第3章-立体投影

第三章立体的投影

常见的基本几何体平面基本体曲面基本体3.1平面立体的投影一平面立体

平面立体：各表面均为平面的几何体，如棱柱、棱锥等。一、棱柱1、棱柱的组成由两个底面和几个侧棱面组成。侧棱面与侧棱面的交线叫侧棱线，侧棱线相互平行。a'd'e'b'c'abdcee"c"d"a"b"ADCEBXZY正六棱柱的投影平面立体侧表面的交线称为棱线。若平面立体所有棱线互相平行，称为棱柱。若平面立体所有棱线交于一点，称为棱锥。平面立体：所有表面均是平面的几何体,

如棱柱、棱锥等。棱柱棱锥

——是平面立体各表面投影的集合,

——是由直线段组成的封闭图形。平面立体的投影1、三棱柱的视图三棱柱由两个底面和三个侧棱面组成。

(1)度量关系：

长对正，

高平齐，

宽相等。

(2)位置关系：

俯视图—前后、左右；

主视图—上下、左右；

左视图—上下、前后。左右左右上下上下后前后前三视图之间的投影规律：

三棱柱的两底面为水平面，在俯视图中反映实形。其余三个侧棱面都是铅垂面，俯视图中积聚，与三角形的边重合。三棱柱的视图分析

由于物体三视图的形状和大小，与物体对投影面距离的大小无关，所以，在画图时为了合理布置图幅，可以去掉投影轴。

但三视图之间的投影关系，应严格遵守。物体放置位置不一样得到的投影图也不一样在底面平行的投影面上的投影反映底面实形；另两个投影面上的投影分别为一个或多个矩形

点的可见性规定：

若点所在平面的投影可见，点的投影可见；若平面的投影积聚成直线，点的投影也可见。2、三棱柱表面的点

由于三棱柱的表面都是平面，所以在三棱柱的表面上取点与在平面上取点的方法相同。mm

k

k

k

m

3、平面立体投影可见性的判别规律

1)在平面立体的每一投影中，其外形轮廓线都是可见的。

2)在平面立体的每一投影中，外形轮廓线内的直线的可见性，相交时可利用交叉两直线的重影点来判别。

3)在平面立体的每一投影中，外形轮廓线内，若多条棱线交于一点，且交点可见，则这些棱线均可见，否则均不可见。

4)在平面立体的每一投影中，外形轮廓线内，两可见表面相交，其交线为可见。两不可见表面的交线为不可见。a'd'e'b'c'abdcee"c"d"a"b"ADCEBXZY正六棱柱的投影棱柱有六个侧棱面，前后棱面为正平面，它们的正面投影反映实形，水平投影及侧面投影积聚为一条直线。a'd'e'b'c'abdcee"c"d"a"b"ADCEBXZY正六棱柱的投影棱柱的其它四个侧棱面均为铅垂面，其水平投影均积聚为直线。正面投影和侧面投影均为类似形。a'd'e'b'c'abdcee"c"d"a"b"ADCEBXZY正六棱柱的投影图a(b)d(c)ea’b’d’c’e’a”b”d”c”XZYHYW2、棱柱的三视图作投影图时，先画出正六棱柱的水平投影正六边形，再根据其它投影规律画出其它的两个投影。如图3-2所示。棱柱具有这样的投影特点：一个投影反映底面实形，而其余两投影则为矩形或复合矩形。a

aa

(b')b

b"C

C'

C"注意：从现在开始，投影图中将不画出投影轴。取点方法：首先判断点在哪个棱面内。取点方法同在平面表面取点，但要注意可见性的判别。3、棱柱表面上取点1、棱锥的组成由一个底面和几个侧棱面组成。侧棱线交于有限远的一点——锥顶。SABCWVa's'b's"abcb"a"c"sXYZ正三棱锥的投影左图所示为一正三棱锥，锥顶为S，其底面为△ABC，是水平面，水平投影△abc反映实形。棱面△SAB、△SBC是一般位置平面，它们的各个投影均为类似形。棱面△SAC为侧垂面，其侧面投影s”a”c”

