天津市西青区2023-2024学年高二上学期期末学业质量检测数学试卷（解析版）

PAGEPAGE1天津市西青区2023-2024学年高二上学期期末学业质量检测数学试卷第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（）A.30° B.60° C.120° D.150°〖答案〗B〖解析〗由题设，直线的斜率为，根据斜率与倾斜角关系及倾斜角范围知：倾斜角为60°.故选：B2.在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗点关于平面的对称点是．故选:B.3.已知数列满足，，则（）．A. B. C.3 D.〖答案〗C〖解析〗因为，，所以，，，．故选：C4.已知椭圆：的离心率为，则（）A. B.1 C.3 D.4〖答案〗C〖解析〗由题意可知.故选：C5.圆与圆的位置关系为（）A.相交 B.相离 C.外切 D.内切〖答案〗A〖解析〗圆，即的圆心，半径，圆的圆心，半径，因此，显然，即，所以圆与圆相交.故选：A6.在中国农历中，一年有24个节气，北京2022年冬奥会开幕式上“二十四节气”的倒计时让全世界领略了中华智慧.从冬至日起，依次有小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这些节气的日影长依次成等差数列，小寒、雨水、清明日影长之和为31.5尺，则前九个节气日影长之和为（）A.94.5尺 B.93.5尺 C.92.5尺 D.91.5尺〖答案〗A〖解析〗设小寒日影长为，则，可得尺，所以尺.故选：A7.在正方体中，点E为中点，则平面与平面所成角的余弦值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意以为原点，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系：不妨设棱长为1，点E为的中点，所以，显然平面，所以可取平面的一个法向量为，不妨设平面的法向量为，所以，令，解得，即取平面的法向量为，设平面与平面所成角为，则.故选：B.8.方程表示曲线的形状.①当时，方程表示焦点在x轴上的椭圆；②当时，方程表示焦点y在轴上的椭圆；③当时，方程表示焦点在y轴上的双曲线；④当时，方程表示焦点在x轴上的双曲线.以上结论正确的序号是（）A.①③ B.①④ C.②③ D.②〖答案〗A〖解析〗若，将可整理成，当时，可知，则，即；由椭圆标准方程可知，即当时，方程表示焦点在x轴上的椭圆；所以①正确，②错误；当时，，；由双曲线标准方程可得的实轴在y轴上，所以当时，方程表示焦点在y轴上的双曲线，即③正确，④错误；即①③正确.故选：A9.记等比数列的前项和为，若，，则（）A.12 B.18 C.21 D.27〖答案〗C〖解析〗因为为等比数列的前项和，且，，易知等比数列的公比,所以成等比数列所以，所以，解得.故选：C.10.已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A且离心率为，若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的方程为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为到其焦点的距离为5，故，故，故抛物线的方程为，故.因为离心率为，故，故，根据抛物线和双曲线的对称性，不妨设在第一象限，则，则与渐近线垂直，故，故，故，故双曲线方程为：.故选：D.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分.11.已知直线：，直线：，若，则实数a的值为____________.〖答案〗1或〖解析〗由题意直线：，直线：，若，则当且仅当，解得，经检验满足题意.故〖答案〗为：1或.12.已知双曲线（）的两个焦点为，，焦距为20，点P是双曲线上一点，，则__________.〖答案〗〖解析〗由题设，又且，所以，而，则或，其中，故.故〖答案〗为：13.数列的前n项和为，则___________.〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗为：14.如图，在三棱柱中，D，E分别是线段，的中点，设，，.用，，表示___________.〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗为：15.已知圆：与圆：相交于点A、B.①若，则公共弦所在直线方程为_________；②若弦长，则____________.〖答案〗①②〖解析〗①若，则圆：，圆：，两个方程相减得，化简并整理得公共弦所在直线方程为，②若弦长，即公共弦所在直线通过圆心，而两圆方程相减得，化简并整理得公共弦所在直线方程为，所以，解得.故〖答案〗为：.16.已知抛物线C：焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于两点，.①若直线l的斜率为1，则弦长；②以AB为直径的圆交准线于点D，则；③过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线为点C，则直线轴且点A的横坐标为1；④若直线l垂直于对称轴，过抛物线上任一点P作垂直于对称轴的直线，垂足为，则、、成等比数列.以上结论中正确的序号为_____________.〖答案〗②④〖解析〗由题设，令，联立抛物线可得，所以，，可得，①若直线l的斜率为1，则，可得，错；②以AB为直径的圆交准线于点D，由圆的性质知，即，对；③过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线为点C，如下图，则，令，则，故，，即，而，故，可得，即轴，但A的横坐标不一定为1，错；④若直线l垂直于对称轴，过抛物线上任一点P作垂直于对称轴的直线，垂足为，由题设，则，若且，则不妨设，所以、，故，对.故〖答案〗为：②④三、解答题：本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知圆C和直线：，：，若圆C的圆心为且经过直线和的交点.（1）求圆C的标准方程；（2）直线l：与圆C交于M，N两点，且，求直线l的方程.解：（1）联立，解得，故半径为，故圆C的标准方程为；（2）设圆心到直线的距离为，则由垂径定理得，解得，即，解得，故直线l的方程为，即.18.如图，在三棱柱中，平面ABC，，，D、M是线段BC、的中点.（1）求证：平面；（2）求点到平面BCM的距离；（3）求直线与平面BCM所成角.解：（1）连接交于，连接，又平面ABC，平面ABC，则，又，易知为正方形，故是中点，由D是线段BC的中点，则，面，面，所以平面；（2）由题设，可构建如下图空间直角坐标系，则，所以，，若是面BCM的的一个法向量，则，取，故，所以点到平面BCM距离.（3）由（2），可得，所以直线与平面BCM所成角正弦值为，又线面角范围为，故直线与平面BCM所成角为.19.已知数列为等差数列，数列为公比大于0的等比数列，且，，.（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前12项和.解：（1）令公比为且，则，整理，所以，故，又，令的公差为，则，所以，可得，故.（2）由，所以.20.已知椭圆的一个顶点为，左、右焦点为，，其中O为坐标原点，过右焦点的直线交椭圆于P，Q两点，的周长为.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知点C满足，点B在椭圆上（异于椭圆的项点），直线与以C为圆心的圆相切于点M，