1.1 等腰三角形 北师版数学八年级下册导学课件

1.1等腰三角形第一章三角形的证明逐点学练本节小结作业提升本节要点1学习流程2全等三角形的判定与性质等腰三角形的性质定理及其推论等边三角形的性质定理等腰三角形的判定定理反证法等边三角形的判定定理含30°角的直角三角形的性质知识点全等三角形的判定与性质11.判定定理两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.(AAS)2.判定三角形全等的一般思路已知两边找夹角→SAS找第三边→SSS已知一边一角边为角的对边→找任意一角→AAS边为角的邻边找角的另一邻边→SAS找边的另一邻角→ASA找边的对角→AAS已知两角找夹边→ASA找角的对边→AAS3.全等三角形的性质全等三角形的对应边相等、对应角相等.特别提醒1.证明两个三角形全等需要三个条件，三个条件中至少有一组对应边相等.2.证明两个三角形全等时，对应顶点必须写在对应的位置上.3.“全等三角形的对应边相等、对应角相等”是证明线段相等、角相等的重要依据.例1如图1-1-1，C为BE

上一点，点A，D分别在BE的两侧，且BC=DE，AB∥ED，AB=CE.求证：AC=CD.解题秘方：紧扣三角形全等的判定证两个三角形全等，然后利用全等三角形的性质证线段相等.证明:∵AB∥ED，∴∠B=∠E.在△ABC

和△CED

中，AB=CE，∠B=∠E，BC=ED，∴△ABC≌△CED(SAS).∴AC=CD.1-1.如图，点D在AB上，点E

在AC

上，AB=AC，∠B=∠C.求证：BD=CE.证明：∵∠A＝∠A，AC＝AB，∠C＝∠B，∴△ACD≌△ABE.∴AD＝AE.∴AB－AD＝AC－AE，即BD＝CE.知识点等腰三角形的性质定理及其推论21.性质定理等腰三角形的两底角相等(简写成“等边对等角”).特别提醒♦适用条件：必须在同一个三角形中.♦作用：是证明角相等的常用方法，应用它证角相等时可省去三角形全等的证明，因而更简便.2.推论等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合(简写成“三线合一”).3.对称性等腰三角形是轴对称图形，顶角的平分线(或底边上的高线、底边上的中线)所在的直线是它的对称轴．4.等腰三角形中特殊线段的性质(1)等腰三角形两底角的平分线相等；(2)等腰三角形两腰上的中线相等；(3)等腰三角形两腰上的高线相等.如图1-1-2，在△ABC

中，AB=AC，BD，CE

分别是AC，AB

边上的高.求证：BD=CE.例2解题秘方：利用等腰三角形的性质定理为证明△BEC和△CDB全等创造条件.

2-1.[中考·衡阳]如图，在△ABC中，AB=AC，D，E是BC边上的点，且BD=CE.求证：AD＝AE．知识点等边三角形的性质定理31.等边三角形内角的性质定理等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.2.等边三角形的其他性质(1)等边三角形的三条边都相等；(2)等边三角形是轴对称图形，它有3条对称轴，分别为三边的垂直平分线；(3)等边三角形各边上的高、中线、对应的角平分线重合，且长度相等.特别解读等边三角形是特殊的等腰三角形，所以：1.任意两边都可以作为腰；2.任意一个角都可以作为顶角；3.任意一边上都“三线合一”.如图1-1-3，△ABC

是等边三角形，D，E，F

分别是三边AB，AC，BC

上的点，且DE⊥AC，EF⊥BC，FD⊥AB，求△DEF

各个内角的度数.例3解题秘方：紧扣等边三角形的三个内角都等于60°，求角的度数.解：∵△ABC

是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°.∵DE⊥AC，EF⊥BC，FD⊥AB，∴∠AED=∠EFC=∠FDB=90°.∴∠ADE=90°－∠A=90°－60°=30°.∴∠EDF=180°－30°－90°=60°.同理可得∠DEF=∠EFD=60°，∴△DEF各个内角的度数都是60°.3-1.[中考·海南]如图，直线m∥n，△ABC是等边三角形，顶点B在直线n

上，直线m

交AB

于点E，交AC

于点F，若∠1=140°，则∠2的度数是()80°100°120°140°B如图1-1-4，已知△ABC

为等边三角形，点D，E分别在BC，AC

边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F.例4解题秘方：利用等边三角形中边相等、角相等且为60°的性质进行解答.证明：∵△ABC

为等边三角形，∴∠

BAE=∠ACD=60°，AB=CA.在△ABE和△CAD

中，AB=CA，∠BAE=∠ACD，AE=CD，∴△

ABE≌△CAD(SAS).(1)求证：△ABE≌△CAD.等边三角形的三条边相等，三个内角相等且都等于60°，为三角形全等创造了边、角相等的条件.解：∵△ABE≌△CAD，∴∠ABE=∠CAD.∵∠BFD=∠ABE+∠BAF，∴∠BFD=∠CAD+∠BAF=∠BAC=60°.(2)求∠

