四川省宜宾市2024届高三上学期第一次诊断性测试数学试题（理）（解析版）

PAGEPAGE1四川省宜宾市2024届高三上学期第一次诊断性测试数学试题（理）一､选择题1.设集合，则（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因为,所以故选：.2.已知为虚数单位，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意：.故选：B.3.设函数，则（）A.8 B.9 C.22 D.26〖答案〗C〖解析〗,因为，所以,所以.故选：.4.的二项式展开式中的系数为（）A.560 B.35 C.-35 D.-560〖答案〗D〖解析〗由题意知的展开式为，令，得，所以的系数为，故D项正确.故选：D.5.已知点满足不等式组，则最小值为（）A. B. C.5 D.7〖答案〗B〖解析〗作出可行域如图，当目标函数的图象经过点时，有最小值，此时，故选:B.6.华为在过去几年面临了来自美国政府的封锁和限制，但华为并没有放弃，在自主研发和国内供应链的支持下，成功突破了封锁，实现了5G功能.某手机商城统计了最近5个月华为手机的实际销量，如下表所示：时间（月）12345销售量（万部）0.50.81.01.21.5若与线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（）A.样本中心点为B.由表中数据可知，变量与呈正相关C.D.预测时华为手机销量约为1.86（万部）〖答案〗D〖解析〗由表格数据可以计算出，，则样本中心点为，即选项A说法正确；从表格数据可得：y随着x的增加而增加，所以变量y与x正相关，即选项B说法正确；将样本中心点代入，可得，即选项C说法正确；由C可知线性回归方程为，将代入可得，则选项D说法不正确.故选：D.7.已知是数列的前n项和，若，，则（）A.数列是等比数列 B.数列是等差数列C.数列是等比数列 D.数列是等差数列〖答案〗C〖解析〗因①可得，当时，②，于是，由①-②可得：，即，可得，因，在中，取，可得，即，故数列不是等比数列，选项A，B错误；又因当时，都有，代入中，可得，整理得：，故数列是等比数列，即选项C正确，D错误.故选：C.8.函数的图象大致是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗令，得或，令，得，故排除CD，又当时，，故排除B.故选：A.9.将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于原点对称，则的最小值是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意可知：函数的图像关于点对称，则，解得，且，解得，即，所以当时，取到最小值是.故选：A.10.某校举办中学生乒乓球运动会，高一年级初步推选3名女生和4名男生参赛，并从中随机选取3人组成代表队参赛，在代表队中既有男生又有女生的条件下，女生甲被选中的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗用A表示事件“代表队既有男生又有女生”，B表示事件“女生甲被选中”，则在代表队中既有男生又有女生的条件下，女生甲被选中的概率为.所以，故选：B.11.漏刻是中国古代科学家发明的一种计时系统，“漏”是指带孔的壶，“刻”是指附有刻度的浮箭.《说文解字》中记载：“漏以铜壶盛水，刻节，昼夜百刻．”某展览馆根据史书记载，复原唐代四级漏壶计时器．如图，计时器由三个圆台形漏水壶和一个圆柱形受水壶组成，水从最上层的漏壶孔流出，最终全部均匀流入受水壶．当最上层漏水壶盛满水时，漂浮在最底层受水壶中的浮箭刻度为0,当最上层漏水壶中水全部漏完时，漂浮在最底层受水壶中的浮箭刻度为100．已知最上层漏水壶口径与底径之比为，则当最上层漏水壶水面下降至其高度的三分之一时，浮箭刻度约为（四舍五入精确到个位）（）A.88 B.84 C.78 D.72〖答案〗B〖解析〗由根据题意可知:最上层漏水壶所漏水的体积与浮箭刻度成正比，设最上层漏水壶的口径与底径分别为，高为，则体积为,当最上层漏水壶水面下降到高度的三分之一时，设此时浮箭刻度为，因为已漏下去的水组成以上下口径为，高为的圆台，体积为，可得，解得，故选:B.12.已知函数的定义域为的图像关于对称，且为奇函数，，则下列说法正确的个数为（）①；②；③；④.A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗C〖解析〗因为为奇函数，所以，则，所以对称中心为，又因为的图像关于对称，则，所以，则，所以的周期，①，所以①正确；②因为，，对称中心为，所以，所以，所以②正确；③因为，所以，因为，所以，则，所以，所以③错误；④因为且周期，所以，则的周期为，因为，，，，所以，所以，所以④正确.故选：C.二､填空题13.若函数在处的切线平行于x轴，则________．〖答案〗3〖解析〗因为,所以,则,解得，故〖答案〗为:3.14.已知，，且，则________．〖答案〗1〖解析〗,解得，故〖答案〗为:1.15.已知等差数列的公差为，集合，若，则________．〖答案〗〖解析〗因为等差数列的公差为，所以，所以，所以数列是周期为3的数列，又，故中必有两者相等，不妨设，则（舍）或，而或，若，故，，连续三个中第三数为或为，此时或.