为一直线。2、棱锥的三视图投影作三视图时，先画出底面△ABC的各个投影，再作出锥顶S的各个投影，然后连接各棱线，即得正三棱锥的三面投影。s’sabca’c’b’a”(b”)c”s”正三棱锥的三面投影图XYHZYWOSABCWVa's'b's"abcb"a"c"sXYZ方法一：连接s’m’并延长，与a’c’交于2’，2’m2在投影ac上求出Ⅱ点的水平投影2。连接s2，即求出直线SⅡ的水平投影。根据在直线上的点的投影规律，求出M点的水平投影m。再根据知二求三的方法，求出m”。m”a’sbc正三棱锥的三面投影图s’ac’b’a”(b”)c”s”m’XYHZYW3、三棱锥表面上取点M方法二：1’1m过m’作m’1’∥a’c’，交s’a’于1’。求出Ⅰ点的水平投影1。过1作1m∥ac，再根据点在直线上的几何条件，求出m。再根据知二求三的方法，求出m”。（具体步骤略)sc’b’正三棱锥的三面投影图s’abca’a”(b”)c”s”m’棱台棱台棱台的H面投影中，外轮廓线大的矩形是棱台下底面的投影，不可见，反映实形；小的矩形是棱台上底面的投影，可见也反映实形；四个梯形分别是棱台四个棱面的投影，可见但不反映实形小结1.平面立体投影的作图可归结为绘制平面（立体表面）和直线（棱）投影的作图。——如果点或直线在特殊位置平面内，则作图时，可充分利用平面投影有积聚性的特点，由一个投影求出其另外两个投影；

2.在立体表面上取点、取线的方法与在平面上取点、取线的方法相同。——如果点或直线在一般位置平面内，则需过已知点的一个投影作辅助线，求出其它投影。常用的回转曲面立体,简称回转体。

——由直线生成的回转曲面称为直线回转面，如：圆柱面、圆锥面等。

回转曲面是由母线(直线或曲线)绕定轴线作回转运动生成的。

——曲曲线生成的回转曲面称为曲线回转面，如：圆球面、圆环面等。母线：形成回转面的直线或曲线；素线：回转面上的任一位置的母线。3.2曲面立体的投影1、圆柱的形成圆柱表面由圆柱面和顶面、底面所组成。圆柱面是由一直母线绕与之平行的轴线回转而成。一、圆柱XZY圆柱的三面投影图HVWa’a’b’c’d’c’d’acdbAACDBCd”c”d”c”a”b”a”b”2、圆柱的投影如图所示，圆柱的轴线垂直于H面，其上下底圆为水平面，水平投影反映实形，其正面和侧面投影重影为一直线。而圆柱面则用曲面投影的转向轮廓线表示。

一个投影为圆，其余二投影均为矩形。规定：回转体对某投影面的转向轮廓线，只能在该投影面上画出，而在其它投影面上则不再画出。XZYHWa’a’b’c’d’c’d’acdbAACDBCd”c”d”c”a”b”a”b”Vaba’a’b’b’a”(b”)a”(b”)c’(d’)c’(d’)cdd’d’c’c’圆柱的投影3、圆柱投影图的绘制（1）先绘出圆柱的对称线、回转轴线。（2）绘出圆柱的顶面和底面。（3）画出正面转向轮廓线和侧面转向轮廓线。正面转向轮廓线侧面转向轮廓线在圆柱表面上取点已知圆柱表面上的点A、B、M及N正面投影a’、b’、m′和n′，求它们的其余两投影。4、圆柱表面上取点

a’

a”

a

b’