BFD的度数.4-1.如图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，求证：AE=CD.知识点等腰三角形的判定定理41.判定定理有两个角相等的三角形是等腰三角形(简写成“等角对等边”).2.等腰三角形的性质定理与判定定理的异同相同点：使用的前提都是“在同一个三角形中”.不同点：由三角形的两边相等，得到它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形的两角相等，得到它是等腰三角形，是等腰三角形的判定.特别提醒“等角对等边”是我们以后证明两条线段相等的常用方法，在证明过程中，经常通过计算三角形各角的度数，或利用角的关系得到角相等，从而得到所对的边相等.如图1-1-5，在△ABC中，P是BC边上一点，过点P作BC的垂线，交AB于点Q，交CA的延长线于点R.若AQ=AR，则△ABC

是等腰三角形吗？请说明理由.例5解题秘方：利用“等角对等边”判定等腰三角形，只需证明三角形的两个内角相等即可.解：△ABC是等腰三角形.理由如下：∵AQ=AR，∴∠R=∠AQR.又∵∠BQP=∠AQR，∴∠R=∠BQP.∵RP⊥BC，∴∠RPB=∠RPC=90°.∴∠B+∠BQP=90°，∠C+∠R=90°.∴∠B=∠C.∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形.5-1.如图，在△ABC中，∠ABC，∠CAB的平分线交于点P，过点P作DE∥AB，分别交BC，AC于点D，E.求证：DE=BD+AE.证明：∵DE∥AB，∴∠ABP＝∠DPB.∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠DBP，∴∠DBP＝∠DPB.∴DP＝DB.同理可得EP＝EA，∴DE＝DP＋EP＝BD＋AE.知识点反证法51.概念在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立.这种证明方法称为反证法.2.用反证法证明结论的一般步骤(1)反设：假设结论的反面是正确的.(2)归谬：从假设出发，通过演绎推理，推导出与基本事实、已有定理、定义或已知条件相矛盾的结果.(3)定论：由矛盾说明假设不成立，进而得出原结论正确.注意：用反证法证明时，否定的是命题的结论，而不是否定已知条件.特别解读适合用反证法证明的命题类型：1.结论以否定形式出现的命题；2.唯一性命题；3.结论以“至多”“至少”等形式叙述的命题.求证：在一个三角形中，不能有两个角是钝角.例6解题秘方：本题是命题类证明题，需要先写出已知、求证，然后利用所学知识写出证明过程.本题不易直接证明，可考虑运用反证法来证明.解：已知：∠A，∠B，∠C

是△ABC

的三个内角.求证：∠A，∠B，∠C

中不能有两个角是钝角.证明：假设∠A，∠B，∠C

中有两个角是钝角，不妨设∠A

＞90°，∠B

＞90°，则∠A+∠B+∠C

＞180°.这与三角形内角和定理相矛盾，故∠A，∠B

均大于90°不成立.即在一个三角形中，不能有两个角是钝角.6-1.已知△ABC中，AB=AC，求证：∠B

＜90°.下面为运用反证法证明这个命题的四个步骤：①∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾.②因此假设不成立，∴∠B＜90°.③假设在△ABC中，∠B≥90°.④由AB=AC，得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°.这四个步骤正确的顺序应是__________.③④①②知识点等边三角形的判定定理61.判定定理1三个角都相等的三角形是等边三角形.2.判定定理2有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.证明等边三角形的思维导图：三角形——————→等边三角形思路1三边相等思路2三角相等三角形—————→等腰三角形—————→等边三角形等腰三角形的判定有一个角等于60°特别解读在等腰三角形中，只要有一个角是60°，无论这个角是顶角还是底角，都可以用判定定理2判定等边三角形.如图1-1-6，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN

都是等边三角形，AN，MC相交于点E，BM，CN

相交于点F.求证：例7解题秘方：紧扣等边三角形的性质，证明三角形全等，利用等边三角形的判定定理2证明等边三角形.证明：∵△ACM，△CBN

都是等边三角形，∴AC=CM，CN=BC，∠ACM=∠BCN=60°.∴∠ACM+∠MCN=∠BCN+∠MCN，即∠ACN=∠MCB.在△ACN和△MCB

中，AC=MC，∠ACN=∠MCB，CN=CB，∴△ACN≌△MCB(SAS).∴AN=BM.(1)AN=BM；证明：∵△ACN≌△MCB，∴∠ENC=∠FBC.∵∠ECN=180°－∠ACM－∠NCB=60°，∴∠ECN=∠FCB.在△ECN

和△FCB

中，∠ENC=∠FBC，CN=CB，∠ECN=∠FCB，∴△ECN≌△FCB(ASA).∴CE=CF.又∵∠ECF=60°，∴△CEF

是等边三角形.(2)△CEF

是等边三角形.特别解读等边三角形的判定方法：1.若已知三边关系，一般选用定义判定；2.若已知三角关系，一般选用判定定理1判定；3.若已知该三角形是等腰三角形，一般选用判定定理2判定.7-1.如图，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC，D是BC

的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F

为垂足，求证：△DEF

是等边三角形.证明：∵∠A＝120°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°.又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°.∴∠BDE＝∠CDF＝60°.∴∠EDF＝60°.∵D是BC的中点，∴BD＝CD.又∵∠B＝∠C，∠BDE＝∠CDF，∴△BDE≌△CDF(ASA)．∴DE＝DF.∴△DEF是等边三角形(有一个角等于60°的