2023-2024学年福州市高二数学上学期期末考试卷附答案解析

-2024学年福州市高二数学上学期期末考试卷考试时间：120分钟试卷满分：150分2024.01一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在等差数列中，若，，则（

）A．38 B．39 C．40 D．412．若抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则该抛物线的准线方程为（

）A． B． C． D．3．若圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-8x-6y+m=0内切，则m=（

）A．25 B．9 C．-9 D．-114．在平面直角坐标系中，若曲线（，为常数）过点，且该曲线在点处的切线与直线平行，则（

）A．， B．， C．， D．，5．已知双曲线的左、右焦点分别为，一条渐近线为l，过点且与l平行的直线交双曲线C于点M，若，则双曲线C的离心率为（

）A． B． C． D．36．已知函数在上为减函数，则的取值范围是（

）A． B． C． D．7．如图，将一个边长为1的正三角形分成四个全等的正三角形，第一次挖去中间的一个小正三角形，将剩下的三个小正三角形，再分别从中间挖去一个小正三角形，保留它们的边，重复操作以上做法，得到的集合为谢尔宾斯基三角形.设是第n次挖去的小正三角形面积之和（如是第1次挖去的中间小正三角形面积，是第2次挖去的三个小正三角形面积之和），则（

）A．B．是等差数列C．D．前n次挖去的所有小正三角形面积之和为8．已知函数，直线，若有且仅有一个整数，使得点在直线l上方，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知，则下述正确的是（

）A．圆C的半径 B．点在圆C的内部C．直线与圆C相切 D．圆与圆C相交10．已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（

）A．若，则是等差数列B．若，则是等比数列C．若是等差数列，则D．若是等比数列，则11．已知分别为椭圆和双曲线的公共左，右焦点，（在第一象限）为它们的一个交点，且，直线与双曲线交于另一点，若，则下列说法正确的是（

