第4章 连续信号与系统的频域分析

第

4章

连续信号与系统的频域分析

第4章连续信号与系统的频域分析

周期信号的连续时间傅里叶级数周期信号的频谱周期信号频谱分析的MATLAB实现非周期信号的连续时间傅里叶变换非周期信号频域分析的MATLAB实现傅里叶变换的性质本章提要周期信号的傅里叶变换连续系统的频域分析用MATLAB实现连续系统的频域分析无失真传输条件理想低通滤波器的特性连续信号的抽样定理

引言频域分析：傅里叶变换将时间信号表示为一系列不同频率的正弦函数（，）或虚指函数之和，用于系统分析的独立变量就由时间变量变换为频率变量，故称为频域分析。时域分析：以冲激函数为基本信号，任意激励可分解为一系列冲激函数，系统的零状态响应就是激励与系统冲激响应的卷积积分。周期信号的连续时间傅里叶级数

由数学分析可知，满足狄利克雷条件的周期信号在区间可以展开成在完备正交函数空间的无穷级数。

狄利克雷条件为：（1）在一个周期内函数连续或有有限个第一类间断点；（2）在一个周期内，函数有有限个极大值或极小值。

电子技术中的周期信号大都满足该条件三角形式的傅里叶级数周期为的周期信号，为基波角频率，其三角形式的傅里叶级数：傅里叶系数

是的偶函数，是的奇函数。

注意：积分区间只要是一个周期就可。

三角形式的傅里叶级数是的偶函数，是的奇函数。

将上式同频率项合并，可写为式中周期信号可分解为直流和许多余弦分量。三角形式的傅里叶级数例4-1 将下图所示的方波信号展开为三角形式傅里叶级数。三角形式的傅里叶级数解取积分区间，三角形式的傅里叶级数三角形式的傅里叶级数奇、偶函数的傅里叶级数：是偶函数时，是的偶函数，是的奇函数，有，；是奇函数时，是的奇函数，是的偶函数，有，；是奇谐函数，即时，的傅里叶级数展开式中只含有奇次谐波分量；是偶谐函数，即时，的傅里叶级数展开式中只含有偶次谐波分量。指数形式的傅里叶级数利用，考虑到、，可得到指数形式的傅里叶级数。，

指数形式的傅里叶级数复数，称为复傅里叶系数，简称傅里叶系数，则傅里叶级数的指数形式为

注意：三角形式傅里叶级数与指数形式傅里叶级数虽然形式不同，但都是将信号表示成直流分量和各次谐波分量的和的形式。指数形式的傅里叶级数例4-2 求例4-1中周期信号的指数形式傅里叶级数

周期信号的频谱信号频谱的概念从广义上说，信号的某种特征量随信号频率变化的关系，称为信号的频谱，所画出的图形称为信号的频谱图。周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、相位随频率的变化关系，即将～

和

～

的关系分别画在以为横轴的平面上得到的两个图，分别称为振幅频谱图和相位频谱图。因为n≥0，所以称这种频谱为单边谱。也可画～和

～

的关系，称为双边谱。若为实数，也可直接画

。周期信号的频谱例4-3

，试画出的幅度谱和相位谱。解：为周期信号，基波角频率。题目中给出的的表达式可以看做的指数形式傅里叶级数，故有周期信号的频谱单边频谱图和双边频谱图

0123421405°10°15°20°15°10°5°0123410.5210.5205°10°15°20°5°10°15°-15°-10°-5°周期信号频谱的特点以周期矩形脉冲信号为例，说明周期信号频谱的特点周期信号频谱的特点称为取样函数，则的变化规律应符合的变化规律，即时，；频率的谱线为零。时，频谱如图所示周期信号频谱的特点0周期信号频谱具有如下特点：（1）离散性；（2）谐波性；（3）收敛性。周期信号频谱的特点谱线的结构与波形参数的关系：（1）周期不变时，谱线间距不变，此时，减小，各次谐波分量的振幅减小，在这段频率范围（称为频带宽度）内包含的谱线越多；（2）脉冲宽度不变时，周期变大，则谱线间距变小，谱线变密，各次谐波分量的振幅减小。周期信号趋于单脉冲非周期信号，各次谐波分量的振幅趋于零，谱线无限密集，离散谱成为连续谱。

