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中南大学土木工程学院桥梁工程系主讲教师：韩建平石岩E-mail：syky86@163.com个人主页：兰州理工大学土木工程学院结构动力学DynamicsofStructures总结复习

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Summary结构动力学考试情况一、问答题5~6道；二、计算证明题5~6道；三、翻译题2道；注意：(1)携带计算器;(2)题量较大，须熟练。3提要第一章概述第二章运动方程的建立第三章单自由度体系第四章多自由度体系第五章直接积分法第六章实用振动分析(动力自由度选择)第七章分析参数体系4第一章概述动力荷载：根据预先是否确定：☼确定性；☼非确定（随机）。根据随时间变化规律：☼简谐荷载；☼非简谐周期荷载；☼冲击荷载；☼任意非周期荷载。第一章概述(续)结构动力分析的目的：☼确定动力荷载作用下结构的内力和变形；☼通过动力分析确定结构的动力特性。动力学特点（与静力荷载不同处）☼外因：荷载是随时间变化的；☼内因：惯性力。第一章概述(续)动力自由度动力计算中为确定运动过程中任意时刻全部质量的位置所需的独立几何参数的个数。结构离散化方法☼集中质量法；☼广义坐标法；☼有限元法。实质？手法？第一章概述(续)第四类问题：控制问题输入（动力荷载）结构（系统）输出（动力反应）控制系统（装置、能量）-----控制问题输入（动力荷载）结构（系统）输出（动力反应）第一类问题：反应分析（结构动力计算）第二类问题：参数（或称系统）识别输入（动力荷载）结构（系统）输出（动力反应）第三类问题：荷载识别。输入（动力荷载）结构（系统）输出（动力反应）-----正问题-----反问题-----反问题8第二章运动方程的建立动力学的新物理量：惯性力、阻尼力。惯性力：大小等于物体的质量与加速度的乘积，方向与加速度的方向相反。阻尼：引起结构能量的耗散，使结构振幅逐渐变小的一种作用阻尼来源（物理机制）：(1)固体材料变形时的内摩擦，或材料快速应变引起的热耗散；(2)结构连接部位的摩擦，结构构件与非结构构件之间的摩擦；(3)结构周围外部介质引起的阻尼。例如，空气、流体等。粘性阻尼力：大小与体系的加速度成正比，方向与加速度的方向相反。第二章运动方程的建立(续)

建立运动方程的方法：☼牛顿第二定律直接应用；☼D’Alembert原理：动平衡概念；☼虚位移原理；☼Hamilton原理；

☼运动的Lagrange方程。第16章变分形式第二章运动方程的建立(续)

运动方程：自重的影响如果重力的影响预先被平衡，则在研究结构的动力反应时，可以完全不考虑重力的影响，建立体系的运动方程，直接求得结构体系的动力解。结构地基运动的影响通过将体系的运动分解为由地基运动引起的等效静位移(是已知的或通过结构静力分析可预先求得的)和未知的动位移，将结构基础运动化为等效的动力荷载。第三章单自由度体系

单自由度体系第三章单自由度体系(续)

无阻尼体系自由振动的解：

无阻尼自由振动是一个简谐运动(Simpleharmonicmotion)

有阻尼体系自由振动的解：有阻尼自由振动是一个振幅衰减的简谐运动。第三章单自由度体系(续)

无阻尼自振频率：

(单位：弧度/秒,rad/s)无阻尼自振周期：(单位：秒,sec)自振周期Tn（或ωn）是结构的固有特性，与振幅大小无关（线弹性范围内）。工程频率：

(单位：周/秒,赫兹,Hz)第三章单自由度体系(续)

有阻尼自振频率：

有阻尼自振周期：

当阻尼比ζ较小时，ωD≈ωn，TD≈Tn。第三章单自由度体系(续)

临界阻尼定义：ccr＝2mωn＝2√(km)

阻尼比：ζ＝c/ccr，阻尼系数：c＝ζccr＝2mωnζ

临界阻尼的物理意义是：在自由振动反应中不出现震荡所需要的最小阻尼值。第三章单自由度体系(续)

