2021年人教A版选修1-2数学第2章-推理与证明单元测试卷含答案

2021年人教A版选修1-2数学第2章推理与证明单元测试卷含

答案

学校：班级：姓名：考号：

一、选择题（本题共计12小题，每题5分，共计60分，）

1.甲、乙、丙，丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩.老师说：你们四人中

有两位优秀，两位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的

成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（）

A.乙、丁可以知道自己的成绩

B.乙可以知道四人的成绩

C.乙、丁可以知道对方的成绩

D.丁可以知道四人的成绩

2.已知某高中的一次测验中，甲、乙两个班级的九科平均分的雷达图如图所示，下列

判断错误的是（）

甲班

乙班

生物化学

A.乙班的理科综合成绩强于甲班

B.甲班的文科综合成绩强于乙班

C.两班的英语平均分分差最大

D.两班的语文平均分分差最小

3.如图是一系列有机物的结构简图，图中的"小黑点”表示原子，两黑点间的"短线"表

示化学键，按图中结构，图5）中的化学键有（）

03⑪…

（1）（2）⑶

A.6n个B.(4n+2)个C.(5TI-1)个D.(5n+1)个

4.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如:

他们研究过图中的1,3,6,10,…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形

数，由以上规律，则这些三角形数从小到大形成一个数列{a.},那么的值为（）

A.45B.55C.65D.66

5.欧拉公式eix=cosx+isinx（e是自然对数的底数，i是虚数单位）是数学里令人着迷

的公式之一，根据欧拉公式可知，2屹-今=（）

A.V3—iB.1—y/3iC.V3+iD.l+V3i

6.苏格兰数学家纳皮尔发明了对数表，这一发明为当时的天文学家处理“大数运算"做

出了巨大贡献.法国著名数学家和天文学家拉普拉斯曾说过："对数倍增了天文学家的寿

命"，比如在下面的部分对数表中，8和1024对应的暴指数分别为3和10,基指数和为

13,而13对应的事8192,因此，8x1024=8192.根据此表，推算33554432x

262144的值对应的基指数为（）

X23456.78910

y工2工2481632641282565121024

X11121314151617181920

y=2，2048409681921638432768655361310722621445242881048576

X2122232425

y-2,2097152419430483886081677721633554432

A.41B.42C.43D.44

7.用反证法证明命题"若。2+炉=0,则以b全为0”,其反设正确的是（）

A.a、b至少有一个不为0B.a、b至少有一个为0

C.a、b全不为0D.a、b中只有一个为0

8.用反证法证明命题：”已知a,bGN*,如果ab能被11整除，那么a,b中至少有一个

能被11整除"，则应假设（）

A.a,b都不能被11整除

B.a,b中至多有一个能被11整除

C.a,b中至多有一个不能被11整除

D.a,b都能被11整除

试卷第2页，总15页

9.下列三句话按三段论的模式排列顺序正确的是（）

①2019不能被2整除；

②一切奇数都不能被2整除；

③2019是奇数.

A.①②③B.②①③C.②③①D.③②①

10.我国南北朝时代的数学家祖晒提出体积的计算原理（祖晅原理）："新势既同，则积

不容异，，."势，，即是高，"嘉，，是面积.意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几

何体的截面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.类比祖瞄原理，如图所示，在

平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个上底长为1、下底长

为2的梯形，且当实数t取［0,3］上的任意值时，直线y=t被图1和图2所截得的两线段长

总相等，则图1的面积为（）

A.4C.5D-T

11.分析法又称执果索因法，若用分析法证明："设a>b>c,且a+b+c=0",求证

7b2—ac<Ba"最终索的因应是()

A.a-b>0B.a-c<0C.(a—b)(a—c)>0D.(a—b)(a—c)<0

12.如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方

形，…，如此继续下去得到一个树形图形，称为"勾股树".若某勾股树含有255个正方

返

形，且其最大的正方形的边长为2，则其最小正方形的边长为（）

1V211

A.16B.32c.32D.64

二、填空题（本题共计4小题，每题5分，共计20分，）

13.在"一带一路"知识测验后，甲，乙，丙三人对成绩进行预测.