周期信号的功率周期信号是功率信号，将其在1电阻上消耗的平均功率称为归一化平均功率。如果周期信号是实函数，则平均功率为将表示成傅里叶级数带入上式，得上式称为帕塞瓦尔恒等式，表明了周期信号的平均功率等于各频率分量的功率之和，即周期信号在时域和频域的能量是守恒的。

周期信号频谱分析的MATLAB实现例4-4设周期信号（某电路电压、电流）如下，求该周期信号的频谱其中为基波角频率，为信号周期。<分析>：周期信号有效值公式为：若电压，频率（即）计算总功率有效值和各分功率有效值与误差。

周期信号频谱分析的MATLAB实现解：则总功率有效值为

各分功率有效值为

误差为

建模令周期信号频谱分析的MATLAB实现

MATLAB程序演示clc%清屏Um=100;T=0.02;w=2*pi*50;%详见<分析>中取值N=input(‘输入谐波次数N=’);%取得谐波次数决定所分段数，次数越高，分段数越高t=linspace(-T/2,T/2);dt=T/99;%取100个采样点u=Um*abs(sin(w*t));%在一个周期内产生两个半波fork=0:Na(k+1)=trapz(u.*cos(k*w*t))*dt/T*2;周期信号频谱分析的MATLAB实现

b(k+1)=trapz(u.*sin(k*w*t))*dt/T*2;A(k+1)=sqrt(a(k+1)^2+b(k+1)^2);end[[0:N]‘,[A(1)/2,A(2:end)]’];%显示傅立叶分量，恢复与k对应的关系值stem(0:N,[A(1)/2,A(2:end)])%将对应关系绘制成图形Us11=sqrt(trapz(u.^2)*dt/T)%总功率有效值Us12=sqrt(A(1)^2/4+sum(A(2:end).^2/2))%各分功率有效值e=(Us11-Us12)/Us11%误差周期信号频谱分析的MATLAB实现

程序运行结果输入谐波次数N=16，回车，程序运行结果如下：（根据用户需要可以输入其他谐波次数）‥‥‥总功率有效值：Us11=70.7107分功率有效值：Us12=70.7085误差：e=3.0887e-005

各傅立叶分量对应的k值数值积分存在误差导致不为零非周期信号的连续时间傅里叶变换当时，周期信号趋于非周期信号，谱线无限密集，离散谱成为连续谱，各次谐波分量的振幅趋于零，故利用傅里叶级数无法分析非周期信号的频谱。为了表示非周期信号的频谱特性，引入频谱密度函数的概念。周期信号复振幅

非周期信号的连续时间傅里叶变换当时，离散量趋于连续量，谱线间隔趋于无穷小量，成为的函数，一般是复函数，记为，求和转化为积分，则有

傅里叶正变换傅里叶逆变换非周期信号的连续时间傅里叶变换可以记为

或称为的傅里叶变换或频谱密度函数，简称频谱。称为的傅里叶反变换或原函数。复函数可以写为

非周期信号的连续时间傅里叶变换存在傅里叶变换的充分但非必要条件利用傅里叶变换公式可以方便地求出：典型信号的傅里叶变换（一）矩形脉冲信号（门函数）01（二）单边指数函数01典型信号的傅里叶变换（三）双边指数函数01（四）冲激函数及其导数

