现代数字信号处理课件：离散随机信号及信号模型

离散随机信号及信号模型2.1离散随机过程的概念及性质2.2时域离散随机信号的统计描述2.3随机序列数字特征的估计2.4线性系统对随机信号的响应2.5时间序列信号模型

2.1离散随机过程的概念及性质

信号按其性质分，有确定性信号和随机信号。所谓确定性信号，就是信号的幅度随时间的变化有一定的规律性，可以用一个明确的数学关系进行描述，是可以再现的。而随机信号随时间的变化没有明确的变化规律，在任何时间的信号大小都不能预测，因此不可能用一明确的数学关系进行描述，但这类信号的分布存在着一定的统计信号规律，它可以用概率密度函数、概率分布函数、数字特征等进行描述。实际中的随机信号常有四种形式:

(1)连续随机信号:时间变量和幅度均取连续值的随机信号。

(2)时域离散随机信号(简称随机序列):时间变量取离散值，而幅度取连续值的随机信号。

(3)幅度离散随机信号:幅度取离散值，而时间变量取连续值的随机信号。例如随机脉冲信号，其取值只有两个电平，不是高电平就是低电平，但高低电平的选取却是随机的。

(4)离散随机序列(也称为随机数字信号):幅度和时间变量均取离散值的信号。定义1

设已给概率空间(Ω，Γ，P)，Z为整数集，若对每一整数n(n∈Z)，均有定义在(Ω，Γ，P)上的一个随机变量x(ω，n)(ω∈Ω)与之对应，则称依赖于参数n的一列随机变量x(ω，n)为一离散时间随机过程或随机序列，记为{x(ω，n)，ω∈Ω，n∈Z}，简记为{x(n)，n∈Z}或{xn}。随机序列有以下特点:

(1)随机序列中任何一点上的取值都是不能先验确定的随机变量。一个随机信号(或序列)是一个随机过程，在它的每个时间点上的取值都是随机的，可用一个随机变量表示。或者说，一个随机过程是由一个随机试验所产生的随机变量依时序组合而得到的序列。今后我们用{x(n)}表示一个随机序列，而用x(n)表示时间为n的点上的一个随机变量。显然，任何一个具体实验所得到的序列(例如图2.1所示的序列x1(n))都只能是随机序列的一个样本序列(或一个实现)。图2.1抛硬币得到的随机样本序列

(2)随机序列可以用它的统计平均特性来表征。一个随机序列中的每一个随机变量都可以用确定的概率分布特性来统计地描述，即可通过统计平均特性来表征。

(3)平稳随机信号的能量化表示。一随机信号各频率的能量称为功率谱密度(简称功率谱)。一个平稳的随机信号的功率谱是确定的，因此，功率谱可以统计表征一个随机过程的谱特性。我们将会知道，一个信号的功率谱是这个信号的自相关函数的傅立叶变换。功率谱和自相关函数是一个傅立叶变换对，它们相互唯一地确定，而且都是信号的一种(二维)统计平均表征，分别从不同域的侧面表征着一个随机过程的最本质的性质。因此，对于一个观测到的随机信号，重要的是确定它的功率谱密度函数和自相关函数。

2.2时域离散随机信号的统计描述

2.2.1时域离散随机信号(随机序列)的概率描述

随机序列和连续随机信号一样，可以用概率密度函数和概率分布函数进行描述。

1.概率分布函数

对于随机变量Xn，其概率分布函数用下式描述:

(2.2.1)

式中，P表示概率。

2.概率密度函数

如果Xn取连续值，其概率密度函数用下式描述:

(2.2.2)式(2.2.1)和式(2.2.2)分别称为随机序列的一维概率分布函数和一维概率密度函数，它们只描述随机序列在某一时刻n的统计特性。而对于随机序列，不同n的随机变量之间并不是孤立的，为了更加完整地描述随机序列，需要了解二维及多维统计特性。二维概率分布函数:(2.2.3)对于连续随机变量，其二维概率密度函数为(2.2.4)以此类推，N维概率分布函数为(2.2.5)对于连续随机变量，其N维概率密度函数为(2.2.6)2.2.2随机序列的数字特征

1.数学期望(统计平均值)