甲：我的成绩比乙高.

乙：丙的成绩比我和甲的都高.

丙：我的成绩比乙高.

成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的

次序为.

14.观察下列数表：

1

35

791113

1517192123252729

设2017是该表第m行的第n个数，则m+n的值为

15.用反证法证明："a>b",应假设为.

16.数式1+二『中省略号"…"代表无限重复，因原式是一个固定值，可以用如下方法

求得：令原式=,则1+;=,则2-—1=0,取正

值得=雪，用类似方法可得12+）2+=2.

三、解答题（本题共计6小题，每题11分，共计66分，）

17.如图中给出了3层的六边形，图中所有点的个数S3为28.按其规律再画下去，可以

得到n层六边形，试写出当的表达式.

设y>1,证明：x+y+-<-+-+xy.

18.yxyxy

19.设a,b为互不相等的正实数，求证：4(a3+b3)>(a+b)3.

+

20.在数列｛册｝中，已知4=2,an+i=6N).

试卷第4页，总15页

(1)求&2，。3，。4,并由此猜想数列Sn｝的通项公式;

(2)用数学归纳法证明你的猜想.

21.在已知两边a,b和一边的对角4求角B时.如果4为锐角，那么可能出现以下情

况(如图):

如果4为钝角，那么可能会出现哪几种情况？试画出草图加以说明.

22.

(1)用综合法证明：x2+y2+z2+3>2(x+y+z)；

(2)若实数，q*构成公差不为0的等差数列，请用反证法证明：a,b,c不可能构成等

差数列.

参考答案与试题解析

2021年人教A版选修1-2数学第2章推理与证明单元测试卷含

答案

一、选择题（本题共计12小题，每题5分，共计60分）

1.

【答案】

A

【考点】

进行简单的合情推理

【解析】

先阅读题意，再结合简单的合情推理逐一判断即可得解.

【解答】

因为甲、乙、丙，丁四位同学中有两位优秀，两位良好，

又甲看了乙、丙的成绩且甲还是不知道自己的成绩，即可推出乙、丙的成绩一位优秀,

一位良好，

又乙看了丙的成绩，即乙由丙的成绩可知自己的成绩，

又甲、丁的成绩一位优秀，一位良好，则丁由甲的成绩可知自己的成绩，

即乙、丁可以知道自己的成绩，

2.

【答案】

D

【考点】

进行简单的合情推理

【解析】

先对图象数据的进行处理，再逐一进行检验即可得解

【解答】

由甲、乙两个班级的九科平均分的雷达图可得：

乙班的理科综合成绩强于甲班，即选项4正确，

甲班的文科综合成绩强于乙班，即选项B正确，

两班的英语平均分分差最大，即选项C正确，

两班地理平均分分差最小，即选项。错误，

3.

【答案】

D

【考点】

归纳推理

【解析】

根据图可知第一张图有6个化学键，从第二个起每一个比前一个多5个，可得通项.

【解答】

第一张图有6个化学键，从第二个起每一个比前一个多5个，

则第n个图有5n+l个，

4.

【答案】

B

试卷第6页，总15页

【考点】

归纳推理

【解析】

根据已知中第1个图中黑点有1个，第2个图中黑点有1+2个，第3个图中黑点有1+

2+3个，第4个图中黑点有1+2+3+4个，...归纳可得第n个图中黑点有1+2+

3+…+n个，可得结论.

【解答】

解：由已知中：

第1个图中黑点有1个，

第2个图中黑点有3=1+2个，

第3个图中黑点有6=1+2+3个，

第4个图中黑点有10=1+2+3+4个，

故第10个图中黑点有的0=1+2+3+...+10=殁1=55个，

故选B.

5.

【答案】

D

【考点】

欧拉公式的应用

【解析】

直接代入欧拉公式，计算即可得到结果.

