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文档简介
第4章计算机控制系统的经典分析方法4.1计算机控制系统的稳定性分析4.2计算机控制系统稳态误差分析4.3计算机控制系统的响应特性分析4.4计算机控制系统的频率特性分析4.1计算机控制系统的稳定性分析离散系统稳定性的概念与连续系统一样稳定性是指系统扰动作用下偏离原平衡点,当扰动作用消失以后,系统恢复到原平衡状态的性能。若系统能恢复平衡状态,称系统是稳定的;若系统在扰动作用消失以后,不能恢复平衡状态,则称系统是不稳定的。系统的稳定性是系统的固有特性,它与扰动的形式无关,只取决于系统本身的结构参数。1.s平面和z平面之间的映射S平面的虚轴映射为Z平面的单位圆S平面的左半平面映射到Z平面的单位圆内S平面的右半平面映射到Z平面的单位圆外s平面和z平面的基本映射关系角频率
与Z平面相角的关系
当S
平面的点沿虚轴由-∞变化到+∞时,Z平面的相角也从-∞变化到+∞.
故:
每变化一个
s,Z
平面的相角就变化2,即转了一周。又因为:S平面可分为许多宽度为
s
的平行带,其中的带称为主带,其余均为旁带。
S
平面上的主带与旁带,将重复映射在整个Z
平面上。
s平面中的周期带与z平面中相对应的单位圆等
线(等衰减)映射
s平面上的等
垂线,映射到z平面上的轨迹,是以原点为圆心、以为半径的圆等
线(等频率)映射
在采样周期T确定的情况下,s平面上的等
水平线,映射到
z平面上的轨迹,是一簇从原点出发的射线,其相角,以实轴正方向为基准【解】
S平面实部相同而虚部相差
s
的整数倍的点均映射为Z平面同一点-110-10j
O[S]ORe[Z]Im0.533
若
s
=10,试求它们映射在Z平面上的点。例1:如图所示,在S平面有三个点,分别为:2、离散系统的稳定条件离散系统稳定的充要条件
离散系统对应的特征方程的解必须全部位于单位圆内,只要有一个根在单位圆外,系统就不稳定。若系统的根位于单位圆上,系统处于稳定边界,亦称为不稳定。(1)直接求特征方程的根来判别稳定性(2)修正的Routh(劳斯)稳定性判剧劳斯-古尔维茨判据为连续系统的稳定判据,可以通过一种变换(双线性变换)将离散系统特征方程对应的单位圆内的根映射位为左半平面的根,这样就可用Routh判据来分析离散系统的稳定性。3、计算机控制系统稳定性的判断(3)Jury稳定性判据判定方法:方法一:直接法例2:已知某计算机控制系统的特征方程为试判断该系统的稳定性。解:该系统特征方程的根为,均在单位圆内,故系统稳定
Matlab命令c=[1-1.20.070.3-0.08];r=roots(c)r=-0.50000.80000.50000.4000例:已知系统稳定劳斯表:前面两行称为表头,由特征方程的系数决定后面n-1行称为导出行,导出行各元素按下面的方式导出方法二:修正的Routh(劳斯)稳定性判据法复习劳斯稳定性判据已知某连续系统的特征方程如下:劳斯表:闭环系统稳定的充要条件是:劳斯表第一列各值为正数。如果劳斯表中第一列出现小于零的数,系统就不稳定,且第一列各系数符号的改变次数与特征方程的正实部根的数目相同劳斯判据设离散系统的特征多项式为引入双线性变换可以将转化为,然后就可借助劳斯判据判断稳定性。
例3:设采样系统的特征方程为根据劳斯判据
在w右半平面有两个根,故该采样系统有两个根在单位圆外,因此系统不稳定
例4:如图所示的系统,为保证系统闭环稳定,放大系数的倍数K的取值范围。该系统的广义对象为方法三:Jury稳定性判据
这是一个在数学上直接判断离散系统特征方程的根的模值是否小于1(即在单位圆内)的判据。 设离散系统的特征方程为
