知识资料求导问题

朽木易折，金石可镂。千里之行，始于足下。PAGE第页/共页求导问题4.1基本概念、内容、定理、公式1.导数定义函数的增量与自变量增量之比，即差商表示函数在与之间的平均变化率.若当自变量的增量趋于零时，差商的极限存在，则称函数在点处的导数存在，有.这里，导数的定义不但要求函数在点处及其邻域内有定义，而且其差商的极限存在与否跟点处的函数值有关.异常地，在导数定义的极限过程中，是不变的，而是一个可正可负的变量.若，则按定义得右导数；若，则按定义得左导数.而当其求得极限后得导数是以为自变量的函数，与无关.函数在一点处的导数仅仅反映函数在该点处的性质.例如，设函数在点处可导，则它必须在该点及其邻域内有定义，且在该点处必延续，但函数在该点的邻域内未必到处可导，甚至未必延续.由导数的定义容易证实函数仅在处延续，且可导，但是显然它在的各点到处不延续，故到处不可导.2.导数公式和求导法则1）常数和基本初等函数的求导公式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；（14）；（15）；（16）；2）函数的和差、积、商的求导法则（1）；（2）；（3）；（4）；3）复合函数、反函数、参数方程及隐函数求导法则（1）设在区间上可导，在对应区间上可导，则在区间上有或.（2）设函数在某区间内单调，可导且，那么它的反函数在对应区间内也可导，且有，即.（3）设由方程组所给出，在区间上可导，且，则也可导，且有，即.（4）设决定了是的函数，则方程的两端同时对求导，视为中间变量，于是可得.4）高阶导数定义：，，.高阶导数求导法则Ⅰ（为常数）；Ⅱ（莱布尼兹公式）；Ⅲ常见五个函数的阶导数公式：（ⅰ）；（ⅱ）；（ⅲ）（ⅳ）；（ⅴ）异常地，，.4.2例题选讲1.用导数定义求导数例4-1设，在处延续，证实：在处可导.例4-2设对，有且，试证：例设在上有定义，且对，都有，又，求。例4-3设，其中在点的邻域内延续，在点处可导，且，，试证在点处可导，并求.2.初等函数求导例4-4设，求.例4-5设，求.例4-6设.例4-7设，且存在，求.例4-8设，，求，，.注：上面三个函数中都有导数记号，要搞清每一个导数的含义：中的导数记号是指，求出后，再与举行复合；中导数记号是指，即对中间变量求导，求出后再与举行复合；而中的导数记号是指对自变量求导：，按照复合函数求导法则，=.反函数求导例设郑重单调函数有二阶延续导数，其反函数为，且，则。例设函数在上具有二阶导数，且，是的反函数，试将所满意的微分方程变换为所满意的微分方程。3.隐函数求导例4-9设方程决定了是的函数，求.例4-10设是由方程所决定的隐函数，求.4.参数方程求导例4-11设，，，求，.例4-12已知，求.5.分段函数求导例4-13设，求.例设函数在内有定义，且，又，求在内的表达式。例4-14设为实常数，，，试研究的延续性，可导性及的延续性.例4-15设，其中具有二阶延续导函数且.决定的值，使在点处延续；求；研究在点处的延续性.考虑：若把条件“具有二阶延续导函数”改为“具有二阶导函数”，此题的解法对吗？用何主意？6.高阶导数例4-16设方程，求（1）；（2）.例4-17设，求.例4-18设，求，.例4-19设，求及.解：，=，===，预测：成立，那么===，由数学归纳法知：.又当时，，，故当时，；故当时，.注：对于函数求随意阶导数，采用逐渐往上求的主意普通是很难凑效.常用的主意有（1）数学归纳法；（2）莱布尼兹公式；（3）间接法（利用五个函数的随意阶导数公式）.倘若单求，还有如下异常主意：主意1：，即，两边同时对求阶导数，利用莱布尼兹公式又三阶以上的导数均为零，，即，把代入上式得：，又，，，.主意2：将展开成麦克劳林级数.=，，，.例设，则=。4.3练习题4-1若在点延续，且存在，证实：在点可导.4-2设对非零有，且，试证当时，.4-3求下列函数的导数：（1）；（2）；（3）；（4）；4-4设，，，，求.4-5设，求.4-6求由方程所决定的函数的导数.4-7设其中为二阶可导，且，求及.4-8设，求.4-9设，求.4-10设，定义域为，其中，，在其定义域内求.4-11设，求.4-12设，证实：.4-13（1）设，求.（2）设，求.4-14试用变量替换变换方程：（为实常数）4-15设在上有定义，且存在，又对于，恒有，求.4-16设，证实：方程没有重根.4-17求下列函数的阶导数：（1）；（2）；（3）；（4）.4.4答案与提醒4-1设，则；而在点延续，故，于是.4-2当时，有，因此，.由导数定义，当时，====.4-3（1）；（2）；（3）；（4）；4-4；4-5（采用对数求导法）.4-6.4-7，.4-8，又因为，即.故；从而，故.4-9.4-10.4-11利用莱布尼兹公式和例19的结果.即=.4-12==；同理，代入即得.4-13（1），两边平方得：，两边对求导：，因为，所以.对上式两边求阶导数.令，得，即.又，