典型信号的傅里叶变换（五）单位直流信号

不满足绝对可积，故不能直接使用公式计算其频谱。考虑到双边指数函数（）当时，，所以双边指数函数的频谱当就应是单位直流信号的频谱。

即单位直流信号的频谱是冲激函数，其强度为

典型信号的傅里叶变换典型信号的傅里叶变换（六）符号函数

01-1可以看作是（）当时的极限。

典型信号的傅里叶变换（七）单位阶跃函数单位阶跃函数不满足绝对可积条件，不能直接用傅里叶变换公式求其频谱函数

非周期信号的频谱函数非周期信号的频谱函数当为实函数时，可以得到以下结论：（1）（2），其中是的共轭函数；（3）若，则的频谱函数是的实函数，且是的偶函数，即，；

（4）若，则的频谱函数是的虚函数，且是的奇函数，即，。

非周期信号的频谱函数当为虚函数时，可以得到以下结论：（1）（2），其中是的共轭函数；（3）若，则的频谱函数是的虚函数，且是的偶函数，即，；

（4）若，则的频谱函数是的实函数，且是的奇函数，即，。

非周期信号频域分析的MATLAB实现例5设非周期信号（方波）如下，用MATLAB求该信号在的频谱。方波信号解：这里我们取建模通过傅立叶变换得出非周期信号频谱公式如下：非周期信号频域分析的MATLAB实现MATLAB程序演示tf=10;N=input('输入时间分割点数目：N=')dt=10/N;t=[1:N]*dt;%对所取时间进行分割f=[ones(1,N/2),zeros(1,N/2)];plot(t,f,'linewidth',1.5),grid%产生方波信号图w1=input('输入频谱宽度：w1=')n1=input('输入频谱点数：n1=')w2=linspace(0,w1,nf);dw=w1/(n1-1);f1=f*exp(-j*t'*w2)*dt;

%求信号的傅立叶变换w=[-fliplr(w2),w2(2:n1)];

%求信号的负频率F=[fliplr(f1),f1(2:n1)];%求信号负频率的频谱plot(w,abs(F),'linewidth',1.5),grid非周期信号频域分析的MATLAB实现非周期信号时域频谱图程序运行结果注意：这里频谱宽度和点数如果取的不好会发生频率泄漏输入时间分割点数目：N=256输入频谱宽度：w1=40输入频谱点数：n1=64傅里叶变换的性质（一）线性若（），则对于任意常数，有（二）对称性若，则有傅里叶变换对的两种函数是固定的，本性质为和的互求提供方便。

傅里叶变换的性质例4.6—1

求和的频谱函数。

解：（1）取，门函数的幅度为，则由线性性质

（2）傅里叶变换的性质（三）时移性若，为实常数，则有

信号在时域中的延时和频域中的移相相对性，若在时域中信号右移，其频谱函数的幅度不变，而各频率分量的相位比各频率分量的相位滞后。傅里叶变换的性质例4.6—2 求如图所示信号的频谱函数。-1-4413解：由时移特性可知

傅里叶变换的性质（四）频移性若，为实常数，则有时傅里叶变换的性质（五）尺度变换若，为实常数（），则有当时，得到

由尺度变换特性可知，时，信号在时域中压缩，其频谱在频域中扩展，各分量的幅度降为原来的，信号的持续时间与其频带宽度成反比。傅里叶变换的性质例4.6—4 若已知，求信号的频谱函数。解：根据时移特性根据尺度变换特性

试先应用尺度变换特性再应用时移特性求的频谱函数傅里叶变换的性质（六）卷积定理1、时域卷积定理若，，则有

2、频域卷积定理若，，则有显然，时域卷积定理与频域卷积定理是对称的，这由傅里叶变换的对称性决定。

傅里叶变换的性质例4.6—5 已知，利用卷积定理求该余弦脉冲的频谱函数。解：该余弦脉冲可以看作是余弦信号与门函数的乘积。傅里叶变换的性质（七）微分特性1、时域微分特性若，，则有2、频域微分特性

也可以写为

若，，则有

傅里叶变换的性质-1104-1104-4-110(-8)(4)(4)(a)(b)(c)例4.6—6 求如图（a）所示信号的频谱函数。傅里叶变换的性质解：利用时域微分性质求的频谱由于，，由傅里叶变换的线性性质、时移性质，可得傅里叶变换的性质（八）积分特性1、时域积分特性若，，则有2、频域积分特性若，，则有时，时，傅里叶变换的性质例4.6—7 利用时域积分性质求例4.6—6中信号的频谱函数。解：由例4.6—6已知根据时域积分性质

