《常微分方程》理论教学大纲

PAGEPAGE7《常微分方程》教学大纲课程名称常微分方程课程代码04031216课程性质及类别性质：□通识教育课程□学科专业基础课程☑职业发展课程□教师教育课程类别：☑必修□选修课程学分与学时3学分/48学时（课堂讲授48学时，实验实践0学时，自主学习0学时）先修课程数学分析、高等代数适用专业金融数学开设学期第4学期课程教学目标于任务《常微分方程概论》是金融数学专业必修的一门专业基础课，是数学分析和线性代数的后继课程。在反映客观现实世界运动过程的量与量之间的关系中，存在大量满足常微分方程关系式的数学模型，需要我们通过求解常微分方程来了解未知函数的性质，所以常微分方程是解决实际问题的重要工具。通过学习《常微分方程》，学生学习确定数学模型的思想方法，把数学理论和方法运用到解决实际问题中去，从而获得建立简单常微分方程模型与求解微分方程的知识。该课程在培养学生扎实的数学专业基础知识方面、在培养学生严谨的数学抽象思维能力方面，及在培养有志于在教育科研部门从事教学科研工作的应用型金融本科人才等方面起着重要作用。通过本课程的学习，使学生具备下列能力：1.了解《常微分方程》课程知识体系、微分方程的发展历史和前沿动态；理解微分方程中金融相关的数学模型，学习建立和解决确定性数学模型的思想方法，把数学理论和方法运用到解决实际问题中去；掌握各类常微分方程（组）的基本理论和解法，熟悉理解微分方程的存在唯一性定理。【毕业要求1】2.使学生具有扎实的数学基础知识、数学运算能力和简单的数学建模能力。具备有效的学习方法与策略，具有一定的发现、辨析、质疑、创新能力，适应金融理论和实践快速发展的客观情况，与时俱进。【毕业要求2】3.理解《常微分方程》课程的核心内涵，深入体会其人文素养，了解学校文化和教育活动的育人内涵和方法；从而使学生具备良好的政治素养，热爱祖国，有理想、有道德，愿为我国社会主义现代化建设服务；具有良好的专业素养和科学文化素养；具有谦虚、好学、诚实守信、忍耐、宽容等优良品质；具有较强的敬业精神和团队合作意识；具有良好的人际关系沟通能力；具有高尚的职业操守、职业道德和敬业精神。【毕业要求3】二、教学内容与学时分配第一章绪论(2学时)一、本章重点、难点1．教学重点：常微分方程阶数的定义、线性和非线性的定义、简单的数学模型的建立2．教学难点:线性和非线性的定义、简单的数学模型的建立二、主要内容及学时分配1.常微分方程模型（1学时）人口模型；传染病模型；另外可补充：经济管理中的经济增长模型和供求关系的价格均衡模型，综合国力与经济调整模型等。2．基本概念和常微分方程的发展历史（1学时）常微分方程基本概念：常微分方程和偏微分方程，线性和非线性，解和隐式解，通解和特解，积分曲线和方向场。常微分方程发展历史*第二章一阶微分方程的初等解法（16学时）第一节变量分离方程与变量变换（4学时）一、本节重点、难点1．教学重点：变量分离方程、齐次方程、分式线性方程的解法2．教学难点：利用变量代换求解可化为变量分离方程的各类方程，通解的完善性。二、主要内容及学时分配1.变量分离方程（1学时）；2.可化为变量分离方程的类型（齐次方程、分式线性方程）（3学时）。第二节线性微分方程与常数变易法（2学时）一、本节重点、难点1．教学重点：线性微分方程的概念和解法；伯努利微分方程的概念和解法。2．教学难点：常数变易法、伯努利微分方程通解的完善性。二、主要内容及学时分配1.线性微分方程（1学时）2.伯努利微分方程（1学时）第三节恰当微分方程与积分因子（6学时）一、本节重点、难点1．教学重点：恰当微分方程的判定与求解；积分因子。2．教学难点：积分因子的求法，通解的完善性。二、主要内容及学时分配1.恰当微分方程（3学时）2.积分因子（3学时）第四节一阶隐式微分方程与参数表示（4学时）一、本节重点、难点1．教学重点：四种类型的一阶隐式微分方程的解法2．教学难点：四种类型解法的分辨、第四种隐式微分方程通解的完善性。二、主要内容及学时分配1.可以解出y(或x)的方程（2学时）2.不显含y(或x)的方程（2学时）第三章一阶微分方程的解的存在定理（4学时）一、本节重点、难点1．教学重点：解的存在唯一性定理、微分方程解的近似计算和误差估计2．教学难点：存在唯一性定理的证明、解的延拓。二、主要内容及学时分配1.解的存在唯一性定理与逐步逼近法（4学时）存在唯一性定理，近似计算和误差估计2.解的延拓第四章高阶微分方程（16学时）线性微分方程的一般理论（4课时）一、本节重点、难点1．