）A．的周长为 B．双曲线的离心率为C．椭圆的离心率为 D．12．已知，且，则下列结论一定正确的是（

）A． B． C． D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若直线：与直线：垂直，则实数的值为．14．设函数的导数为，且，则．15．已知双曲线：的下、上焦点分别为，．点在轴上，线段交于点，的内切圆与直线相切于点，则线段的长为．16．若数列的前项和为，，则称数列是数列的“均值数列”．已知数列是数列的“均值数列”且，设数列的前项和为，若对恒成立，则实数的取值范围为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数．(1)若函数，求的单调递增区间；(2)若有两个都小于0的极值点，求实数的取值范围．18．在中,角的对边分别为,且满足.(1)求角的值;(2)若,求的面积.19．如图，平面，平面，，，，.(1)求证：；(2)求直线与平面所成角的正弦值.20．已知椭圆的右焦点，长半轴长与短半轴长的比值为2．(1)求椭圆的标准方程；(2)设为椭圆的上顶点，直线与椭圆相交于不同的两点，，若，求直线的方程．21．已知数列满足（），.(1)证明:数列为等差数列，并求数列的通项公式；(2)若记为满足不等式的正整数k的个数，数列的前n项和为，求关于的不等式的最大正整数解.22．已知函数．(1)当时，求在处的切线方程；(2)当时，不等式恒成立，求的取值范围．1．B【分析】根据，求出，然后用公式计算即可.【详解】在等数列中，，所以，解得，所以，故选：B.2．D【分析】先求出椭圆的焦点坐标即是抛物线的焦点坐标，即可求出准线方程.【详解】∵椭圆的右焦点坐标为，∴抛物线的焦点坐标为，∴抛物线的准线方程为，故选：D.3．D【分析】根据圆与圆的位置关系求得正确答案.【详解】圆的圆心为，半径；圆的圆心为，半径为（），由于两圆内切，所以，即，即，（无解）或，解得.故选：D4．C【分析】由题意将点代入得，求导得，由题意将点代入得，联立即可得解.【详解】∵函数的导数为，∴曲线在点处的切线斜率为，由两直线平行可得①.又∵点在曲线上，∴②，由①②解得，.故选：C.5．B【分析】根据双曲线的定义，结合余弦定理、同角的三角函数关系式进行求解即可.【详解】根据双曲线的对称性，不妨设一条渐近线l的方程为，因此直线的倾斜角的正切值为，即，所以有，设，由双曲线定义可知：，由余弦定理可知：，故选：B6．D【分析】由题意可得在上恒成立，即在上恒成立，令，求出取值范围即可.【详解】因为函数在上为减函数，所以在上恒成立，所以在上恒成立，令，所以，所以在上单调递减，所以，故，所以的取值范围是.故选：D.7．D【分析】根据图形可知：每次挖去的小三角形面积之和构成一个以为首项，以为公比的等比数列，利用等比数列通项公式和求和公式对选项一一判断即可得出答案.【详解】原正三角形的面积为，由题意可知：第次挖去个小正三角形，且每次挖去的小三角形面积之和构成一个以为首项，以为公比的等比数列，所以，故C不正确；，故A不正确；是等比数列，故B不正确；由等比数列的求和公式可得前n次挖去的所有小正三角形面积之和为:，故D正确.故选：D.8．C【分析】由定义域得为正整数，由导数法研究的图象，直线l过定点，由数形结合可判断的值，进而列不等式组确定参数范围.【详解】点在直线l上方，即，因为，所以有且仅有一个正整数解.设，则单调递增；单调递减，所以.又，故可得图象如下图，直线过定点，当，有无数个正整数解，不合题意，故，又有且仅有一个正整数解，故2是唯一的正整数解，即.故选：C.【点睛】关键点点睛：直线l过定点，则原命题可转化为直线l绕定点旋转，从而满足条件，可由导数法研究的图象，由数形结合列式求解.9．ACD【分析】先将圆方程化为标准方程，求出圆心和半径，然后逐个分析判断即可【详解】由，得，则圆心，半径，所以A正确，对于B，因为点到圆心的距离为，所以点在圆C的外部，所以B错误，对于C，因为圆心到直线的距离为，所以直线与圆C相切，所以C正确，对于D，圆的圆心为，半径，因为，，所以圆与圆C相交，所以D正确，故选：ACD10．BC【分析】由前项和求得后判断AB，根据等差数列、等比数列的性质判断CD．【详解】选项A，时，，，，，，不是等差数列，A错；选项B，，时，，又符合上式，所以，是等比数列，B正确；选项C，若是等差数列，则，C正确；选项D，若，则，，而，D错误，故选：BC．11．BCD【分析】设，则，由双曲线定义得，，再由余弦定理得，然后由椭圆定义得，利用余弦定理求得，再求三角形周长，求出椭圆、双曲线的离心率，从而判断各选项．【详解】设，则，，，中由余弦定理，得，化简得，，D正确；又，所以，又，的周长为，A错误；中，，由余弦定理得，所以，因此双曲线的离心率为，B正确；椭圆的离心率为，C正确，故选：BCD．