第3章规则波导

从本门课程一开始，我们就强调从最宏观的角度：微波工程有两种方法——场论的方法和网络的方法。微波传输线是用来传输微波信号和微波能量的传输线。微波传输线的种类很多，本章主要用场方法讨论矩形波导、圆波导、同轴线等。一、交变电磁场基本关系式第3章规则波导在无源区，时谐场二、边界条件

1.两种媒质界面的边界条件2.理想导体表面的边界条件三、交变电磁场的能量关系对于一封闭曲面S，电磁场的能量关系满足复功率定理，即证：时间平均值导波系统中的电磁波按纵向场分量的有无，可分为以下三种波型(或模)：四、导行系统中波型

(1)横磁波(TM波)，又称电波(E波)：

(2)横电波(TE波)，又称磁波(H波)：

(3)横电磁波(TEM波)：因为无源，电与磁几乎对称。1.波导条件：假定截面不随z而变化；2.理想均匀条件：波导内ε，μ均匀，波导内壁σ无限大；

3.无源条件：波导内ρ，；4.无限条件：波导无限长。

重新写出前两个Maxwell方程，可得

可以用纵向电场与磁场表示横向场3－1矩形波导矩形波导是横截面为矩形的空心金属管。图中a和b分别为矩形波导的宽壁和窄壁尺寸。由于矩形波导不仅具有结构简单、机械强度大的优点，而且由于它是封闭结构，可以避免外界干扰和辐射损耗；因为它无内导体，所以导体损耗低，而功率容量大。在目前大中功率的微波系统中常采用矩形波导作为传输线和构成微波元器件。写出无源区域的Maxwell方程组一、矩形波导的导模1、矩形波导的一般解上式称Helmholtz方程波导的一般解采用纵向分量法，其流图如下所示，横向场用纵向场分量表示纵向分量方程分离变量，例如方程1的解为有趣的是：波导解的z函数与传输线解有惊人的相似，又是入射波和反射波的组合。我们只研究一个波(不论是TE或TM波)，在形式上只写入射波，有

算子2.横向分量用纵向分量表示

损耗正切设通解二、矩形波导的TE模本征解本征值：边界条件：式中m和n分别代表场强沿x轴和y轴方向分布的半波数。一组m,n值代表一种横电波波型。由于m=0及n=0时所有场分量才为零，因此矩形波导中存在等波型。若，则模是最低次波型，其余波型为高次波型。本征解本征值：三、矩形波导的TM模式中m和n分别代表场强沿x轴和y轴方向分布的半波数。一组m,n值代表一种横磁波波型，记作。由于m=0或n=0时所有场分量均为零，因此矩形波导不存在等波型，所以是最简单的波型，其余波型为高次波型。四、导模的场结构1、模和模的场结构TE10模的场分量为TE10模场强与y无关，场分量沿y轴均匀分布。各场分量沿x轴的变化规律为矩形波导TE10模场分量的分布规律(a)场分量沿x轴的变化规律；(b)场分量沿z轴的变化规律；(c)矩形波导横截面上的场分布(d)矩形波导纵剖面上的场分布.某一时刻TE10模完整的场分布如图所示，随时间的推移，场分布图以相速沿传输方向移动。矩形波导TE10模的场分布图五、矩形波导中管壁电流根据导体中电磁波传播，在微波段，趋肤效应使感应电流在很薄的波导内壁表面流动——称为壁电流以TE10模为例矩形波导TE10模壁电流分布面电流与磁力线、表面法向正交TE波和TM波的传播常数六、矩形波导中电磁波型的传输特性1、导模的传播条件对于传播模，应为实数。导波系统传输TM波和TE波的条件可记为：2、导模的截止截止时，截止波长截止波长不仅与波导尺寸a和b有关，而且与决定波型的m和n有关，截止频率还与介质特性有关。TE波和TM波的截止频率为截止条件可记为：因此，波导是一只高通滤波器，低频信号无法通过当波导尺寸a和b给定时，将不同m和n值代入，即可得到不同波型的截止波长。其分布如图BJ-100型波导不同波型截止波长的分布图从图中可以看出，TE10模的截止波长最长，它右边的阴影区为截止区。3、模式兼并现象不同导模的截止波长相同现象相同的波型指数m和n的TEmn和TMmn的截止波长相同，矩形波导的导模具有双重兼并4、主模模——基模（1）通常矩形波导工作在TE10单模传输情况，因为TE10模容易实现单模传输。（2）当工作频率一定时传输TE10模的波导尺寸最小（3）若波导尺寸一定，则实现单模传输的频带最宽。为了实现TE10单模传输，则要求电磁波的工作波长必须满足下列条件即当工作波长给定时，若要实现TE10单模传输，则波导尺寸必须满足