自由振动试验确定结构的阻尼比ζ：对数衰减率法对数衰减率:

阻尼比计算公式：小阻尼时计算公式：第三章单自由度体系(续)振动中的能量：无阻尼体系：无阻尼体系自由振动过程中的总能量守恒，不随时间变化，等于初始时刻输入的能量。有阻尼体系：有阻尼体系自由振动过程中的能量被阻尼消耗，而在整个振动过程中，阻尼始终在耗能。第三章单自由度体系

强迫振动运动方程的解法：强迫振动方程全解＝齐次的通解(瞬态反应)＋特解(稳态反应)通解对应的方程是一个自由振动方程，其解为自由振动。特解由动荷载p0sinωt直接引起的振动解。有阻尼体系简谐振动方程的通解：第一项按自振频率wd

振动，由初始条件确定的自由振动反应。由于阻尼，这一项很快会衰减为零，即瞬态反应；第二项按荷载频率

振动，即稳态反应；有些场合，如冲击荷载、地震等，应分析瞬态反应；一般情况下，瞬态反应对结构强迫振动分析的意义不大，这里主要讨论稳态反应的特性。20第三章单自由度体系(续)共振的概念：无阻尼：ω→ωn时，位移→∞。有阻尼：接近最大值

21第三章单自由度体系(续)

动力放大系数Rd=u0/ust

位移反应滞后相角

22第三章单自由度体系(续)振动测量仪器：

加速度计：测量加速时程（强震仪）位移计：测量位移时程（地震仪）速度计：测量速度

了解原理即可。23第三章单自由度体系(续)隔振（震）：

传递率：24Duhamel积分的物理意义整个荷载时程可以看作是由一系列连续的短脉冲所组成所有的脉冲反应均按同样的圆频率、同样的衰减规律振动体系的动力反应可以将0<t<τ

时段内所有荷载时程FP(t)所激励的在时刻t的全部微分反应相加获得每个短脉冲都激起结构的振动每个短脉冲的幅值是不同的问题：Duhamel

积分的使用条件？每个脉冲在t时刻都有反应Itisimportanttonotethatthisapproachmaybeappliedonlytolinearsystemsbecausetheresponseisobtainedbysuperpositionofindividualimpulseresponses.25频域反应分析的物理意义整个荷载时程可以看作是由一系列连续的频率分量所组成每个频率分量按照各自的衰减规律振动体系的动力反应可以将所有荷载分量所激励的在时刻t的全部反应相加获得每个频率都激起结构的振动每个频率荷载分量的幅值是不同的每个频率分量在t时刻都有反应26与Duhamel积分的对比27第三章单自由度体系(续)

简谐振动试验确定结构的阻尼比ζ

共振放大法：

半功率点法：

基础：动力放大系数Rd

的性质。

28第三章单自由度体系(续)

粘性阻尼的能量耗散和等效粘性阻尼阻尼引起的能量耗散等效粘性阻尼29第三章单自由度体系(续)

滞变阻尼理论（复阻尼理论）滞变阻尼：阻尼力大小与位移幅值成正比而与速度同相。滞变阻尼能量耗散与频率ω无关，符合结构试验。滞变阻尼参数η与粘性阻尼比ζ的关系：30地震反应谱：单自由度体系在给定地震动作用下某种反应量的最大值与体系自振周期之间的关系曲线。（1）单自由度体系（SDOF）（2）给定地震动（3）非一个结构，一系列SDOF（4）某个地震反应（a,v,d）（5）SDOF的最大反应（6）给定的阻尼比（7）弹性结构地震反应谱：反应谱类型：弹性谱和弹塑性谱归一化反应谱——放大系数谱三联谱双向谱损伤谱保险丝谱第四章多自由度体系33第四章多自由度体系34设多自由度体系在进行自由振动时也是在作简谐振动，多自由度体系的振动形式可写为：{φ}—表示体系位移形状向量，它仅与坐标位置有关，不随时间变化，称为振型。