注意：若信号中含有直流分量，应先将的频谱分成两个部分，对不含直流分量的部分利用微分性质（或积分性质）求其频谱函数，再利用线性性质求两部分频谱函数之和即为的频谱函数。周期信号的傅里叶变换（一）周期信号的傅里叶变换对上式两边取傅里叶变换，并考虑傅里叶变换的线性性质、频移性质，结合周期为的信号，基波角频率为，将其展开成指数形式的傅里叶级数为周期信号的傅里叶变换01(a)0(b)例4.7—1求如图（a）所示周期单位冲激函数序列的傅里叶变换

解：周期信号的傅里叶变换（二）周期信号傅里叶系数与单脉冲傅里叶变换的关系，根据时域卷积定理，可得

周期信号第一个周期的单脉冲信号表示为，根据冲激函数的卷积积分性质，则有连续系统的频域分析（一）基本信号激励下的零状态响应上式表明：线性时不变系统，在作用下的零状态响应是基本信号本身乘上一个与无关的常量。

的傅里叶变换记为，称为频率响应函数（系统函数）。反映了系统的时域特性，反映了系统的频域特性。连续系统的频域分析LTI连续系统基本信号齐次性时不变性（二）一般信号激励下的零状态响应连续系统的频域分析频域分析法求解零状态响应的步骤：①求；②求频率响应函数；③求零状态响应的傅里叶变换；④求零状态响应。连续系统的频域分析例4.8—1描述某系统的微分方程为，求激励时系统的零状态响应。解：对微分方程两端取傅里叶变换，得由于，故零状态响应的傅里叶变换为连续系统的频域分析（1）画出电路的频域模型，并求出系统的冲激响应函数；（2）若激励为，求零状态响应。例4.8—2电路如图(a)所示，图中，，为激励，为响应，(a)解:(1)(b)连续系统的频域分析（2）根据及傅里叶变换的频移特性，可得用MATLAB实现连续系统的频域分析

例4.9-1

连续信号函数如下，求该信号的频谱解：建模该信号输出的频谱为用MATLAB实现连续系统的频域分析MATLAB程序演示tf=10;N=input('输入时间分割点数目：N=')dt=10/N;t=[1:N]*dt;%对所取时间进行分割f=[ones(1,N/2),zeros(1,N/2)];plot(t,f,'linewidth',1.5),grid%产生方波信号图w1=input('输入频谱宽度：w1=')n1=input('输入频谱点数：n1=')w2=linspace(0,w1,nf);dw=w1/(n1-1);f1=f*exp(-j*t‘*w2)*dt;

%求信号的傅里叶变换用MATLAB实现连续系统的频域分析w=[-fliplr(w2),w2(2:n1)];

%求信号的负频率F=[fliplr(f1),f1(2:n1)];

%求信号负频率的频谱subplot(2,2,1),plot(t,f,'linewidth',1.5),grid

%绘制连续脉冲信号波形subplot(2,2,2),plot(w,abs(F),'linewidth',1.5),grid

%绘制连续脉冲信号频谱H=freqs(1000,[1,30,300,1000],w);Y=H.*F;subplot(2,2,3),plot(w,abs(Y),'linewidth',1.5),grid%绘制滤波后的连续信号频谱y=Y*exp(j*w‘*t)/pi*dw;%傅里叶变换的逆变换subplot(2,2,4),plot(t,f,t,y,'linewidth',1.5),grid%绘制滤波后的连续信号的波形

用MATLAB实现连续系统的频域分析程序运行结果经反复验证，取N=128，w1=20，n1=128，运行结果如下图

连续脉冲信号

连续脉冲信号频谱

脉冲信号滤波后频谱

脉冲信号滤波后波形无失真传输条件失真的分类失真线性失真非线性失真：产生新的频率分量幅度失真相位失真不产生新的频率分量无失真传输定义：系统的输出与输入相比，只有幅度的大小和出现时间的先后不同，而没有波形上的变化。无失真传输条件输出与输入满足条件时域频域到无失真传输对系统的要求时域频域无失真传输系统的幅频特性和相频特性理想低通滤波器的特性

理想低通滤波器的幅频特性和相频特性1理想低通滤波器的频率响应函数为

称为截止角频率，能使信号通过的频率范围称为通带，阻止信号通过的频率范围称为阻带或止带。理想低通滤波器的特性0理想低通滤波器在时，即没用激励作用时已产生响应，不满足因果关