(b”)

b1、圆锥的形成圆锥表面由圆锥面和底圆组成。它是一母线绕与它相交的轴线回转而成。XZY图3-11圆锥的三面投影图HVWacdbACBSa’b’c’d’s’s”c”d”a”(b”)2、圆锥的投影如图所示，圆锥轴线垂直H面，底面为水平面，它的水平投影反映实形，正面和侧面投影重影为一直线。对于圆锥面，要分别画出正面和侧面投影的转向轮廓线。正面转向轮廓线侧面转向轮廓线圆锥投影图的绘制s’a’b’sabcdc”d”c’(d’)s”a’(b’)（1）先绘出圆锥的对称线、回转轴线。（2）在水平投影面上绘出圆锥底圆，正面投影和侧面投影积聚为直线。

(3)作出锥顶的正面投影和侧面投影并画出正面转向轮廓线和侧面转向轮廓线。圆锥的投影3、圆锥表面上取点在圆锥表面上求点，有两种方法：即素线法和纬圆法。方法一：素线法过M点及锥顶S作一条素线SⅠ,先求出素线SⅠ的投影,再求出素线上的M点。XZY圆锥的三面投影图HVWacdbACBSa’b’c’d’s’s”c”d”a”(b”)mm’m”M已知圆锥表面的点M的正面投影m’,求出M点的其它投影。过m’s’作圆锥表面上的素线，延长交底圆为1’。1’11”mm”a’(b’)图3-14圆锥的投影及表面上的点ss”abcdc”d”s’a’b’c’(d’)m’求出素线的水平投影s1及侧面投影s”1”。求出M点的水平投影和侧面投影。XZY圆锥的三面投影图HVWacdba’b’c’d’s’s”c”d”a”(b”)ACBS方法二：纬圆法过M点作一平行于底面的水平辅助圆，该圆的正面投影为过m’且平行于a’b’的直线2’3’，它们的水平投影为一直径等于2’3’的圆，m在圆周上，由此求出m及m”。mMm’m”mmmnn()n()已知圆锥表面上点M及N的正面投影m′和n′，求它们的其余两投影。在圆锥表面上取点

a’

a

(a”)球的表面是球面。球面是一条圆母线绕过圆心且在同一平面上的轴线回转而形成的。1、圆球的形成球的三个投影均为圆，其直径与球直径相等，但三个投影面上的圆是不同的转向轮廓线。2、球的投影(1)圆球的投影

3.圆球主子午线赤道圆侧子午线(2)圆球表面上的点和线如图所示,已知球面上点A的正面投影a`,求它的水平及侧面投影a`和a``.R1a`a``a3.4组合体投影图的作法

由基本几何体组成的形体称为组合体。一、基本形体的分类

基本形体：平面体:表面由平面围成的形体曲面体:表面由曲面或曲面与平面的组合体二、组合体的分类

组合体（根据构成方式的不同）叠加型组合体：是由若干个基本几何体叠加而成切割型组合体：是由基本几何体切割去某些形体而成混合型组合体：是既有叠加又有切割或相交的组合体叠加型组合体：是由若干个基本几何体叠加而成正六棱柱正圆柱正圆柱正圆锥组合体的组合形式之一叠加式组合体的组合形式之二切割式重庆大学B区制图教研室袁晓制作组合体的组合形式之三综合式组合体的三面正投影图

基本几何体在H、V及W投影面上的投影统称为三面投影。三面投影

在建筑工程制图中，通常把建筑形体或组合体在投影面上的投影称为视图；既把建筑形体或组合体的三面投影图称为三面视图（简称三视图）。三视图

形体的水平投影称为平面图

形体的正面投影称为正立面图

形体的侧面投影称为左侧立面图

H面投影又称为水平投影

V面投影又称为正面投影

W面投影又称为侧面投影三面投影

把一个复杂形体分解成若干基本形体或简单形体的方法，称为形体分析法。它是画图、读图和标注尺寸的基本方法。三、组合体视图的画法1、形体分析2、确定安放位置、投影方向和视图数量3、画投影图建筑形体的画法1．形体分析

