青海省2024届高三上学期协作联考数学试题（理）（解析版）

PAGEPAGE1青海省2024届高三上学期协作联考数学试题（理）第I卷一､选择题1.设复数，则（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以，故选：B.2.已知集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，所以，所以，因为，所以，所以，所以，故选：D.3.在中，角所对的边分别为.若，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗根据正弦定理可知，，，则，得.故选：A4.已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则（）A. B.1 C. D.2〖答案〗A〖解析〗因为，所以，又因为切线与垂直，所以，所以，故选：A.5.下列区间中，函数单调递增的区间是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗令，得，，当时，增区间是，当时，增区间是，其中只有是增区间的子集.故选：C6.已知函数为定义在上的奇函数,命题,命题，，则下列命题中为真命题的是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗令，所以为定义在上的奇函数，所以，所以，所以为真命题，又因为，，即，即，所以为真命题，所以为真命题，故选：A.7.古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率.黄金分割率的值也可以用表示，即，设为正五边形的一个内角，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以，所以，故选：A.8.用2个0，2个1和1个2组成一个五位数，则这样的五位数有（）A.8个 B.12个 C.18个 D.24个〖答案〗C〖解析〗当首位为2时，这样的五位数有个；当首位为1时，这样的五位数有个.综上，这样的五位数共有个.故选：C.9.某圆锥的轴截面是一个边长为4的等边三角形，在该圆锥中内接一个圆柱，则该圆柱的侧面积的最大值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意作图如下：由题设可知该圆锥的高．设在该圆锥中内接一个高为的圆柱，该圆柱的底面半径为，由，则，即，所以，故该圆柱的侧面积，当时，侧面积取得最大值．故选：C10.已知贵州某果园中刺梨单果的质量（单位：）服从正态分布，且，若从该果园的刺梨中随机选取100个单果，则质量在的单果的个数的期望为（）A.20 B.60 C.40 D.80〖答案〗B〖解析〗因为(单位)服从正态分布，且，所以，若从该果园的刺梨中随机选取100个单果，则质量在的单果的个数，所以.故选：B11.已知为抛物线上一动点，是圆上一点，则的最小值是（）A.5 B.4 C.3 D.2〖答案〗B〖解析〗的焦点为，准线为，即为，所以圆心为即为焦点，半径，显然在抛物线内部，过点作准线，交准线于点，记点如下图所示：所以，当且仅当三点共线时取最小值，此时，所以的最小值为，故选：B.12.已知函数，若关于的方程有3个实数解，且则的最小值是（）A.8 B.11 C.13 D.16〖答案〗C〖解析〗由函数，作出函数的大致图象，如图所示，由图可知，则，因为，所以，设函数，则，当时，；当时，，所以，即的最小值是.故选：C.第II卷二､填空题13.已知双曲线的一条渐近线方程为，左焦点为，则的实轴长为__________.〖答案〗〖解析〗因为一条渐近线方程为，即，所以，又因为左焦点为，所以，解得，所以实轴长为，故〖答案〗为：.14.若实数满足约束条件则的最小值是__________.〖答案〗〖解析〗如图，画出约束条件表示的可行域，目标函数，当，得，当目标函数平移至点，目标函数取得最小值，联立，得，，即，所以目标函数的最大值.故〖答案〗为：.15.如图，直径的半圆，为圆心，点在半圆弧上，为的中点，与相交于点，则__________.〖答案〗〖解析〗连接，如下图所示：因为为的中点，所以，所以，又因为，所以，所以（负值舍去），因为为直径，所以，所以，故〖答案〗为：.16.在正四棱台中，，点在底面内，且，则的轨迹长度是__________.〖答案〗〖解析〗连接，连接，过点作交于点，因为，所以，所以，所以，因几何体为正四棱台，所以平面，所以，又因为，平面，平面，所以，所以平面，又因为，所以，以为圆心，为半径画圆，如下图，即为的轨迹，过作，分别交于，因为，所以，所以，所以，所以的长度为，故〖答案〗为：.三､解答题（一）必考题17.从某脐橙果园随机选取200个脐橙，已知每个脐橙的质量（单位：）都在区间内，将这200个脐橙的质量数据分成这4组，得到的频率分布直方图如图所示.（1）试问这200个脐橙中质量不低于的个数是多少？（2）若每个区间的值以该区间的中间值为代表，估计这200个脐橙的质量的平均数.解：（1）不低于的频率为，所以这200个脐橙中质量不低于的个数是.（2）平均数为.18.已知数列满足.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.解：（1）当时，，由已知，，①当，，②①②，得，得，当时，，成立，综上可知，；（2）由（1）可知，，则，，，两式相减得，，19.如图，在三棱柱中，平面是等边三角形，且为棱的中点.（1）证明：；（2）若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.（1）证明：由三棱柱的性质可知．因为平面，所以平面．因为平面，所以．因为为的中点，且是等边三角形，所以．因为平面，且，所以平面．（2）解：取的中点，连接．由题意可得两两垂直，故以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．设，则，故．设平面的法向量为，则令，得．设平面的法向量为，则令，得．设平面与平面所成的锐二面角为，则，即平面与平面所成锐二面角的余弦值为．20.已知椭圆的上､下顶点分别是，点（异于两点）在椭圆上，直线与的斜率之积为，椭圆的长轴长为6．（1）求的标准方程；（2）已知，直线与椭圆的另一个交点为，且直线与相交于点，证明：点在定直线上．（1）解：由题意可得，设，则，所以．因为点在椭圆上，所以，所以，则．因为，所以，故椭圆的标准方程为．（2）证明：设，显然直线不垂直于轴，设直线的方程为．由消去得．因为点在椭圆的内部，所以．设直线方程为，直线的方程为，所以．由（1）知，可得因此，即点在直线上．21.已知函数.（1）当时，证明：.（2）试问是否为的极值点?说明你的理由.（1）证明：，要证，只需证，即证，令，则，则在上单调递增，所以，所以当时，，从而当时，得证.（2）解：因为，所以的导数为，故，当时，，当且仅当时取等号，又，当时，，所以，当时，令，则，因为时，，所以，所以在上单调递增，又，所以，使,所以当时，，当时，，所以当时，，即在区间上单调递减；当时，，即在区间上单调递增，又，所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，又，所以，当时，，当时，，所以不是的极值点.（二）选考题[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）.（1）求这两条直线的普通方程（结果用直线的一般式方程表示）；（2）若这两条直线与圆都相离，求的取值范围.解：（1）直线的参数方程为，则，两式相减得直线参数方程为，则代入，得；（2）圆的圆心