新教材选择性4.3.3等比数列的前N项和课件（21张）

4.3.3等比数列的前n项和学习目标n项和公式及其获取思路.n项和公式的关系,会用等比数列的前n项和公式

解决与等比数列有关的问题.n项和公式的函数特征,应用等比数列前n项和公式的有关性质

解题.

1|等比数列的前n项和公式 1.设等比数列{an}的前n项和为Sn,公比为q,则已知量首项、公比与项数首项、末项与公比选用公式Sn=

Sn=

2.(1)当公比q≠1时,设A=

,等比数列的前n项和公式是Sn=A(qn-1),即Sn是n的指数型函数.(2)当公比q=1时,因为a1≠0,所以Sn=na1,Sn是n的正比例函数.2|等比数列前n项和的性质已知等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,则利用等比数列的通项公式及其

前n项和公式可推得Sn有如下性质:1.Sn+m=Sm+qmSn=Sn+qnSm,m,n∈N*.q≠-1或q=-1且k为奇数时,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…是等比数列.S偶与S奇n,则

=q;若项数为2n+1,则

=q.q=1时,

=

;当q≠±1时,

=

.

判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”.Sn为数列{an}的前n项和,若Sn=3·2n-3,则该数列是等比数列.

(√)提示:等比数列的前n项和公式可以写成Sn=Aqn-A(q≠1)的形式,所以该数列是等比数列.2.已知数列{an}的通项公式是an=an,其前n项和为Sn,则Sn=

.

(

✕)提示:当a=1时,Sn=n,结论不成立.3.已知等比数列{an}的公比为

,则该数列的前100项中,偶数项的和与奇数项的和的比值为25.

(

✕)提示:当等比数列的项数为2n时,

=q,所以

=

.4.已知数列{an}为等比数列,其前n项和为Sn,则S10,S20-S10,S30-S20,…仍构成等比数列.

(

✕)提示:当公比为-1时不成立.5.已知等比数列{an}是递增数列,其前n项和为Sn,则{Sn}也是递增数列.

(

✕)提示:当a1<0,0<q<1时,等比数列{an}是递增数列,此时an<0,从而{Sn}是递减数列,结论错误.1|等比数列的前n项和公式及其应用

n项和公式要分公比q=1和q≠1两种情况,因此,当公比未知时,要

先对公比进行分类讨论,再求和.(1)若数列{an}的通项公式为an=an,其前n项和为Sn,则Sn=

(2)若已知a1,q(q≠1)和n,则用Sn=

求Sn较简便;若已知a1,q(q≠1)和an,则用Sn=

求Sn较简便.2.在等比数列{an}中,对于a1,an,n,q,Sn这五个基本量,已知其中三个量就可利用通项

公式和前n项和公式求出另外两个量.

(1)在14与

之间插入n个数组成等比数列,若各项总和为

,则此数列的项数为

()A.4

B.5

(2)(2021陕西汉中五校高二月考)等比数列{an}的首项a1=-1,前n项和为Sn,若

=

,则公比q=

.思路点拨(1)利用等比数列的求和公式Sn=

,先求出公比q,再求项数.(2)利用等比数列前n项和的定义求解.解析(1)设该等比数列的公比为q.由题意,可知q≠1,则

=

,解得q=-

,设此数列的项数为m,令

=14×

,解得m=5.故该数列共有5项.(2)由数列前n项和的定义及等比数列的通项公式可得S10=(a1+a2+…a5)+(a6+a7+…+

a10)=S5+q5(a1+a2+…a5)=(1+q5)S5,∴

=1+q5=

,则q5=-

,解得q=-

.答案(1)B(2)-

设Sn为等比数列{an}的前n项和,已知S4=1,S8=17,求Sn.思路点拨思路一:易知q≠±1,故设Sn=Aqn-A(A≠0)

由S4=1,S8=17,求出A,q

求出Sn.思路二:易知q≠±1,由S4=1,S8=17及Sn=

,求出a1,q

求出Sn.解析

解法一:设数列{an}的公比为q.由S4=1,S8=17,知q≠±1,故设Sn=Aqn-A(A≠0),∴

两式相除,化简得q4=16,∴q=±2.当q=2时,A=

,Sn=

(2n-1);当q=-2时,A=

,Sn=

[(-2)n-1].解法二:设数列{an}的首项为a1,公比为q,由S4=1,S8=17,知q≠±1,∴

两式相除并化简,得q4+1=17,即q4=16,∴q=±2.当q=2时,a1=

,Sn=

=

(2n-1);当q=-2时,a1=-

,Sn=

=

[(-2)n-1].2|等比数列前n项和的性质及其应用

恰当使用等比数列前n项和的相关性质可以避繁就简,不仅可以使运算简便,还可

以避免对公比qn项和性质的使用条件,并结合

题设条件寻找使用性质的切入点.

(1)已知一个等比数列的首项为1,项数是偶数,其奇数项之和为85,偶数项之和为1

70,则这个数列的项数为

()A.2

B.4

(2)等比数列{an}中,已知a1+a2+a3+a4=20,a5+a6+a7+a8=10,则数列{an}的前16项和S16

为

()A.20

B.