构造Jury表:a0>0朱利表:
从第3行开始,所有奇数行n用以下公式计算:第(n-2)行系数-第(n-1)行系数×上两行末列系数之商Jury判据
若特征方程式中a0>0,则只有当Jury表中所有奇数行第一列系数均大于零时,该方程的全部特征根才位于单位圆内。即
若其中有小于零的系数,则其个数等于特征根在Z平面单位圆外的个数。【注】如第一列出现零元素或有全零行,则需要作特殊处理例5:已知系统的特征方程为
【解】构造Jury表
试判断其稳定性。
其奇数行首列系数有两个小于零,故系统不稳定,且有2个根位于单位圆外。离散系统特征方程的解均位于单位圆内的必要条件是:判断系统稳定性可用如下步骤:判断必要条件是否成立,若不成立,系统不稳定;若必要条件成立,再构造朱利表进一步判断。【注】若必要条件满足,则Jury表中的最后一行系数必大于零例6:已知系统特征方程为试判断其稳定性。【解】检验必要条件系统满足必要条件构造Jury表
可见奇数行首列系数均大于零,故系统稳定
构造Jury表:
二阶离散系统的稳定判据
设系统特征方程为 系统稳定的必要条件为
为使系统稳定,须满足由此可推得
即
这等价于
由此可得二阶离散系统稳定充要条件的简便形式:例7:
已知采样系统如图所示: 其中,T=1秒,试求使系统稳定的k值范围。【解】开环Z传函闭环特征方程:
综合起来有
为使系统稳定,须满足二阶离散系统稳定的充要条件:4、采样周期与开环增益对稳定性的影响
1)采样周期对稳定性的影响
【解】系统开环Z传函为
例8:已知如图所示采样统,,试判断采样周期为1s或4s
时,闭环系统的稳定性。系统闭环特征方程为:将采样周期代入上式,得到特征方程为求得采样周期时系统的闭环极点为闭环极点的模为
显然,极点和均位于z平面的单位圆内,所以闭环系统是稳定的。将采样周期代入上式,得到特征方程为求得采样周期
时系统的闭环极点为
显然,极点位于z平面的单位圆内,所以闭环系统是不稳定的。结论:采样周期T是影响稳定性的重要参数,一般来说,T减小,稳定性增强2)开环增益对稳定性的影响该图所示系统对应的开环z传递函数为相应的特征方程为
按例7,选择采样周期T=1,此时K=2是稳定的,这是根据例7得到的结论。这里,保持采样周期不变,若将K=5代入特征方程式,则解得:
很明显,两个极点的模,两个根都位于z平面单位圆外,所以此时系统不稳定。结论:采样周期取一定值时,加大开环增益,可使闭环系统由稳定变为不稳定。
连续系统的误差信号定义
稳态误差为上述误差的终值,即稳态误差:4.2计算机控制系统稳态误差分析
1、计算机控制系统稳态误差的定义
采样系统的误差信号定义为采样时刻的误差,即
如图所示的单位负反馈系统闭环误差传函由此可得2、计算机控制系统稳态误差的计算根据终值定理,系统在采样时刻的稳态误差为终值定理法2、计算机控制系统稳态误差的计算根据稳态误差是否为零,可把系统分为:有差系统稳态误差不为零。无差系统
稳态误差为零。
稳态误差2)稳态误差与输入信号及系统结构的特性均有关。2、计算机控制系统稳态误差的计算注:1)只有当系统本身是稳定的前提下,讨论系统的稳态误差才有意义。3)
稳态误差为无限大并不等于系统不稳定,它只表明该系统不能跟踪输入信号。2、计算机控制系统稳态误差的计算
系统的分类
连续系统通常按系统开环传函所含积分环节的个数来分类,即按
s=0处的极点个数来分类,分别有
0型、I型、II型…系统。——0型——I型——II型系统分类:根据映射关系,S域的积分环节,即
s=0处的极点,映射至Z域为z=1处的极点,所以采样系统则按其开环脉冲传函在z=1处的极点个数来分类,分别有
0型、I型、II型…系统。例:
则稳态误差可表示为 其中为稳态位置误差系数(1)输入信号为单位阶跃函数 单位阶跃函数其Z变换为:显然,Kp
增大,稳态误差将减小。对“0”型系统,开环传函D(z)G(z)
在z=1
处无极点,即不含积分环节,Kp
为有限值,所以稳态误差为有限值;对“I”型系统,开环传函D(z)G(z)
在z=1
处有一个极点,即含有一个积分环节,Kp
为无穷大,所以稳态误差为0;对于高于“I”型的系统,开环传函D(z)G(z)
在z=1
处有多个极点,即含有多个积分环节,Kp
为无穷大,所以稳态误差为0;【结论】
若输入信号为阶跃函数,对单位反馈系统,采样时刻无稳态误差的条件是系统前向通道中至少含有一个积分环节,这样的系统也称为位置无差系统。 其中 为速度误差系数(2)输入信号为单位斜坡函数r(t)=t
其Z
变换为稳态误差
为使系统对斜坡输入的稳态误差为零,则前向通道中至少含有两个积分环节。对“I”型系统,在z=1处有1个极点,对“0”型系统,在z=1处无极点,对“II”型系统,在z=1处有2个极点,其中 为加速度误差系数(3)输入信号为单位抛物线函数
其Z
变换为稳态误差对“0”型系统,在z=1处无极点,对“I”型系统,在z=1处有1个极点,对“II”型系统,在z=1处有2个极点,离散系统稳态误差小结误差系数0型系统I型系统II型系统000稳态误差例9
计算机控制系统的如下图所示。设采样周期秒,试确定系统分别在单位阶跃、单位斜坡和单位抛物线函数输入信号作用下的稳态误差。解系统的开环z传递函数为
系统闭环特征方程为所以系统是稳定的。先求出静态误差系数:静态速度误差系数为静态加速度误差系数为单位阶跃输入信号作用下:
单位斜坡输入信号作用下:
单位抛物线输入信号作用下:
3、采样周期对稳态误差的影响 如图所示连续系统与其相应的采样系统,分析其稳态误差。0III000系统类型系统类型与误差系数的关系为连续部分传函的一般形式采样系统的开环传函对“0”型系统,v=0误差系数对“I”型系统,v=1误差系数类似地也可求得“II”型系统的误差系数 与连续系统的误差系数比较,二者完全一致,而与T
无关。
尽管采样系统的稳态误差系数的计算公式中包含了T,但实际计算中公式中的T
与系统开环脉冲传函的T
相对消,因此稳态误差与采样周期T
无关。【注】以上结论只对含零阶保持器的采样系统成立,其它情况不一定能完全对消T。【注】对采样开关后接有零阶保持器的线性离散系统而言,在典型输入信号作用下的稳态误差与T无关,只与系统的类型、输入信号的形式有关。4.3计算机控制系统的响应特性分析计算机控制系统的响应特性分析也包括动态响应和稳态响应的分析通常动态性能指标包括延迟时间td、上升时间tr、峰值时间tp、调节时间ts、最大超调量
%等,其定义均与连续系统一致。稳态响应是时间时系统的输出状态。一般认为输出进入稳态值附近±5%或±2%的范围内就可以表明动态过程已经结束。(1)延迟时间:响应曲线第一次达到其稳态值一半所需的时间。
(2)上升时间:响应曲线无振荡时定义为响应从其稳态值的10%上升到其稳态值的90%所需的时间。响应曲线有振荡时定义为响应从0第一次上升到其稳态值所需的时间。动态性能指标:(3)峰值时间:响应超过其稳态值到达第一个峰值所需的时间。(4)调节时间(过渡过程时间):响应到达并保持在稳态值的±5%或±2%误差范围内所需的最短时间。(5)最大超调量:输出最大值与输出稳态值的相对误差。
(6)振荡次数μ:
在调节时间内,输出量在稳态值附近上下波动的次数。离散控制系统的动态性能指标用系统在单位阶跃输入信号作用下的响应特性来描述。超调量上升时间峰值时间调节时间系统阶跃响应的采样
系统阶跃响应特性