如下图a所示为一室外台阶，把它可以看成是由边墙、台阶、边墙三大部分组成。四棱柱四棱柱六块梯形块楔形块再如下图所示是一肋式杯形基础，可以把它看成由底板、中间挖去一楔形块的四棱柱和六块梯形肋板组成。

画组合体的投影图时，必须正确表示各基本形体之间的表面连接。形体之间的表面连接可归纳为以下四种情况：（1）两形体表面相交时，两表面投影之间应画出交线的投影；（2）两形体的表面共面时，两表面投影之间不应画线；（3）两形体的表面相切时，由于光滑过渡，两表面投影之间不应画线；（4）两形体的表面不共面时，两表面投影之间应该有线分开。共面不画线不共面要画线共面共面不共面不共面

⒉两形体表面相切时，相切处无线相切不画线不相切要画线有线有线⒊两形体相交时，在相交处应画出交线。2．选择投射方向

投影图选择包括确定物体的安放位置、选择正面投影及确定投影图数量等。（1）确定安放位置

一要使形体处于稳定状态，二要考虑形体的工作状况。为了作图方便，应尽量使形体的表面平行或垂直于投影面。1）应使正面投影尽量反映出物体各组成部分的形状特征及其相对位置；（2）选择正面投影

正立面图是表达形体的一组视图中最主要的视图，所以在视图分析的过程中应重点考虑。其选择的原则为：2）应使视图上的虚线尽可能少一些；3）应合理利用图纸的幅面；正面投影方向建筑立面图台阶立面图①.用一个投影表达的物体②.用二个投影表达的物体③.用三个投影表达的物体④.用多面投影表达的物体（3）确定投影图数量：用较少的投影图把物体的形状完整、清楚、准确的表达出来。①.用一个投影表达的物体②.用二个投影表达的物体门轴铁脚门轴铁脚③.用三个投影表达的物体踏面踢面台阶④.用多面投影表达的物体右侧立面图背立面图3．画图步骤（1）选取画图比例、确定图幅（2）布图、画基准线

正面投影方向（3）绘制视图的底稿根据物体投影规律，逐个画出各基本形体的三视图。

画图的顺序是：一般先画实形体，后画虚形体（挖去的形体）；先画大形体后画小形体；先画整体形状，后画细节形状。（4）检查、描深：检查无误后，可按规定的线型进行加深。组合体投影图画法1.画基准线、底板2.画中间棱柱3.画肋板4.画楔形杯口5.整理加深图线完成柱基础投影图例:

画图示组合体的投影图。1）画出各视图的主要中心线或定位线，再画出底板和立板。2）画底板上孔，画立板圆孔例：画支架组合体的三视图3)画肋板4)检查，擦去多余图线，描深,完成全图同坡屋面投影练习题（a）确定视图范围（b）绘右侧栏板

（c）绘台阶（d）绘左后栏板长方体1461061214814108六棱柱四棱台3.5基本形体、组合体的尺寸标注1.任何基本几何体都有长、宽、高三个方向上的大小，在视图上，通常要把反映这三个方向的大小尺寸都标注出来。