5、波的传播速度和色散

1）

相速和相波长相速是指导波系统中传输电磁波的等相位面沿轴向移动的速度。等相位面在一个周期T内移动的距离定义为相波长对于TE波和TM波，相速为相速（介质中的光速），相速并不是能量传播速度2）群速这些多种频率成分构成一个“波群”，又称为波的包络，其传播速度称为群速。群速的关系式群速、相速和光速三者的关系为：但，对于TEM波群速的定义式为3）色散

TE波和TM波的相速和群速都随波长而变化，即是频率的函数，这种现象称为“色散”。因此，TE波和TM波统称为“色散波”；而TEM波的相速和群速相同，且与频率无关，没有色散现象，故称为“非色散波”。

波导色散现象与基于媒质特性产生的色散现象不同。由于我们已假定波导中媒质是线性的，即不随频率而变化，所以波导中电磁波产生色散的原因是由波导系统本身的特性(即边界条件)所引起的。主模的波导波长

6、波导波长

7、波阻抗波阻抗定义为相互正交的横向电场与横向磁场之比对于TEM波，对于TE波和TM波，传输状态8、矩形波导中传输功率和功率容量1）传输功率在行波状态下，传输的平均功率截止状态xzy0abds当传输TE10模时，波导中填充空气介质时，2）功率容量波导中最大承受的极限功率称为波导的功率容量。行波状态下波导传输TE10模的功率容量在空气中的击穿场强实际传输线上总有反射波存在。在行驻波状态下，矩形波导传输TE10模的功率容量应修正为为了留有余地，波导实际允许传输的功率一般取行波状态下功率容量理论值的25%～30%。

9、传输功率及损耗导波系统所传输的电磁波平均功率

实际中，由于导波系统的电导率是有限的，且所填充的介质也是非理想的，所以实际的导波系统都存在着导体损耗和介质损耗。因而电磁波在传输过程中，其振幅会逐渐减小，也就是说存在功率损耗，这种损耗应根据具体情况来计算。1）介质损耗金属波导中填充均匀介质的损耗引起的导波衰减常数TE导波和TM导波2）导体损耗TE10模矩形波导的有限电导率金属壁单位长度功率损耗TE10

模矩形波导的导体衰减常数七、矩形波导的截面尺寸选择1、传播主模TE10模的波导截面尺寸条件综合考虑抑制高次模，损耗小和传输功率大等条件，一般选择波导尺寸确定后，不出现高阶模，工作波长范围以矩形波导为例，尽管在z方向它们只可能是入射波加反射波，但是由于横向边界条件，它们由TEmn和TMmn波组成并且它们只能由TEmn和TMmn波组成(后者，我们称之为完备性)，矩形波导中这些波的完备集合——即简正波。任何情况的可能解，只能在简正波中去找，具体场合所不同的仅仅是比例和组合系数，事实上，这样就把求复杂场函数的问题变换成求各个模式的系数。八、关于简正波的讨论

矩形波导的求解是典型的微分方程法，通解表明：在z方向它有广义传输线功能，即是入射波和反射波的迭加；在xy方向由于边界条件限制形成很多分立的TEmn波(Ez=0)和TMmn波(Hz=0)。在物理上称之为离散谱。有限边界构成离散谱。

m—x方向变化的半周期数；

n—y方向变化的半周期数。矩形波导中TE波和TM波的全部集体构成简正波。

1.完备性矩形波导中不论放置什么障碍物和边界条件，它们里边存在的是TEmn和TMmn模式，而且，它们也只能存在TEmn和TMmn模式，具体情况所不同的仅仅是各种模式的比例与组合。2.正交性简正模中各个模式是相互正交的，也就是说，它们之间没有功率和能量交换，即各模式相互独立，在Fourier分析中表明保证了每一模的独立性。