尽管动态性能指标的定义与连续系统相同,但在Z域分析时,所得到的只是各采样时刻的值,是连续系统暂态特性的近似,而在采样间隔内,系统的状态并不能被表示出来,因此不能精确描述和表达采样系统的真实特性。例10已知计算机控制系统如下图所示,设采样周期T=1s,试分析系统的单位阶跃响应特性。解
广义z传递函数为闭环z传递函数为系统闭环极点为,模为,因此系统是稳定的系统的输出的z变换为系统的输出的终值为
系统在单位阶跃输入作用下的过渡过程具有衰减振荡的形式,系统是稳定的。其超调量为40%,且峰值出现在第三、四个采样周期之间,约经过12个采样周期结束过渡过程,系统稳态值为1。num=[0.3680.264];den=[1-10.632];dstep(num,den,16)grid离散系统频率特性定义 连续LTI系统的频域特性——在正弦信号作用下,系统的稳态输出是同频率的正弦信号,但其幅度和相位取决于系统特性。此定义同样适用于离散LTI系统,只是对应的输入输出信号均为离散值。4.4计算机控制系统的频率特性分析
即离散系统频率特性相当于考察脉冲传函当z
沿单位圆变化时的特性。线性计算机控制系统的频率特性可按下式计算1计算机控制系统频率特性绘制方法(1)数值计算法例12已知连续传递函数,相应的z传递函数为,设采样周期为T=0.5s,试绘制其频率特性。,
连续系统:离散系统:Matlab符号语言实现Gs=sym(′1/(s+1)′);%传递函数F(s)T=0.5;[numGs,denGs]=numden(Gs);%提取分子分母%将分母转化为一般多项式pnumGs=sym2poly(numGs);pdenGs=sym2poly(denGs);%Z变换[pnumGz,pdenGz]=c2dm(pnumGs,pdenGs,T,′zoh′);w=0:0.1:19;[mag,pha]=bode(pnumGs,pdenGs,w);[dmag,dpha]=dbode(pnumGz,pdenGz,T,w);fori=1:1:190ifdpha(i)<=-180dpha(i)=dpha(i)+360;endendfigure(1);plot(w,mag,′blue′);holdon;plot(w,dmag,′red′);Gridon;axis([0,19,0,1.2]);figure(2);plot(w,pha,′blue′);holdon;plot(w,dpha,′red′);Gridon;axis([0,19,-200,200]);将脉冲传函写成零极点形式设m=1,n=2,即(2)几何作图法相应的幅频特性为
相频特性为
可见,幅频特性是由零点指向ejT
点的向量幅值来确定,相频特性由这些向量的相角确定。当
从0增到
s时,向量ejT将沿单位圆转一周。 所谓几何作图法就是,当
移动时,根据图中矢量幅值与相角的变化估算频率特性。2计算机控制系统频率特性分析方法(1)极坐标法将计算机控制系统频率特性写成实部加虚部的形式:可在平面直角坐标上绘制频率特性曲线,然后应用奈氏稳定判据,进行计算机控制系统稳定性的分析。例13设单位反馈系统开环传函为采样周期T=0.1,试绘制系统的奈氏图,并分析系统的稳定性。解绘制奈氏图
由图可知,当k=0.198,曲线不包围(-1,j0)点,故闭环是稳定的,并可由图求得增益、相角裕度和截止频率;当k=0.758,曲线穿过(-1,j0)点,故闭环处于临界稳定;当k=1,曲线包围了(-1,j0)点,故闭环不稳定。系统稳定时的开环增益范围为(2)对数频率特性法已知计算机控制系统的开环脉冲传递函数,对其作双线性变换,即得到开环w传
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