一、基本几何体的尺寸标注

φ1416φ8φ1416sφ44圆柱圆台圆球3.球的尺寸标注要在直径数字前加注“S

”。

4.尺寸一般标注在反映实形的投影上，并尽可能集中注写在一两个投影的下方或右方，必要时才注写在上方或左方。

5.一个尺寸只需标注一次，尽量避免重复。

6.正多边形的大小，可标注其外接圆的直径尺寸。

2.对于回转体，可在其非圆视图上注出直径方向尺寸“

”。

不必再标注三、组合体的尺寸标注组合体尺寸标注的基本要求是完整、清晰、合理。

1、尺寸的分类

标注组合体的尺寸时，应先对物体进行形体分析，然后顺序标注出其定形尺寸、定位尺寸和总尺寸。

定形尺寸——确定物体各组成部分的形状、大小的尺寸。

定位尺寸——确定物体各组成部分之间的相对位置的尺寸。

总尺寸——确定物体的总长、总宽和总高的尺寸。

定位尺寸总体尺寸定形尺寸尺寸的种类2、标注尺寸的步骤先定型尺寸后定位尺寸再总尺寸定形尺寸标注尺寸的步骤定位尺寸标注尺寸的步骤总体尺寸标注尺寸的步骤标注尺寸的步骤3、尺寸标注的方法

1）尺寸一般宜注写在反映形体特征的投影图上

2）尺寸应尽可能标注在图形轮廓线外面，不宜与图线、文字及符号相交；但某些细部尺寸允许标注在图形内。

3）表达同一几何形体的定形、定位尺寸，应尽量集中标注。

4）尺寸线的排列要整齐。对同方向上的尺寸线，组合起来排成几道尺寸，从被注图形的轮廓线由近至远整齐排列，小尺寸线离轮廓线近，大尺寸线应离轮廓线远些，且尺寸线间的距离应相等。

5）尽量避免在虚线上标注尺寸。

3.6轴测投影图

工程上应用最广的图是多面正投影图。但是在制图的学习中，大量应用了轴测图（立体图），其目的是为了帮助大家理解缺乏立体感的投影图。轴测图常作为辅助性图样出现在正投影图中，如右图所示。尽管画出的图有些变形的感觉，但正是这一变形的效果才使得图形富有立体感。掌握了轴测图的画法，将有助于对三视图的理解。三视图和轴测图1轴测投影的相关概念及分类一、轴测图的概念二、轴测图的轴间角与轴向变化率三、轴测图的分类四、轴测图的基本性质一、轴测图的概念

概念：将物体和确定物体位置的直角坐标系按一定的投影方向（不平行于任何一条坐标轴）用平行投影法投射到某一选定的投影面（P）上得到的投影图称为轴测投影图，简称为轴测图。

轴测投影是单面投影，单靠物体的一个投影就能反映物体的长、宽、高的整体形状。该投影面称为轴测投影面，如图4-2所示的投影面PSP图4-2轴测投影二、轴测图的轴间角与轴向变化率SP图4-2轴测投影

1.轴测轴与轴间角：如图4-2所示，空间直角坐标轴X、Y、Z在轴测投影面上的投影X1、Y1、Z1称为轴测投影轴，简称轴测轴，它们相互之间的夹角∠X1O1Y1、∠X1O1Z1、∠Y1O1Z1，称为轴间角。分别用α、β、γ表示。X1O1AA1

2.轴向伸缩系数：轴测图中沿轴测轴方向的线段长度与空间立体上沿坐标轴方向的对应线段长度之比称为轴向伸缩系数，各轴的轴向伸缩系数分别用p、q、r表示。SP图4-2轴测投影X1O1AA1O1A1OA

=pX轴轴向伸缩系数O1B1

OB=qY轴轴向伸缩系数O1C1OC

=rZ轴轴向伸缩系数B1C1CB三、轴测图的分类由于投射方向与轴测投影面所成的角度不同，轴测图可以分为两类：

1.正轴测图－－投射方向S与轴测投影面垂直2.斜轴测图－－投射方向S与轴测投影面倾斜根据轴向伸缩系数的不同，这两类轴测图又分为三种：

1.正（斜）等轴测图（简称正等测或斜等测）2.正（斜）二轴测图（简称正二测或斜二测）3.正（斜）三轴测图（简称正三测或斜三测）在工程中常用的是正等轴测图、正二轴测和斜二轴测图。本章主要介绍正等轴测。轴测图正轴测图正等轴测图

p=q=r正二轴测图p=rq正三轴测图pqr斜轴测图斜等轴测图p=q=r斜二轴测图

p=rq斜三轴测图pqr常见的轴测投影

(1）物体上相互平行的线段的轴测投影仍相互平行。（2）物体上平行于坐标轴的直线段的轴测投影仍与相应的轴测轴平行；（3）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比，其轴测投影保持不变。四、轴测投影的基本性质（满足平行投影性质）用平行投影法所获得的轴测图，具有下列投影特性：