3.传输模和雕落模由于频率的选择，每一种模都有可能成为传输模或雕落模。截止波数传输模凋落模主模TE10模小结TE10波表达式，是以为领矢矢量的。然而，在实用上也常有用作领矢矢量最终得到

(2)Pbr与有关设00.50.91.01f(x)x很明显，x愈接近1则功率容量愈低，且x<0.5会出现其它模式。功率容量在电磁理论中已经讲过波导管壁的传导电流分布是由管内磁场的切向分量所决定。HtJsn在波导中凡是切断电流的都要引起辐射和损耗，所以，波导与法兰的连接一定要密切配合。一般认为波导空间(AirSpace)是无耗的，所谓衰减是指电流的壁损耗。假定P0是理想导体波导的传输功率，则单位长度内的功率损耗在波导内表面壁dσ=dldz上衰减功率xzy0dzdlJsm——表面电流密度；Rs——表面电阻而输入功率0fαb=0.1ab=0.5a［例1］BJ-100波导，a×b=22.86×10.16mm2，求单模传输的波长范围和频率范围。［解］已经知道单模传输条件是λcmn＜λ＜2a十分明显，第二模式是λc20=22.86mm。因此，单模传输3－2圆形波导

圆波导是横截面为圆形的空心金属管，如图所示，其尺寸半径为R。1.圆波导的提出来自实践的需要。例如，雷达的旋转搜索。如果没有旋转关节，那只好发射机跟着转。象这类应用中，圆波导成了必须要的器件。以后要用到的极化衰减器，多模或波纹喇叭，都会应用到圆波导。可以这样说,几何对称性给圆波导带来广泛的用途和价值2.从力学和应力平衡角度，机加工圆波导更为有利，对于误差和方便性等方面均略胜矩形波导一筹。

3.根据微波传输线的研究发现：功率容量和衰减是十分重要的两个指标。这个问题从广义上看

引出一个品质因数F很明显，在相同周长的条件下，圆面积最大圆波导H01波衰减矩形波导TE10波衰减0f0fα纵向电流横向电流横向电流dminα当我们深入研究波导衰减，发现频率升高时衰减在矩形波导中上升很快。仔细分析表明，衰减由两部分组成：一部分称纵向电流衰减，另一部分是横向电流衰减。0fαb=0.1ab=0.5a当频率升高时，横向电尺寸加大，使横向电流衰减反而减少。这样所构成的矛盾因素使衰减有了极值，同时形成频率升高时衰减增加。4.矩形波导中存在的一个矛盾圆波导H01波衰减矩形波导TE10波衰减0f0fα纵向电流横向电流横向电流dminα以后在圆波导中将会发现，有的波型(圆波导中H01波型)无纵向电流，因此，若采用这种波型会使高频时衰减减小。圆波导具有轴对称性，故宜采用圆柱坐标来分析。由于圆波导具有损耗较小和双极化的特性，所以常用作天线馈线和微波谐振腔，也可作较远距离的传输线。一、圆形波导的导模1.圆形波导一般解在圆柱坐标纵向场分量满足赫姆霍兹方程以TE波作为例子，这时Ez=0

有限条件：有限性

周期性：

理想导体条件：切向分量为零其解分别是其中c1，c2，c3，c4为常数。m=0，1，2，…为整数。边界条件：本征解2.纵向分量法利用纵向分量表示横向分量边界条件TE导波TM导波令为贝赛尔函数导数的根，本征值二、TE波场分量表达式圆波导中TE波截止波长值波型H11H21H01