C.

(3)已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2,S3n=14,则S4n等于

()A.80B.30

思路点拨(1)利用等比数列前n项和的性质:若等比数列的项数为偶数,公比为q,奇数项之和

为S奇,偶数项之和为S偶,则

=q直接求解.(2)利用等比数列的性质:当q≠-1时,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…是等比数列直接求解.(3)思路一:由Sn,S3n的值,求出a1,q

求出S4n.思路二:令n=1,由S1=2,S3=14,求出q

求出S4n.思路三:易知q≠1,故可由Sn=

推出Sn,S3n,S4n之间的关系

求出S4n.思路四:当q≠-1时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n成等比数列

求出S4n.解析(1)设这个等比数列为{an},其项数为2k(k∈N*),公比为q,则其奇数项之和S奇=a1+a3+…+a2k-1=85,偶数项之和为S偶=a2+a4+…+a2k=q(a1+a3+…+a2k-1)=qS奇=170,∴q=

=

=2,∴等比数列{an}的所有项之和S2k=

=22k-1=170+85=255,∴22k=256,解得k=4,∴这个等比数列的项数为8.故选C.(2)由题意得S4=20,S8-S4=10,则

=

,根据等比数列的性质可知S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12构成公比为

的等比数列,所以S12-S8=5,S16-S12=

,所以S8=30,S12=35,S16=

.(3)解法一:设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,∵S3n=14≠3×2=3Sn,∴q≠1.由已知得,Sn=

=2①,S3n=

=14②,

,得q2n+qn-6=0,即(qn+3)(qn-2)=0,∵数列{an}的各项均为正数,∴qn+3>0,∴qn-2=0,即q=

.∴a1=

=2(

-1),∴S4n=

=

=2×15=30.解法二:设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,注意到四个选项都是具体的数值,∴S4n是一个与n无关的定值,不妨令n=1,由解法一知,q≠1,则a1=S1=2,S3=

=14,即q2+q-6=0,解得q=2或q=-3.∵an>0,∴q=2,∴S4=

=2×15=30.解法三:设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,由解法一知,q≠1,∴S4n=

=

=

+qn·

=Sn+qnS3n.这个式子表示了S4n,Sn,S3n之间的关系,要求S4n,只需求出qn即可.∵S3n=(a1+a2+…+an)+(an+1+an+2+…+a2n)+(a2n+1+a2n+2+…+a3n)=Sn+qnSn+q2nSn=Sn(1+qn+q2n),∴

=1+qn+q2n=7,∴q2n+qn-6=0,解得qn=2或qn=-3.∵an>0,∴qn=2,∴S4n=Sn+qnS3n=2+2×14=30.解法四:易知q≠-1,∴Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n成等比数列,又Sn=2,S3n=14,∴(S2n-2)2=2×

(14-S2n),即

-2S2n-24=0,解得S2n=6或S2n=-4,∵an>0,∴S2n=6.又∵

=

=2,∴S4n-S3n=Sn·23=16,∴S4n=S3n+16=30.答案

(1)C(2)B(3)B解题模板通过对比(3)中的四种解题方法,可以发现:解法一思路简便,但运算量过大;解

法二采用特殊值法,使问题简单化;解法三思路略显复杂;解法四应用等比数列前n

项和的性质,简化运算,且思路清晰.3|与等比数列有关的数列求和

一般地,若{an},{bn}中一个是等差数列,一个是等比数列,则常用分组求和法求数

列{an±bn}的前n项和,即先分别求{an},{bn}的前n项和,再将两个和式合在一起.已知数列{an}为等差数列,数列{bn}为公比不为1的等比数列,由这两个数列中项

数相同的项的乘积组成的新数列为{anbn},在求该数列的前n项和时,常常将{anbn}

的各项乘{bn}的公比q,并向后错位一项,与{anbn}中q的同次项对应相减,即可转化

为特殊数列的求和,这种求数列前n项和的方法称为错位相减法.若公比不确定,则

需对其进行分类讨论.求和过程如下:设数列{anbn}的前n项和是Sn,等差数列{an}的首项是a1,公差是d,等

比数列{bn}的首项是b1,公比是q,则当q=1时,Sn=b1(a1+a2+…+an)=b1·

;当q≠1时,Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=a1b1+a2b1q+a3b1q2+…+anb1qn-1,qSn=a1b1q+a2b1q2+a3b1q3+…+an-1b1qn-1+anb1qn,∴Sn-qSn=a1b1+(a2-a1)b1q+(a3-a2)b1q2+…+(an-an-1)b1qn-1-anb1qn.由等差数列的定义知a2-a1=a3-a2=…=an-an-1=d,∴(1-q)Sn=a1b1+db1q+db1q2+…+db1qn-1-anb1qn=a1b1+db1(q+q2+…+qn-1)-anb1qn,∵q≠1,∴Sn=

+db1·

.

(2021湖北四地七校联盟高三期中联考)已知数列{an}的前n项和为Sn,且2,an,Sn成等