凡是与坐标轴平行的直线，就可以在轴测图上沿轴向进行度量和作图。

物体上平行于轴测投影面的直线和平面，在轴测图上反映实长和实形。

一、正等测图2正等测图的画法二、平面体正等测图的绘制三、曲面体正等测图的绘制一、正等测图：当投射方向S垂直于轴测投影面P，且使确定物体空间位置的三个坐标轴对P面的倾角都相等的条件下，所得到的轴测投影图，称为正等轴测图。图4-3正轴测投影图的形成PO1X1Y1Z1OZXY正轴测投影图S┴PLLL正等轴测图的轴间角和轴向伸缩系数按实际轴向伸缩系数绘制按简化轴向伸缩系数绘制边长为L的正方形的轴测图轴间角特性投影线与轴测投影面垂直简化轴向伸缩系数投影线方向轴向伸缩系数p1=q1=r1=0.82p=q=r=1LLL0.82L0.82L0.82L120°120°120°Z1O1X1Y1练习1绘制长宽高分别为30、20、10的长方体的正等测图。二、平面体正等测图的绘制－－坐标法图4-4用坐标法绘制正六边形的正等测图ghg(f)g1h1图4-5用切割法绘制正六边形的正等测图二、平面体正等测图的绘制－－切割法图4-6用叠加法绘制正六边形的正等测图二、平面体正等测图的绘制－－叠加法75685786XYXY12341432三、曲面体正等测图的绘制一般情况下，平行于坐标面的圆通过正投影后仍是圆，但通过轴测投影后就是椭圆。这种椭圆有两种画法：一种是坐标法；另一种是四心圆法。图4-7用坐标法画圆的正等测图1.圆的正等测图画法－－坐标法☆画圆的外切菱形☆确定四个圆心和半径☆分别画出四段彼此相切的圆弧●●●●abefdddF1E1●●B1A1●●图4-8用四心法画圆的正等测图1.圆的正等测图画法－－四心法2.曲面立体正等测图画法图4-9圆锥台的正等轴测图求作下图所示圆锥台的正等测图下图（a）所示平面图形上有四个圆角，每一段圆弧相当于整圆的四分之一。其正等测参见图（b）。每段圆弧的圆心是过外接菱形各边中点（切点）所作垂线的交点。

（c）图是平面图形的正等测。其中圆弧D1B1是以O2为圆心，R2为半径画出；圆弧B1C1是以O3为圆心，R3为半径画出。D1、B1、C1等各切点，均利用已知的r来确定。【例5-7】作出带圆角矩形板的正等测，如下图a所示【例5-4】试根据挡土墙的投影图，作正面斜轴测图（图5-6a）解：1）根据挡土墙形状的特点，选定O1Y1方向。如果采用与O1X1

方向成45°的轴，即投影方向是从右向左，这时三角形的扶壁将竖墙遮挡而表示不清。所以轴间角应改用135°，即投影方向是从左向右。2）先画出竖墙和底板的正面斜轴测图（图5-6b）3)扶到竖墙边的距离是y1。从竖墙边往后量y1/2画出扶壁的三角形底面的实形（图5-6c）4）完成扶壁（图5-6d）二、水平斜轴测

如果形体仍保持正投影的位置，而用倾斜于H面的轴测投影方向S，向平行于H面的轴测投影面P进行投影，如下图a所示，则所得斜轴测图称为水平斜轴测图。

水平斜轴测的轴间角和轴向伸缩系数：坐标面XOY平行于水平面，轴间角∠X1O1Y1