1.8413.0543.832

3.41a2.06a1.64a

TE基本解为圆波导TE波的波阻抗为波型指数n表示场沿半径分布的最大值个数传播常数截止波长截止频率完全类似，用边界条件确定kc

在r=a处，=0，Ez

=0也即

设第一类Bessel函数m阶第n个根为umn，则即可得到

三、TM波场分量表达式TM波场分量表达式圆波导TM波截止波数kc

波型E01E11E212.4053.8325.1352.62a1.64a1.22a圆波导TM波的波阻抗为

1.圆波导中TE波和TM波有无限多个

n=0表示第0个根，也即，也即TEm0，TMm0波不存在。但是它却可以存在TE0n，TEmn，TM0n和TMmn波，其中m=0表示在圆周方向不变化。2.TE波截止波长取决于m阶Bessel函数导数第n个根

TM波截止波长取决于m阶Bessel函数第n个根四、圆形波导的兼并3.圆波导中的两种简并

1)极化简并——即和

两种，相互旋转90°

圆波导波型的极化简并，使传输造成不稳定，这是圆波导应用受限制的主要原因。0a2a3a4alcHE0111H21E01H11Cut-offRegion圆波导的截止与传播区域E1n和H0n截止波长λc相同。这是因为Bessel函数有递推公式取n=0，有和矩形波导不同，由于TE，TM截止波长的不同物理意义，TEmn和TMmn不发生简并4.波型指数m，n的含义

m代表沿圆周φ分布的整驻波数n代表沿半径r分布场的最大值个数;因为是的第n个根，是的第n个根，很显见，这Hon

和E1n两类波型将发生简并。五、圆形波导中三种主要波型圆波导中三种主要波型，即H11模，H01模和E01模。

1.传输主模——H11模在圆波导中，H11模截止波长最长，λc=3.412a，是最低型波也即传输主模。018090270oooo圆波导H11模(TE11模)H11模中的m=1，n=1，=1.841018090270oooom=1n=1090180270360ooooojErEj0arJ`1rEraE==¯==00

jjmaxjjjj=°==°®=°==°®-00901800270

E

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Errrrmaxmax可以注意到圆波导中H11波与矩形波导TE10波极相似，因此微波工程中方圆过渡均采用H11模。

但是，H11模有两种极化方向。因此一般很少用于微波传输线，而只用于微波元件。方圆过渡(二)TE01模(损耗最小的——H01模)

TE01模常作为高Q谐振腔和远距离的毫米波传输线的工作模式。由于它是圆电模，也可作为连接元件和天线馈线系统的工作模式。由于它不是主模，用该模式作为工作模式时，必须设法抑制其它模式。圆波导H01模图(a)表示横截面上的电磁场分布；图(b)表示纵剖面上的电磁场分布；图(c)为壁电流的分布场方程截止波长TE01模（H01）变化趋势一样m=0

圆对称在方向不变n=1EHrJxxarraarj,()......沿方向有一最大值在有极大值116413832164116413832048===»E,Hjr0r0.48aa

Hz0r0.48a可见电流只有—φ方向分量，也即H01模壁电流只有横向分量，衰减α

随f上升而下降为了揭示H01的小衰减特点，让我们考察其壁电流作为比较所以，H01波可以做高Q谐振腔和毫米波远距离传输纵向与横向电流均引起衰减(三)TM01模(轴对称波型——E01模)虽然H01模E01模都是轴对称模，但E01模是截止波长最长的模式。TM01模适用于微波天线馈线旋转铰链的工作模式。由于它具有Ez分量，便于和电子交换能量，可作电子直线加速器的工作模式。但由于它的管壁电流具有纵向电流，故必须采用抗流结构的连接方式。TM01模的场分布如图所示。其中图(a)表示横截面上的电磁场分布；图(b)表示纵剖面上的电磁场分布；图(c)为壁电流的分布。其场方程为E01模的m和nm=0轴对称型沿方向场分量不变n=10jE,Hr

jEz00rr0.765aaJ`(x)0J(x)

0R旋转关节(RatationJunction)由于E01波的特点，常作雷达的旋转关节，见图所示0faE01H11H01为TE11波的截止频率TE11波衰减极值点：TM01波衰减极值点：0faE01H11H01圆波导波型设计H11模E01模H01模lllllllCECHRaaa0111341262262a34113＜＜＜＜＜＜一般