【解答】

21■e("0"=2i[cos(--)+isin(―-)1=2i(―—^i)=1+V3i,

6622

6.

【答案】

C

【考点】

类比推理

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：由表可知,33554432=225,262144=218,

33554432,262144的对应幕指数分别为25,18,

塞指数和为43.

故选C.

7.

【答案】

A

【考点】

反证法

【解析】

把要证的结论否定之后，即得所求的反设.

【解答】

解：由于“a、b全为0”的否定为："a、b至少有一个不为0”,

故选4

8.

【答案】

A

【考点】

反证法

【解析】

反证法证明中，假设时只需要对结论进行否定即可.

【解答】

解：••・反证在假设时，要对结论进行否定，

应假设为"a,b都不能被11整除

故选4

9.

【答案】

C

【考点】

演绎推理

【解析】

按照演绎推理的三段论，“大前提，小前提和结论"，即可得出正确的排列顺序.

【解答】

解：根据题意，按照演绎推理的三段论，应为：

大前提：一切奇数都不能被2整除，

小前提：2019是奇数，

结论：2019不能被2整除；

正确的排列顺序是②③①.

故选C.

10.

【答案】

B

【考点】

演绎推理

【解析】

本题考查类比推理、梯形的面积.

【解答】

解：根据祖巡原理，

可得图1的面积等于图2梯形的面积，

其面积为生等=

故选B.

11.

【答案】

C

【考点】

分析法的思考过程、特点及应用

试卷第8页，总15页

【解析】

由题意可得，要证办2-ac<>/3a,经过分析，只要证(a-c)(a-6)>0,从而得出

结论.

【解答】

解：由a>b>c,且a+b+c=0可得b=—a—c,a>0,c<0.

要证A/炉—ac<V3a,只要证(—a—c)2—ac<3a2,

即证a2—ac+a2—c2>0,即证a(a—c)+(a+c)(a-c)>0,

即证a(a-c)-b(a-c)>0,即证(a—c)(a-b)>0.

故求证“4炉-ac<索的因应是(a-c)(a-6)>0.

故选C.

12.

【答案】

A

【考点】

归纳推理

【解析】

此题暂无解析

【解答】

此题暂无解答

二、填空题(本题共计4小题，每题5分，共计20分)

13.

【答案】

甲，乙，丙

【考点】

进行简单的合情推理

合情推理的作用

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：如果只有甲预测正确，此时根据题意得，成绩由高到低顺序为甲，乙，丙，满足

条件；

如果只有乙预测正确，因为甲错误，得顺序为丙，乙，甲，此时丙也预测正确，不满

足条件；

如果只有丙预测正确，因为甲错误，得顺序为丙，乙，甲，此时乙也预测正确，不满

足条件；

故答案为：甲，乙，丙.

14.

【答案】

508

【考点】

归纳推理

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：根据数表中数的排列规律，1,3,5,...都是连续奇数，

第一行，有1个数；第二行，有2个数，且第一个数是22-1；

第三行，有4个数，且第一个数是23-1；

第四行，有8个数，且第一个数是24一1；......；

第m行，有26一1个数，且第一个数是26一1.

210-1=1023,211-1=2047,2017在第10行.

令2017=1023+（n-1）X2,得n=498,

2017是第10行的第498个数，

m+n=10+498=508.

故答案为：508.

15.

【答案】

a<b

【考点】

反证法

【解析】

根据反证法定义进行求解.

【解答】

解：反证法肯定题设而否定结论，从而得出矛盾，

题设"a>b",那么假设为：aWb.

故答案为：aWb.

16.

【答案】

【考点】

类比推理

【解析】

通过已知得到求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），再运用该方

法，注意两边平方，得到方程，解出方程舍去负的即可.

【解答】

由已知代数式的求值方法：

先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），

可得要求的式子.

令12+V2+V24—=m（m>0）,

则两边平方得，2加+万口示三=m2,

即2+血=血2,解得，m=2（―1舍去）.

