湖北省鄂西南三校2023-2024学年高一上学期12月联考数学试题（解析版）

PAGEPAGE1湖北省鄂西南三校2023-2024学年高一上学期12月联考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以.故选：B.2.已知函数的定义域为，则的定义域为（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意知，函数的定义域为，则函数满足，解得或，即函数的定义域为.故选：C.3.已知，则函数的〖解析〗式为（）A. B.（）C.（） D.（）〖答案〗C〖解析〗设（），则，，所以（）.故选：C.4.已知函数，则的图象大致是（）A B.C. D.〖答案〗D〖解析〗函数的定义域为，在定义域内有，所以函数在定义域上是偶函数，则A选项错误；又，则B、C选项错误.故选：D.5.碳14是碳元素的一种同位素，具有放射性.活体生物组织内的碳14质量大致不变，当生物死亡后，其组织内的碳14开始衰减.已知碳14的半衰期为5730年，即生物死亡年后，碳14所剩质量，其中为活体生物组织内碳14的质量.科学家一般利用碳14这一特性测定生物死亡年代.2023年科学家在我国发现的某生物遗体中碳14的质量约为原始质量的0.92倍，已知，则根据所给的数据可推断该生物死亡的朝代为（）A.金（公元年） B.元（公元年）C.明（公元年） D.清（公元1616-1911年）〖答案〗B〖解析〗设活体生物组织内碳14的质量，由题意知：，又，，，所以该生物死亡的朝代为元.故选：B.6.已知关于的不等式恰有四个整数解，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗不等式，可化为，当时，不等式的解集为空集，不合题意；当时，不等式的解集为，要使不等式恰有四个整数解，则，当时，不等式的解集为，要使不等式恰有四个整数解，则，综上可得，实数的取值范围是．故选：C．7.已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（）A B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，，且，所以，当且仅当，即，时取等号，所以，因为恒成立，所以，即，解得，所以实数的取值范围是.故选：C.8.函数的单调区间为（）A.在上单调递减，在上单调递增B.在上单调递减，在上单调递增C.在上单调递增，在上单调递减D.在上单调递增，在上单调递减〖答案〗D〖解析〗由，解得函数的定义域为，由于开口向下，对称轴为.在上递增，根据复合函数单调性同增异减可知函数在上单调递增，在上单调递减.故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列比较大小正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗对于A，由指数函数为单调递增函数，可得成立，所以A正确；对于B，由幂函数在上单调递增，可得成立，所以B不正确；对于C，由指数函数单调递减函数，可得成立，所以C正确；对于D，由，所以，所以D不正确.故选：AC.10.中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列选项中是同一个函数的是（）A.与 B.与C.与 D.与〖答案〗BCD〖解析〗对于A，的定义域为，的定义域为，定义域不同，故不同一个函数；对于B，由得，即的定义域为，由得，即的定义域为，结合，故是同一函数；对于C，因为与的定义域、〖解析〗式相同，故是同一函数；对于D，因为，所以与的定义域、〖解析〗式相同，故是同一函数.故选：BCD.11.定义函数为实数的小数部分，为不超过的最大整数，则不正确的有（）A.的最小值为0，最大值为1 B.在为增函数C.是奇函数 D.满足〖答案〗ABC〖解析〗对于D，因为，使得，此时，，这表明了，故D正确；对于B，首先，由D选项分析可知，，故B错误；对于C，由D选项分析可知，是周期为1的周期函数，所以，故C错误；对于A，由D选项分析得知，是周期为1的周期函数，所以只需研究它在上的最值情况即可，而当时，，即的最小值为0，没有最大值，故A错误.故选：ABC.12.已知定义在的函数满足：当时，恒有，则（）A.B.函数在区间为增函数C.函数在区间为增函数D.〖答案〗BD〖解析〗令，则有，即，故A错误；不妨设，由，可得，∴，∴函数在区间为增函数，故B正确；由选项B可知，函数在区间为增函数，可取，此时在区间为增函数，而，可知函数在上为减函数，在上为增函数，故C错误；∵函数在区间为增函数，，∴，∴，∴，故D正确.故选：BD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，16题第一空2分，第二空3分．13.命题“∀x∈R，<0”的否定是________________．〖答案〗,使得.〖解析〗因为对全称量词的否定用特称量词，所以命题“∀x∈R，<0”即为：“∀x∈R，”，所以其否定是：“,使得”.故〖答案〗为：,使得.14.已知在定义域内单调，则的取值范围是_____________．〖答案〗〖解析〗由分段函数中当时，，对称轴为，所以，当时，函数在上增函数；当时，函数在上单调递减，上单调递增函数，而在上不单调，综上可知，函数在R上单调递增函数，因此可得，解得.故〖答案〗为：.15.已知，若函数的值域为，则实数的取值范围为__________.〖答案〗〖解析〗时，不合题意，因此且，∴.故〖答案〗为：．16.已知函数的定义域为，满足，的图象关于直线对称，且，则______；______.附注：.〖答案〗〖解析〗因为，所以函数的图象关于点对称，且；又的图象关于直线对称，所以的图象关于直线对称，即为偶函数，所以，所以以4为周期，所以，，，，所以，因为，所以，同理，，，，，所以，所以.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.计算下列各式的值：（1）；（2）设，的值.解：（1）.（2），，，，，.18.已知集合，．（1）若，求；（2）若，求实数a的取值集合．解：（1）由题意得集合，，故.（2）由得，由于，故时，，满足题意；当时，对于，，当时，，此时，满足题意；当时，，，此时，要满足，则，故实数a的取值集合为.19.已知幂函数（）是偶函数，且在上单调递增．（1）求函数的〖解析〗式；（2）若，求的取值范围；解：（1）∵，∴，∵，∴，即或2，∵在上单调递增，为偶函数，∴，即．（2）∵，∴，，，∴，即的取值范围为．20.已知函数是定义在上的奇函数.（1）当时，求，的值：（2）若函数在上单调递减.（i）求实数的取值范围；（ii）若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.解：（1）当时，，当时，，，因为为定义在上的奇函数，所以，故，所以，所以.（2）（i）在上单调递减，，开口向下，对称轴为，所以，解得.（ii）为定义在上的奇函数，故，又在上单调递减，故在R上单调递减，故，即恒成立，由于，故，实数的取值范围为.21.2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本5000万元，每生产（百辆），需另投入成本（万元），且，已知每辆车售价15万元，全年内生产的所有车辆都能售完.（1）求2023年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（2）2023年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.解：（1）当时，，当时，，综上，.（2）由（1）知，，当时，，因为，所以，当时，，当时，，当且仅当，即时取等号，此时，又，所以，2023年产量为百辆时，企业所获利润最大，最大利润为万元.22.函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为y关于x的奇函数，给定函数．（1）求的对称中心；（2）已知函数，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围．解：（1）假设的图象存在对称