教学重点：齐次线性微分方程的解的性质与结构、非齐次线性微分方程解的性质与结构，常数变易法。2．教学难点：函数线性相关、线性无关相关定理的证明、常数变易法的推导。二、主要内容及学时分配1.引言、2齐次线性微分方程的解的性质与结构（2学时）3.非齐次线性微分方程与常数变易法（2学时）第二节常系数线性微分方程的解法（10学时）一、本节重点、难点1．教学重点：微分方程转化为代数方程的思想、常系数齐次线性微分方程和欧拉方程的解法、比较系数法求解非齐次线性微分方程。2．教学难点：欧拉方程的解法，比较系数法求解非齐次线性微分方程，拉普拉斯变换法。二、主要内容及学时分配1.复值函数与复值解（2学时）2.常系数齐次线性微分方程和欧拉方程（4学时）3.非齐次线性微分方程比较系数法与拉普拉斯变换法（4学时）第三节高阶性微分方程的降阶和幂级数解法（2学时）一、本节重点、难点1．教学重点：方程不显含x的微分方程的降阶、不显含自变量t的方程的降阶。2．教学难点：不显含自变量t的方程的降阶，齐次线性微分方程的降阶。二、主要内容及学时分配1.可降阶的一些方程类型（2学时）2.二阶线性微分方程的幂级数解法第五章线性微分方程组(10学时)第一节存在唯一定理（2学时）一、本节重点、难点1．教学重点：线性微分方程组相关记号和定义，高阶线性微分方程和线性微分方程组之间的转化。2．教学难点：高阶线性微分方程和线性微分方程组之间的转化，存在唯一性定理。二、主要内容及学时分配1.记号和定义（2学时）2.存在唯一性定理第二节线性微分方程组的一般理论（4学时）一、本节重点、难点1．教学重点：齐次线性微分方程组解的性质与结构，非齐次线性微分方程组解的性质与结构，常数变易法。2．教学难点：常数变易法。二、主要内容及学时分配1.齐次线性微分方程组（2学时）2.非齐次线性微分方程组（2学时）第三节常系数线性微分方程组（4学时）一、本节重点、难点1．教学重点：矩阵指数的定义、基解矩阵的计算公式。2．教学难点：基解矩阵的计算。二、主要内容及学时分配1.矩阵指数expA的定义和性质（2学时）2.基解矩阵的计算公式（2学时）三、教学方法与手段1.科学设置课程教学模式将微分方程看成一门只讲基础知识和方程解法的纯理论性课程，教学效果就比较差。应结合新的教学实际，结合金融数学的其他课程，适当讲解相关模型，如经济管理中的经济增长模型和供求关系的价格均衡模型，综合国力与经济调整模型。2．合理整合教学内容课本中只有教学的基本内容，教师可根据学生的实际情况特别是按照课程教学模式的要求，对教学内容进行合理安排。首先，对教材的基本内容进行适当处理，例如，第四章高阶微分方程和第五章微分方程组的基础理论部分是及其相似的，可以把高阶微分方程看作微分方程组的特殊。这样，第五章的许多公式和定理就不必再作详细证明了。再次，要结合教学模式的设计，合理安排教学模块。一是理论模块。有些理论是分散在各章的，应注意及时整理总结，例如，存在唯一性定理。二是解方程模块，这是理论模块的落脚点之一，其内容分散在各章中，类型多，内容杂，要及时归类，并加强训练。以第二章“一阶微分方程的初等解法”为例，教师可抓住变量分离方程和恰当方程这两个中心，浸透化归思想，即其它几种类型的方程都可归结为这两种类型的方程。3．采用多样化教学手段与教学方式对数学教学来说，可以采用“PPT”与“黑板+粉笔”相结合的教学手段，且“黑板与粉笔”应依然占有较大的使用比例，因为数学需要一步步推演，而思维有一种“时滞”现象，这种推演的过程正是学生思考理解的过程．因此，在教学中“黑板+粉笔”仍旧是无法替代的，这种教学方式灵活性强，可随时根据学生的情况进行调整，并能增加师生的交互性，其推导的过程能够吸引学生的注意力，引导学生思考。现有的考核方式并不能反映学生掌握知识的真实情况，由清华大学和学堂在线推出的雨课堂能很好地解决这一问题．例如，教师可以布置课前学习任务，及时地了解学生预习情况，课程进行过程中学生可以发弹幕提问，随机点名可以节约以前点名占用的时间，这些使用功能可以让教师快速有效地了解学生的学习情况。四、课程考核方式1.作业成绩围绕课程的学习目标进行作业的设计，每位同学至少提交3次作业（每次作业分设置100分），并以3次作业的平均分作为作业成绩（最高100分）。2.课堂表现在课堂发言、提问等情况，最高100分。3.考勤每旷课一次扣20分，每迟到或者早退一次扣5分，全勤计100分，全勤计100分。4.期末考核方式理论闭卷笔试，成绩最高100分。5.课程成绩课程成绩=期末成绩70%+作业成绩20%+课堂表现成绩5%+考勤5%。五、其他（一