若，则，，此时这两个数的中间数，此时或.综上，.故〖答案〗为：16.正方体的棱长为1，点为线段的中点，则三棱锥外接球的表面积为__________.〖答案〗〖解析〗以D为坐标原点，DA、DC、方向分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系.则，，，，M为线段的中点，则，显然点M为△的外接圆圆心.则，，，，即为平面的一个法向量，即平面.则三棱锥外接球的球心O在直线PM上，连接OD，则设OD=OP=R.设，即.所以，即解得.则，所以则三棱锥外接球的表面积为.故〖答案〗为：.三､解答题（一）必做题17.已知等差数列的前n项和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和．解：（1）设数列的公差为，则，解得，所以.（2）由（1）得，，，两式相减得：，所以.18.如图所示，是正三角形，平面，，，，且F为的中点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成二面角的正弦值.（1）证明：取AB中点M，连接MF、MC，则，且.又因为，所以，即四边形MFDC为平行四边形，所以；又有平面ABC，平面ABC，所以平面.（2）解：延长ED、AC相交于点N，连接BN，则BN为平面与平面的交线.，，则DC为的中位线，所以，即，所以.而，，，即.所以即为平面与平面所成二面角的平面角.，故平面与平面所成二面角的正弦值为.19.自1996年起，我国确定每年3月份最后一周的星期一为全国中小学生“安全教育日”.我国设立这一制度是为全面深入地推动中小学生安全教育工作，大力降低各类伤亡事故的发生率，切实做好中小学生的安全保护工作，促进他们健康成长.为了迎接“安全教育日”，某市将组织中学生进行一次安全知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下，得分在内的学生获三等奖，得分在内的学生获二等奖，得分在内的学生获一等奖，其他学生不获奖.为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，统计如下：成绩（分）.频数6121824181210（1）若现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生中恰有一名学生获一等奖的概率；（2）若该市所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布，利用所得正态分布模型解决以下问题：（i）若该市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过85分的学生数（结果四舍五入到整数）；（ii）若从所有参赛学生中（参赛学生数大于100000）随机抽取4名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在65分以上的学生数为Y，求随机变量Y的分布列及数学期望.附参考数据：若随机变量X服从正态分布，则：解：（1）从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，基本事件总数为，设抽取的两名学生中恰有一名学生获一等奖为事件，则事件包含基本事件的个数为，因为每个基本事件出现的可能性都相等，所以，故抽取的两名学生中恰有一名学生获一等奖的概率为.（2）（ⅰ）因为，所以：，所以参赛学生中成绩超过分的学生数约为人（ⅱ）由，得，即从所有参赛学生中堕机抽取名学生，该生竞赛成绩在分以上的概率为，所以随机变量服从二项分布，所以，，，，，所以随机变量的分布列为：所以期望为.20.已知抛物线为上一点，到的焦点的距离为.（1）求的标准方程；（2）设为坐标原点，，为抛物线上异于两点，且满足.判断直线是否过定点，若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.解：（1）因为在抛物线上，且到的焦点的距离为，即，所以，解得，所以的标准方程为.（2）由（1）得点坐标为，由题知直线斜率不为，设直线为，联立，得，，即，，，所以，，因为，，，所以，即，当与同号时，，即，此时，所以直线方程过定点，当与异号时，，即，此时，直线方程过定点，则此时与点中任意两点不重合矛盾，故直线过定点，定点坐标为.21.已知，记在处的切线方程为.（1）证明：；（2）若方程有两个不相等的实根，证明：.证明：（1）的定义域为，，，，，即.令，，，令，解得，当时，，在单调递减，当时，，在单调递增，，恒成立，即；（2）由（1）知，令，得，当时，，在单调递增，当时，，在单调递减，，当时，；当时，，方程有两个不相等的实根，且，，，函数在处的切线方程为，即.下证：令，，令，解得，当时，，在单调递减，当时，，在单调递增，，恒成立，即，当且仅当时等号成立.，，即，由（1）知，，，，即，.（二）选做题[选修：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系中，射线l的方程为，曲线C的方程为．以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求射线l和曲线C的极坐标方程；（2）若射线l与曲线C交于点P，将射线绕极点按逆时针方向旋转交C于点Q，求的面积．解：（1）将代入得，所以，所以