ω

—简谐振动的频率，

θ

—相位角。上式对时间求两次导数可得：35将位移向量{u}和加速度向量{ü}代入无阻尼自由振动方程：因为sin(ωt+θ)为任意的，可以消去，因此，上式是关于{φ}的N阶齐次线性方程组，表征了振型和自振频率的关系，称为运动方程广义特征值问题。由广义特征值可解得ω和{φ}。

36方程存在非零解的充分必要条件是系数行列式等于零：是一关于ω的多项式，称为频率方程。将刚度阵和质量阵代入得频率方程的具体形式：37对于N个自由度的稳定结构体系，频率方程是关于ω2的N次方程，由此可以解得N个正实根（ω12<ω22<ω32…<ωN2）。ωn(n=1,2,…,N)即为体系的自振频率。其中量值最小的频率ω1叫基本频率(相应的周期T1=2π/ω1叫基本周期)。从以上分析可知，多自由度体系只能按一些特定的频率即按自振频率做自由振动。按某一自振频率振动时，结构将保持一固定的形状，称为自振振型，或简称振型。38把相应的自振频率ωn代入运动方程的特征方程得到振型{φ}n={φ1n,φ2n

,…,φNn}T—体系的第n阶振型。由于特征方程的齐次性(线性方程组是线性相关的)，振型向量是不定的，只有人为给定向量中的某一值，例如令φ1n=1，才能确定其余的值。实际求解时就是令振型向量中的某一分量取定值后才能求解。虽然令不同的分量等于不同的量，得到的振型在量值上会不一样，但其比例关系是不变的。所谓振型就是结构不同点(自由度)变化时的比例关系。39以上分析方法就是代数方程中的特征值分析，自振频率相应于特征值，而振型即是特征向量。得到体系的N个自振频率和振型后，可以把振型和自振频率分别写成矩阵的形式，其中，ωn—第n阶自振频率，{φ}n—第n阶振型。[Φ]和[Ω]也分别称为振型矩阵和谱矩阵。或40第四章多自由度体系41第四章多自由度体系42第四章多自由度体系43第四章多自由度体系44振型正交性的物理意义：（1）某一振型的惯性力不会在其他振型上做功，从能量的角度来说，某一振型做简谐振动的能量不会转移到其他振型上。（2）与某一振型相关的等效静力在经历其他阶振型位移时所

做的功为零。45第四章多自由度体系46第四章多自由度体系47第四章多自由度体系48第四章多自由度体系时程分析中Rayleigh阻尼计算时周期的取值问题建立比例阻尼矩阵的最简单方法是使其与质量矩阵或者刚度矩阵成比例，因为无阻尼振型对质量和刚度都是正交的。因而，阻尼矩阵可以表示为：或其中，比例常数的单位分别为相应的阻尼称为质量比例阻尼或刚度比例阻尼，联立求解得出的系数为：50因为很少能够得到阻尼比随频率变化的详细信息，因此通常假设用用于两个控制频率的阻尼比相同，即ξm=ξn=ξ，对于这种情况，得出简化形式给出比例系数：51结构的振型是关于质量阵和刚度阵正交的，很容易想到，质量矩阵和刚度矩阵的线性组合必定满足正交条件，因此Rayleigh阻尼是一种正交阻尼。满足振型正交条件的阻尼也称为经典阻尼。Rayleigh阻尼公式中，a0和a1是待定的两个常数，可以用实际测量得到的结构阻尼比来确定，或通过给定的两个振型阻尼比的值来确定，为此要把Rayleigh阻尼公式化成由阻尼比表示的形式。确定Rayleigh阻尼的原则：选择的两个用于确定常数a0和a1的频率点ωi和ωj要覆盖结构分析中感兴趣的频段。感兴趣频段要根据作用于结构上的外荷载的频率成份和结构的动力特性综合考虑。第四章多自由度体系53第四章多自由度体系54第四章多自由度体系55多自由度体系的计算重点：（1）体系运动方程的建立；（2）MDOF体系(2-3DOF)周期（频率）和振型的求解；（3）振型叠加法求MDOF体系(2-3DOF)的动力反应；时域逐步积分法——Step-by-stepmethods结构动力反应分析的时域直接数值计算方法：（1）分段解析法；（2）中心差分法；（3）平均常加速度法；（4）线性加速度法；（5）Newmark-β法；（6）Wilson-θ法••••••••时域逐步积分法是结构动力分析问题中一个得到广泛研究的课题，也是得到广泛应用的计算方法。56第五章直接积分法收敛性当Δt→0时，数值解是否收敛于精确解计算精度截断误差与时间步长Δt的关系，若误差ε∝0(Δtn)，则称方法具有n阶精度稳定性随时间步数i的增大，数值解是否变得无穷大计算效率所花费的计算时间算法评价准则一个好的数值分析方法必须是收敛的、有足够的精度、良好的稳定性及较高的计算效率。57根据是否需要联立求解耦联方程组，逐步积分法可分为两大类：隐式方法