三、解答题（本题共计6小题，每题11分，共计66分）

17.

【答案】

设每层上的点数为时，

则的=5,

。2=9=54-4x1,

%=13=54-4X2,

{an}是以5为首项，4为公差的等差数列，

Sn=。1+O,2+Q3+•…+Qn+1=---------—+1=2九2+371+（1）

试卷第10页，总15页

【考点】

归纳推理

【解析】

设每层上的点数为a”，推导出｛an｝是以5为首项，4为公差的等差数列，再由%=%+

+%+…+1，能求出结果.

【解答】

设每层上的点数为

则的=5,

@2=9=5+4x1,

%=13=5+4x2,

「•｛an｝是以5为首项，4为公差的等差数列，

*Sn=%+0,2+。3+,•,+1=、+S[(---~+1=2九2+371+(1)

18.

【答案】

证明：要证％4-y+—<-+-+xy

yxyxyJf

只需证明—---<xy—%—y,

xyxyyJ

只需证明(1-J)(l-i)<(l-x)(l-y)=(x-l)(y-l),

只需证明1一工工工一1；1—-<y—1,

xy

即证％+：Z2,y+；N2,(xZLyN1)这是均值不等式，

所以xNl,y>1,%+y+工WL+工+xy得证.

xyxy

【考点】

综合法与分析法

不等式的证明

【解析】

直接利用分析法，通过移项变形，转化为基本不等式，即可证明不等式成立.

【解答】

证明：要证x+y+^W2+^+xy,

yxyxy/

只需证明工----<xy-x-yf

xyxyy/

只需证明(1-》(1-9W(1-x)(l-y)=(x-l)(y-1),

只需证明1一三<x-l；l--<y-l,

xy

即证式+乙22,y+->2,(%Z1,yN1)这是均值不等式，

3y

所以久之1,y>1,%+y+3工：+已+盯得证.

19.

【答案】

证明：因为Q>o,h>0,所以要证4(Q3+〃)>(□+b)3,

只要证4(。+Z?)(a2—ab+h2)>(a+6)3,

即要证4(小一池+b2)>(a+b)2,

只需证3(a-Z?)2>0,

2

而aHb,故3(Q-b)>0成立.

・•・4(a3+b3)>(a+6)3.

【考点】

不等式的证明

分析法的思考过程、特点及应用

【解析】

利用分析法，从结论入手，寻找结论成立的条件，即可得到证明.

【解答】

证明：因为Q>o,b>0,所以要证4(Q3+/)>(a+b)3,

只要证4(a+b)(a2-ab+b2)>(a+b)3,

即要证4(Q2—Q/J+人2)>(q+与2,

只需证3(a-bp>0,

而aHb,故3(Q—b)2>0成立.

4(a3+h3)>(a4-h)3.

20.

【答案】

(1)解：根据递推公式可求得:

猜想数列Sn｝的通项公式为a”=后手;

(2)下面用数学归纳法证明：

证明：①当n=l时，由题意知的=2,

显然满足的=后¥=2；

②假设当n=k时猜想成立,

则当n=/c+l时，ak+1=

_l2k+3_，2(-+1)一1+3

知当九=k+1时猜想也成立，

综合①②可知，对neN*猜想都成立，

即数列｛aj的通项公式为即=套

【考点】

数列递推式

数学归纳法

归纳推理

试卷第12页，总15页

【解析】

此题暂无解析

【解答】

(1)解：根据递推公式可求得:

Is[7

。2=在。3=65国

猜想数列｛5｝的通项公式为对»=后至；

(2)下面用数学归纳法证明：

证明：①当九=1时，由题意知的=2,

显然满足%=后上=2：

②假设当n=k时猜想成立，即以

-2比丁+3

则当n=k+l时，—+1=］竽=

2（k+l）-l+3

2（卜+1）-1

知当九=k+1时猜想也成立，

综合①②可知，对n€N*猜想都成立,

即数列｛〃｝的通项公式为