12．BC【分析】利用特殊值法可判断AD选项的正误；构造函数，分析函数的单调性，分、两种情况讨论，利用函数的单调性可判断B选项的正误；证明对数平均不等式：对任意的、且，，利用对数平均不等式可判断C选项的正误.【详解】对于A选项，取，，则，但不成立，A选项错误；对于B选项，由可得，即，构造函数，其中，.当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，①若，则函数在上单调递增，由可得，且，故；②若，则.综上，，B选项正确；先证明对任意的、且，，不妨设，即证，令，即证，令，则，故函数在上为增函数，当时，，所以，对任意的、且，，因为，则，所以，，可得，C选项正确.对于D选项，取，，则，但，D选项不正确.故选：BC.【点睛】思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个：（1）判断各个数值所在的区间；（2）利用函数的单调性直接解答.数值比较多的比较大小问题也也可以利用两种方法的综合应用.13．或【分析】根据直线垂直列方程，化简求得的值.【详解】由于两直线垂直，所以，解得或.故答案为：或14．【分析】根据题意，求导可得，令，即可得到，然后代入计算，即可得到结果.【详解】因为，所以，令，则，即，解得，所以，所以.故答案为：15．【分析】根据三角形内切圆的性质以及双曲线的定义来求得.【详解】由双曲线得，如图，设三角形的内切圆与直线相切于，则，根据双曲线的定义有，即，则，即，所以.故答案为：16．【分析】先求得，然后求得，进而求得，求得的最小值，由此解不等式求得的取值范围.【详解】依题意，当时，，当时，，也符合上式，所以.则，所以，是单调递增数列，最小值为，所以，，解得.故答案为：【点睛】已知的表达式，求的通项公式，可以利用来进行求解，在求解的最后，要注意验证首项.形如的数列求和，可以考虑利用裂项求和法来进行求解，实际上是分母实数化的进一步运用.17．(1)，(2)【分析】（1）求出函数的导数，令导数大于0，解不等式，即可求得答案；（2）由题意可得有两个不相等的负数根，根据一元二次方程的根的分布，列不等式求解，即可得答案.【详解】（1）因为，且定义域为，所以，（），令，得或．所以的单调递增区间为，．（2）因为，所以，又因为有两个都小于0的极值点，所以有两个不相等的负数根，，所以，解得，所以实数的取值范围为．18．(1)；(2).【分析】(1)先用正弦定理边化角,再逆用两角和的正弦公式进行化简即可求解;(2)利用余弦定理求出边,然后代入三角形面积公式计算即可.【详解】（1）解:由题意知,在中,将正弦定理代入有,所以,即,即,即,因为,所以,所以,因为,所以；（2）由(1)知,在中,由余弦定理可知,即,解得或（舍）,所以.19．(1)证明见解析.(2).【分析】（1）运用线面平行判定定理、面面平行判定定理可证得面面，运用面面平行性质可证得.（2）建立空间直角坐标系，运用坐标法求线面角即可.【详解】（1）证明：∵，面，面，∴面，又∵面，，、面，∴面面，又∵面面，面面，∴.（2）以A为原点，分别以AB、AD、AE所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，，∴，，，设平面的法向量为，则，取，则，，则，设直线CE与平面所成角为，则.所以直线CE与平面所成角为.20．(1)(2)【分析】（1）由条件写出关于的方程组，即可求椭圆方程；（2）首先直线与椭圆方程联立，利用韦达定理表示，即可求参数.【详解】（1）由题意得，，，，，，椭圆的标准方程为．（2）依题意，知，设，．联立消去，可得．，即，，，．，．，，整理，得，解得或（舍去）．直线的方程为．21．(1)证明见解析，(2)7【分析】（1）两边取倒数得到，从而得到是首项为1，公差为的等差数列，求出，求出通项公式；（2）在（1）的基础上解不等式得到，从而得到，，数列递增，再利用错位相减法求和得到，结合，得到答案.【详解】（1）由取倒数得，故，又，所以数列是首项为1，公差为的等差数列，则，所以；（2）当时，，故，解得，所以满足条件的整数k的个数为，即，所以，故数列递增，所以，则，两式相减可得，所以，.因为，所以，因此，满足的最大正整数n的值为7.22．(1)(2)【分析】（1）求出函数的导数后可求切线的斜率，从而可求切线方程.（2）利用参变分离结合导数可求参数的取值范围，我们也可以利用分类讨论求出函数的最值，根据最值的性质讨论参数的取值范围.【详解】（1）当时，．故切线的斜率，又切点为切线方程为，化简得．（2）法1：当时，恒成立，故，也就是，即，由得，令，则，令，则，可知在单调递增，则，即在恒成立，．故在单调递增，所以，故在恒成立．所以在单调递增，而，所以，故．法2：因为当时，恒成立，故，由，令，得