逐步积分计算公式是偶联的方程组，需联立求解，计算工作量大，通常增加的工作量与自由度的平方成正比，例如Newmark-β法、Wilson-θ法。

显式方法

逐步积分计算公式是解偶的方程组，无需联立求解，计算工作量小，增加的工作量与自由度成线性关系，如中心差分方法（无阻尼时）。58Newmark–β法与其它积分方法的关系：通过对Newmark-β法中控制参数β取不同的值也可以得到其它时域逐步积分方法。下表给出了β取不同值时Newmark-β法所对应的逐步积分法。(冲击加速度法)59第五章直接积分法60Newton—Raphson方法在每一迭代步中，刚度是变化的，而修正的Newton—Raphson法，在不同迭代步中的刚度不变，因此，也常称Newton—Raphson法为变刚度迭代法，而修正的Newton—Raphson方法为常刚度迭代法。61基本原则：1）内力和外荷载的平衡(δ-ε或F-D关系的追踪)；2）恢复力关系：

a.非线性的

b.提前给定的；3）每次迭代按弹性。（1）第i时刻：作用力为，用ti点切线刚度计算得到

（按弹性），但内力增量为，有个不平衡力。（2）以不平衡力为外力荷载，用4点的切线刚度求得（弹性），但内

力增量为，有不平衡力：（3）依次类推，直到平衡为止。Rayleigh法评述：Rayleigh法的基本原理是能量守衡定律。对任意的保守系统，其振动频率可以根据Rayleigh法由振动过程中的最大应变能与最大动能相等而求得。对于具有任意自由度的结构体系的两种处理方式：一种是把结构看成连续体系，通过假设结构在基本模态中的变形形状和运动幅值(广义坐标)变化规律，将连续的结构体系化为单自由度体系，利用振动过程中最大应变能与最大动能相等的原则求结构基频；另一种处理方式则是在多自由度离散坐标系中应用同样的方法求解结构基频。Rayleigh法求得的频率结果比精确解偏大，主要是因为假设某一特定的曲线作为振型曲线，即相当于在体系上增加某些约束，从而增大了体系的刚度，故所得频率值将偏大。

62第六章实用振动分析(动力自由度选择)

虽然用Rayleigh法能获得较为满意的结构基频的近似解，但在动力分析中，为得到足够精确的结果，常常需要使用一阶以上的振型和频率。Rayleigh法的Ritz扩展可以求得结构前若干阶固有频率的近似值，同时还可以获得相应阶数的振型。Rayleigh-Ritz法首先通过假设一组振型，要求其Rayleigh熵取极值，从而获得一低阶的特征方程组，由此低阶方程组可以获得体系的一组自振频率和自振振型。

就像Rayleigh法相当于基本矩阵迭代法的一次循环一样，Rayleigh-Ritz法的改进过程可以看做是一种迭代解法的第一次循环。然而，基本矩阵迭代分析只能产生一个振型和频率，而连续使用Ritz改进过程能同时求得一组缩减了的振型和频率。这个方法称为“子空间迭代法”。63子空间迭代法＝矩阵迭代法＋Rayleigh-Ritz法用矩阵迭代法通过迭代使计