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PAGEPAGE1总分一（1－8）一（9-10）二三四五六班级学号姓名…………○…………密…………○…………班级学号姓名…………○…………密…………○…………封…………○………线……东北大学研究生院考试试卷2009—2010学年第1学期课程名称：数值分析5．求5．求满足条件的三次插值多项式的表达式。解设，则，。于是，。6.设求积公式是插值型求积公式，求.解。或，由于公式对精确成立，所以。7．求区间[－1，1]上权函数为的二次正交多项式。解，，8．设，求差商。解，，。一、解答下列各题：（每题5分，共50分）1．设近似值近似具有5位有效数字，求的相对误差限。解2．用LU分解法求方程组的解。解由于，所以解Ly=b得：，再解Ux=y得。3．解线性方程组的迭代格式是否收敛，为什么？其中。解不收敛。因为是M的特征值，所以.4．求简单迭代法的收敛阶。解设得，即。又由于，所以，，，所以，迭代法收敛阶为2。9．给定离散数据x9．给定离散数据xi－1012yi3124试求形如的拟合曲线。解基函数为，，于是,,，正则方程组为：，解之得：所以，拟合曲线为：。10．求解初值问题的改进Euler方法是否收敛？为什么？解因为关于变量y满足Lipschitz条件，故收敛。二、（11分）用Jacobi法解线性方程组，取，若使，问应迭代多少步？解由于Jacobi迭代矩阵为,.迭代一步得：，若使，则有：所以，取k＝52。即应迭代52步。三、（11分）说明方程在区间[1,2]内有唯一根，并建立一个收敛的迭代格式，使对任意初值都收敛，说明收敛理由。解记，则，且，，。所以，方程在区间[1,2]内有唯一根。将方程改写成：，建立迭代格式：由于迭代函数满足：，所以，对任意初值迭代法都收敛。四、（11分）利用复化Simpson公式计算定积分若使，问应取为多少？并求此近似值。解由于，所以，n应满足：，故，应取n＝3。而且有：…………○…………密…………○…………封…………○………线……六、(6分)利用Lagrange基函数性质，证明：六、(6分)利用Lagrange基函数性质，证明：，。证明：取节点，，则有：，由插值多项式的唯一性有：取得：即：，。五、（11分）已知求解常微分方程初值问题：的差分公式：求此差分公式的阶。解由于于是，，此

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