知识资料理论力学动力学(二)(新版)

朽木易折，金石可镂。千里之行，始于足下。PAGE第页/共页7（三）例题[例4—3—1］图4—3—1所示半径为R的偏心轮绕O轴以匀角速度ω转动，推进导板AB沿铅垂轨道运动。已知偏心距OC＝e，开始时OC沿水平线。若在导板顶部放有一质量为m的物块M，求：(1)物块对导板的最大反力及此时偏心C的位置；(2)使物块不离开导板的ω的最大值。[解]本题按照题意可列出物块的运动方程，运用导数的运算可求物块的加速度。于是应用质点的运动微分方程，可求出导板对物块的反力。属于第一类问题。 (1)对象：取物块M为研究对象。 (2)受力分析：选任一瞬时t举行分析，作用于物块上的力有重力P和导板对物块的作使劲N，受力图如图4—3—1(b)所示。(3)运动分析：物块沿铅垂线运动。 (4)选坐标：因为物块沿铅垂线运动，将坐标原点取在固定点O上，并取x轴铅垂向上为正。 (5)建立运动微分方程并解。应用直角坐标形式微分方程：得物块放在导板上，导板作平动，故物块的加速度即等于导板的加速度。按照题意可列出导板上D的运动方程为物块的加速度将式(3)代入式(1)，得由式(4)可见，当sinωt=-1时，即C点在最低位置，N达到最大值当sinωt=1时，即C点在最高位置，N达到最小值欲使物块不离开导板，则Nmin≥0，即故物块不离开导板ω的最大值为。[例4—3－2]图4—3—2(a)所示桥式起重机上的小车，吊着重为P=100kN的物体沿水平桥架以速度v0=lm／s作匀速直线移动。重物的重心到悬挂点的距离为l=5m。当小车骤然停车时，重物因惯性而继续运动，此后则绕悬挂点摆动。试求钢丝绳的最大拉力。 [解]取重物为研究对象，并将重物视为质点。设小车骤然停车后的随意瞬时t，钢丝绳与铅垂线的夹角为φ(φ角由图示铅垂轴x的正向逆时针转向量取为正)。作用在重物上的力有：重物的重力P和钢丝绳的拉力T，受力图如图4-3—2b所示。取天然轴系的τ、n轴的正向如图示(τ轴指向φ增强的一方)。由式(4—3—5)可得显然，如能求出v(这是第二类问题)，则代人式(2)即可求得T。为此，将式(1)改写成为由运动学知dφ/dt=v/l,代人上式得或在初瞬时(即小车骤然停车的瞬时)，重物的速度为v。，钢丝绳与铅垂线的夹角为零，既t=0时，v=v0,φ=0；而在任一瞬时t时，重物的速度为v，钢丝绳与铅垂线的夹角为φ。作定积分得式(3)就是重物的速度变化逻辑。当φ增大。v随之减小，当φ=0时，v2=v02，v值为最大。由式(2)得因为当φ=0时，v具有最大值v。，cosφ=1也为最大值，故此时T具有最大值将，代入式(5)，可得（四）解题注重事项1，质点动力学基本方程只适用于惯性坐标系，其中各项加速度必须为绝对加速度。2．有限个质点组成的质点系用动力学基本方程求解时，必须对每一个质点建立方程。3．建立质点运动微分方程时，应将质点置于普通位置分析受力与运动，且此位置处于坐标系的第一象限为妥。同时必须注重力和加速度在坐标轴上的投影的正负号。研究质点运动微分方程之后，将继续学习动力学普遍定理，它包括动量定理(含质心运动定理)、动量矩定理和动能定理。这些定理都是从动力学基本方程推导得来的。它们建立了一些表明运动的度量(动量、动量矩和动能)与表明力的作用效果的量(如冲量、力矩和功)之间的关系。应用这些定理解一些动力知识题是比较方便的。从数学上看，这些定理只是在一定条件下运动微分方程另一种形式或它们的积分，但经过数学变换而浮上在各定理中的量(动量、动量矩、动能、冲量、功等)都有明确的物理意义，各相关量之间也有容易而决定的关系，这不仅使我们对机械运动的了解更深入，而且能更有效地举行研究。下面依次研究这些定理，重点是质点系有关定理。二、动量定理动量定理建立了质点或质点系动量的改变与作用在其上的力的冲量之间的关系，由此还可以得动量守恒定律及质心运动定理。（一）基本概念1．质心：对质量M＝∑mi质点系，若其任一质点对某一固定点的矢径为ri，则由矢径所决定的一点C称为此质点系的质量中央，简称质心。2．动量：是物体某瞬时机械运动的一种度量。以K表示。(1)质点的动量：质点的质量m与其速度v的乘积，其表达式为K=mv(2)质点系的动量：各质点动量的矢量和，其方向与质心的速度VC的方向相同，其表达式为式中mi——质点系中第i个质点的质量；M＝∑mi——质点系的质量；vi——质点系中第i个质点的速度；vc——质点系质心C的速度。3．冲量：是力在某一段时光间隔内作用效应的度量。以S表示。(1)常力的冲量：S=Ft;(2)变力的冲量：。（二）动量定理、质心运动定理动量定理与质心运动定理的表达式如下表所示表4—3—1的式中，为作用在质点系上的所有外力的矢量和，即外力系的主矢；为此外力系在时光(t2—t1)内的冲量的矢量和；K2和K1分离为t1，t2时刻的动量；ac和vc分离为质心的加速度和速度；脚标x、y、z和τ、n、b分离表示相应物理量在直角坐标轴和天然轴上的投影。（三）例题 [例4—3—3]滑块C的质量m=19．6kg，在力P=866N的作用下沿倾角为β=30°的导杆AB运动。已知力P与导杆AB之间的夹角α=45°，滑块与导杆间的动摩擦系数f’=0．2，初瞬时滑块处于静止。试求滑块的速度增大到v=2m／s所需的时光。 [解](1)对象取滑块C为研究对象。 (2)受力分析滑块C上受重力mg、导杆对滑块C的法向反力Nc、摩擦力F及拉力P等四个力的