高考数学人教B版一轮复习测评8-6利用空间向量证明空间中的位置关系

核心素养测评四十三利用空间向量证明空间中的位置关系(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.若直线l的方向向量为a=(1,0,2),平面α的法向量为n=(2,1,1),则 ()A.l∥α B.l⊥αC.l⊂α或l∥α D.l与α斜交【解析】选C.因为a=(1,0,2),n=(2,1,1),所以a·n=0,即a⊥n,所以l∥α或l⊂α.2.已知a=(1,1,1),b=(0,2,1),c=ma+nb+(4,4,1).若c与a及b都垂直,则m,n的值分别为 ()A.1,2 B.1,2C.1,2 D.1,2【解析】选A.由已知得c=(m+4,m+2n4,mn+1),故a·c=3m+n+1=0,b·c=m+5n9=0.解得m=1,n=2.3.已知平面α内有一点M(1,1,2),平面α的一个法向量为n=(6,3,6),则下列点P中,在平面α内的是 ()A.P(2,3,3) B.P(2,0,1)C.P(4,4,0) D.P(3,3,4)【解析】选A.逐一验证法,对于选项A,QUOTE=(1,4,1),所以QUOTE·n=612+6=0,所以QUOTE⊥n,所以点P在平面α内,同理可验证其他三个点不在平面α内.4.如图所示,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,点M,P,Q分别为棱AB,CD,BC的中点,若平行六面体的各棱长均相等,则:①A1M∥D1P;②A1M∥B③A1M∥平面DCC1D1;④A1M∥平面D1PQB以上说法正确的个数为 ()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选C.QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE,QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE,所以QUOTE∥QUOTE,所以A1M∥D1P,由线面平行的判定定理可知,A1M∥平面DCC1D1,A1M∥平面D1PQB1.①③④正确.5.如图,F是正方体ABCDA1B1C1D1的棱CD的中点.E是BB1上一点,若D1F⊥DE,A.B1E=EB B.B1E=2EBC.B1E=QUOTEEB D.E与B重合【解析】选A.分别以DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则D(0,0,0),F(0,1,0),D1(0,0,2),设E(2,2,z),则QUOTE=(0,1,2),QUOTE=(2,2,z),因为QUOTE·QUOTE=0×2+1×22z=0,所以z=1,所以B1E=EB.二、填空题(每小题5分,共15分)6.若A0,2,QUOTE,B1,1,QUOTE,C2,1,QUOTE是平面α内的三点,设平面α的法向量a=(x,y,z),则x∶y∶z=________.

