专题15导数与函数的单调性（知识梳理精讲）原卷版

专题15导数与函数的单调性知识点一求函数的单调性1、函数的单调性：在内可导函数，在任意子区间内都不恒等于0.在上为增函数．在上为减函数．2、利用导数求函数单调区间的步骤（1）确定函数的定义域（2）求出的导函数（3）令（或），求出的解集，即为的单调增（或减）区间（4）列出表格例1．（1）、（2024上·重庆·高二重庆南开中学校考期末）函数的单调递增区间为（

）A． B． C． D．（2）、（2023·广西·模拟预测）函数的单调递增区间为．

（3）、（2023下·四川眉山·高二校联考阶段练习）的单调递减区间是.1．（2024上·重庆长寿·高二统考期末）函数的单调增区间是（

）A． B．C． D．2．（2023上·北京西城·高三北师大实验中学校考阶段练习）函数在上的单调递减区间为.3．（2022下·北京·高二汇文中学校考期末）函数在上的单调递增区间是.例2．（2023上·江苏徐州·高二校考阶段练习）已知函数.(1)在上是增函数，求a的取值范围；(2)讨论函数的单调性．例3．（2024上·辽宁葫芦岛·高三统考期末）已知函数，其中.(1)当时，求的单调区间；(2)已知，若只有一个零点，求的取值范围.知识点二函数单调性的应用1、导数与单调区间的联系（1）函数在可导，那么在上单调递增.此结论可以这样理解：对于递增的函数，其图像有三种类型：，无论是哪种图形，其上面任意一点的切线斜率均大于零.等号成立的情况：一是单调区间分界点导数有可能为零，例如：的单调递增区间为，而，另一种是位于单调区间内但导数值等于零的点，典型的一个例子为在处的导数为0，但是位于单调区间内.（2）函数在可导，则在上单调递减（3）前面我们发现了函数的单调性可以决定其导数的符号，那么由的符号能否推出在的单调性呢？如果不是常值函数，那么便可由导数的符号对应推出函数的单调性.（这也是求函数单调区间的理论基础）例4．（1）、（2024·陕西榆林·统考一模）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．（2）、（2023上·江苏南京·高二期末）已知函数在上为增函数，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．（3）、（2023上·重庆·高三重庆八中校考阶段练习）知函数在上存在递增区间，则实数的取值范围为．（4）、（2023上·新疆克孜勒苏·高三统考期中）若不等式对恒成立，则实数的取值范围.1．（2024·陕西榆林·统考一模）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2023上·福建南平·高二福建省南平第一中学校考阶段练习）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．3．（2023上·内蒙古锡林郭勒盟·高三统考阶段练习）设函数在定义域上单调递减，则的取值范围是.4．（2023上·上海·高二校考阶段练习）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为．例5．（2024上·陕西榆林·高二统考期末）已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求函数的单调区间；(3)求方程的实数根个数.例6．（2023上·湖北·高二期末）已知函数(1)讨论的单调性；(2)当，时，证明：知识点三综合应用例7．（2023上·江苏徐州·高二校考阶段练习）已知函数.(1)在上是增函数，求a的取值范围；(2)讨论函数的单调性．例8．（2024·全国·模拟预测）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)设是的两个极值点，求证：．例9．（2023上·贵州·高三校联考阶段练习）已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)若对于任意的，且，恒有，求实数的取值范围．例10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．(1)当时，讨论的单调性；(2)设．当时，若对，，使，求实数的取值范围．例11．（2023上·北京朝阳·高二统考期末）已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求的单调区间.例12．（2023·全国·模拟预测）已知函数.(1)讨