；

—2<a<2时，g(x)在区间［一1,1］上的最小值为1—：；

a>2时，g(x)在区间［一L1］上的最小值为2—a.

【答案】

(1)证明:法①f(0)"(©="%)，

BIW)[/(0)-l]=0,

又/(x)丰0,

/(。)=L

当x<0时，/(x)>1,

则一X>0,

•••/(x)-/(-x)=/(0)=l,

则/(一%)=白€(0,1).

试卷第14页，总17页

故对于XGR恒有/(x)>0.

法②/。)=居+/=[/钥220，

V/(%)为非零函数，

/(%)>0.

(2)证明：令X]>(2且与，%2ER，

有/O1),/(X2-与)=/。2)，

又%2一%1V0,

即f(%2-%1)>1，

故怒—1)>1,

又/(x)>0,

/(犯)>)(%1)，

故/(x)为R上的减函数.

(3)解:/(4)=±=/(2+2)=f2Q)n故门2)=(

则原不等式可变形为/(/一2ax+2)</'(2),

依题意有x2—2ax>0对a6[-1,1]恒成立，

当x>0时，x>2a,

当x<0时，x<2a,

当x=0时，符合题意.

故实数x的取值范围为(-8,-2]U{0}U[2,+8).

【考点】

函数的概念

函数的单调性及单调区间

函数的值域及其求法

【解析】

(1)根据抽象函数，利用赋值法证明/。)>0;

(2)根据函数单调性的定义证明f(x)为R上的减函数;

(3)利用函数单调性的性质，解不等式即可.

【解答】

(1)证明:法①f(0)"(x)=/(%)，

即/(x)[/(0)-1]=0,

又f(x)*0,

•••/(0)=1.

当x<0时，/(x)>1,

则一x>0,

/(x)-/(-%)=/(0)=1,

W(-x)=7^e(0(l).

故对于X6R恒有/'(X)>0.

法②/⑶=/©+》=[/(；)]*0，

♦:/(x)为非零函数，

/(%)>0.

(2)证明：令％1>不且％1，冷eR，

有fQD-f(x2-旬=f(x2),

又％2一%1V0,

即f(%2-％1)>1，

故警^=/(%2-石)>1，

又f(x)>0,

f(x2)>/(Xl)»

故/(x)为R上的减函数.

(3)解:f(4)=^=/(2+2)=f2(2)n故f(2)=(

则原不等式可变形为—2ax+2)</(2),

依题意有x2-2ax>0对a6[—1,1]恒成立,

二.当%>0时，x>2a,

当％<0时，x<2a,

当％=0时，符合题意.

故实数％的取值范围为(一8,-2]U{0}U[2,+8).

22.

【答案】

解：(1);/(-1)=0,

.Q-b+1=0@).

又函数/(%)的值域为[0,+8),

所以Q。0,

且由y=Q(%+/)2+与:知，即4a—/?2=0②,

由①②得a=1,b=2,

f(x)=x24-2%+1=(x+1)2,

,F(X)=[(X+l)2/