【解析】QUOTE=1,3,QUOTE,QUOTE=2,1,QUOTE,a·QUOTE=0,a·QUOTE=0,QUOTEx∶y∶z=QUOTEy∶y∶QUOTEy=2∶3∶(4).答案:2∶3∶(4)7.如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中点,N是A1B1的中点,则直线ON,AM的位置关系是________【解析】以A为原点,分别以QUOTE,QUOTE,QUOTE所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则A(0,0,0),MQUOTE,OQUOTE,NQUOTE,0,1,QUOTE·QUOTE=0,1,QUOTE·0,QUOTE,1=0,所以ON与AM垂直.答案:垂直8.如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,E,F分别是棱BC,DD1上的点,如果B1E⊥平面ABF,则CE与DF的和的值为________. 导学号【解析】以D1A1,D1C1,D则易知E(x,1,1),B1(1,1,0),F(0,0,1y),B(1,1,1),所以QUOTE=(x1,0,1),QUOTE=(1,1,y),因为B1E⊥平面ABF,所以QUOTE·QUOTE=(1,1,y)·(x1,0,1)=0,所以x+y=1.答案:1三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=QUOTE,AF=1,M是线段EF的中点.求证:(1)AM∥平面BDE. 导学号(2)AM⊥平面BDF.【证明】(1)建立如图所示的空间直角坐标系,设AC∩BD=N,连接NE.则NQUOTE,QUOTE,0,E(0,0,1),A(QUOTE,QUOTE,0),MQUOTE,QUOTE,1,所以QUOTE=QUOTE,QUOTE,1,QUOTE=QUOTE,QUOTE,1.所以QUOTE=QUOTE且NE与AM不共线.所以NE∥AM.又因为NE⊂平面BDE,AM⊄平面BDE,所以AM∥平面BDE.(2)由(1)知QUOTE=QUOTE,QUOTE,1,因为D(QUOTE,0,0),F(QUOTE,QUOTE,1),所以QUOTE=(0,QUOTE,1)所以QUOTE·QUOTE=0,所以AM⊥DF.同理AM⊥BF.又DF∩BF=F,所以AM⊥平面BDF.10.如图所示,已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD,侧面PBC⊥底面ABCD. 导学号证明:(1)PA⊥BD.(2)平面PAD⊥平面PAB.【证明】(1)取BC的中点O,连接PO,因为平面PBC⊥底面ABCD,△PBC为等边三角形,平面PBC∩底面ABCD=BC,PO⊂平面PBC,所以PO⊥底面ABCD.以BC的中点O为坐标原点,以BC所在直线为x轴,过点O与AB平行的直线为y轴,OP所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.不妨设CD=1,则AB=BC=2,PO=QUOTE,所以A(1,2,0),B(1,0,0),D(1,1,0),P(0,0,QUOTE),所以QUOTE=(2,1,0),QUOTE=(1,2,QUOTE).因为QUOTE·QUOTE=(2)×1+(1)×(2)+0×(QUOTE)=0,所以QUOTE⊥QUOTE,所以PA⊥BD.(2)取PA的中点M,连接DM,则MQUOTE,1,QUOTE.因为QUOTE=QUOTE,0,QUOTE,QUOTE=(1,0,QUOTE),所以QUOTE·QUOTE=QUOTE×1+0×0+QUOTE×(QUOTE)=0,所以QUOTE⊥QUOTE,即DM⊥PB.因为QUOTE·QUOTE=QUOTE×1+0×(2)+QUOTE×(QUOTE)=0,所以QUOTE⊥QUOTE,即DM⊥PA.又因为PA∩PB=P,PA,PB⊂平面PAB,所以DM⊥平面PAB.因为DM⊂平面PAD,所以平面PAD⊥平面PAB.(15分钟35分)1.(5分)正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a,点M在AC1上且QUOTE=QUOTE,N为B1B的中点,则|QUOTE|为 ()A.QUOTEa B.QUOTEa C.QUOTEa D.QUOTEa【解析】选A.以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系,则A(a,0,0),C1(0,a,a),Na,a,QUOTE.设M(x,y,z),因为点M在AC1上且QUOTE=QUOTE,所以(xa,y,z)=QUOTE(x,ay,az),所以x=QUOTEa,y=QUOTE,z=QUOTE,得MQUOTE,QUOTE,QUOTE,所以|QUOTE|=QUOTE=QUOTEa.2.(5分)(多选)已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点,如果=(2,1,4),=(4,2,0),=(1,2,1).下列结论正确的是 ()A.AP⊥ABB.AP⊥ADC.是平面ABCD的法向量D.∥【解析】选ABC.因为·=0,·=0,所以AB⊥AP,AD⊥AP,则AB正确.又与不平行,所以是平面ABCD的法向量,则C正确.由于==(2,3,4),=(1,2,1),所以与不平行,故D错误.3.(5分)已知平面α内的三点A(0,0,1),B(0,1,0),C(1,0,0),平面β的一个法向量n=(1,1,1),则不重合的两个平面α与β的位置关系是________.

【解析】设平面α的法向量为m=(x,y,z),由m·QUOTE=0,得x·0+yz=0⇒y=z,由m·QUOTE=0,得xz=0⇒x=z,取x=1,所以m=(1,1,1),m=n,所以m∥n,所以α∥β.答案:α∥β4.(10分)如图所示,已知直三棱柱ABCA1B1C1中,△ABC为等腰直角三角形∠BAC=90°,且AB=AA1,D,E,F分别为B1A、C1C、BC的中点.求证(1)DE∥平面ABC.(2)B1F⊥平面【证明】(1)建立如图所示的空间直角坐标系,令AB=AA1=4,则A(0,0,0),E(0,4,2),F(2,2,0),B(4,0,0),B1(4,0,4).取AB的中点N,连接CN,则N(2,0,0),C(0,4,0),D(2,0,2),所以QUOTE=(2,4,0),QUOTE=(2,4,0),所以QUOTE=QUOTE,所以DE∥NC,又因为NC⊂平面ABC,DE⊄平面ABC.故DE∥平面ABC.(2)由(1)知QUOTE=(2,2,4),QUOTE=(2,2,2),QUOTE=(2,2,0).QUOTE·QUOTE=(2)×2+2×(2)+(4)×(2)=0,QUOTE·QUOTE=(2)×2+2×2+(4)×0=0.所以QUOTE⊥QUOTE,QUOTE⊥QUOTE,即B1F⊥EF,B1F⊥AF,又因为AF∩FE=F,所以B1F⊥平面AEF.5.(10分)在四棱锥PABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC,E,F分别是AB,PB的中点.(1)求证:EF⊥CD. 导学号(2)在平面PAD内求一点G,使GF⊥平面PCB,并证明你的结论.【解析】(1)如图,以DA,DC,DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设AD=a,则D(0,0,0)、A(a,0,0)、B(a,a,0)、C(0,a,0)、Ea,QUOTE,0、P(0,0,a)、FQUOTE,QUOTE,QUOTE.QUOTE=QUOTE,0,QUOTE,QUOTE=(0,a,0).因为QUOTE·QUOTE=0,所以QUOTE⊥QUOTE,即EF⊥CD.(2)设G(