随机序列的数学期望定义为(2.2.7)式中，E表示求统计平均值。由式(2.2.7)可见，数学期望是n的函数，如果随机序列是平稳的，则数学期望是常数，与n无关。

2.均方值与方差

随机序列均方值定义为

(2.2.8)随机序列的方差定义为(2.2.9)可以证明，上式也可以写为:(2.2.10)一般均方值和方差都是n的函数，但对于平稳随机序列，它们与n无关，是常数。如果随机变量Xn代表电压或电流，则其均方值表示在n时刻消耗在1Ω电阻上的集合平均功率，方差则表示消耗在1Ω电阻上的交变功率的集合平均。有时将σx称为标准方差。

3.随机序列的相关函数和协方差函数

我们知道，在随机序列不同时刻的状态之间存在着关联性，或者说不同时刻的状态之间互相有影响，包括随机序列本身或者不同随机序列之间。这一特性常用自相关函数和互相关函数进行描述。

自相关函数定义为

(2.2.11)自协方差函数定义为(2.2.12)式中的“*”表示复共轭。上式也可以写成(2.2.13)对于零均值随机序列，

，则这种情况下，自相关函数和自协方差函数没有什么区别。对于两个不同的随机序列之间的关联性，我们用互相关函数和互协方差函数描述。互相关函数的定义为(2.2.14)式中，表示Xn和Ym的联合概率密度。

互协方差函数定义为(2.2.15)同样，当时，有cov(Xn，Ym)=rxy(n，m)2.2.3平稳随机序列及其数字特征

在信息处理与传输中，经常遇到一类称为平稳随机序列的重要信号。所谓平稳随机序列，是指它的N维概率分布函数或N维概率密度函数与时间n的起始位置无关。换句话说，平稳随机序列的统计特性不随时间的平移而发生变化。如果将随机序列在时间上平移k，其统计特性满足下式:(2.2.16)那么这类随机序列就称为平稳随机序列。经常将上面这类随机序列称为狭义(严)平稳随机序列，这一严平稳的条件在实际情况下很难满足。许多随机序列不是严平稳随机序列，但它们的均值和均方差却不随时间而改变，其相关函数仅是时间差的函数。一般将这一类随机序列称为广义(宽)平稳随机序列。下面我们重点分析广义平稳随机序列。为简单起见，将广义平稳随机序列简称为平稳随机序列。

平稳随机序列的一维概率密度函数与时间无关，因此均值、方差和均方值均与时间无关，它们可分别用下式表示:

(2.2.17)(2.2.18)(2.2.19)二维概率密度函数仅决定于时间差，与起始时间无关；自相关函数与自协方差函数是时间差的函数。自相关函数

rxx(m)与自协方差函数covxx(m)分别用下式表示:

(2.2.20)(2.2.21)

对于两个各自平稳且联合平稳的随机序列，其互相关函数为(2.2.22)显然，对于自相关函数和互相关函数，下面的公式成立:(2.2.23)(2.2.24)如果对于所有的m，满足公式:rxy(m)=0，则称两个随机序列互为正交。如果对于所有的m，满足公式:rxy(m)=mxmy，

covxy(m)=0，则称两个随机序列互不相关。

实平稳随机序列的相关函数、协方差函数具有以下重要性质:

(1)自相关函数和自协方差函数是m的偶函数，用下式表示:

rxx(m)=rxx(－m)，covxx(m)=covxx(－m)

(2.2.25)

rxy(m)=ryx(－m)，covxy(m)=covyx(－m)

(2.2.26)

(2)

(2.2.27)

rxx(0)数值上等于随机序列的平均功率。

(3)

(2.2.28)(4)(2.2.29)(2.2.30)上式说明大多数平稳随机序列内部的相关性随着时间差的变大，将会愈来愈弱。(5)(2.2.31)三种定义之间的关系为对于实平稳随机序列，三种定义的自相关函数是一样的。自相关函数与互相关函数如下本书采用第三种定义方法。2.2.4平稳随机序列的功率谱

我们知道，平稳随机序列是非周期函数，且是能量无限信号，无法直接利用傅立叶变换进行分析。但自相关函数也是非周期序列，却随着时间差m的增大，而趋近于随机序列的均值。如果随机序列的均值为0，即mx=0，rxx(m)是收敛序列，其Z变换用Pxx(z)表示如下:(2.2.32)且(2.2.33)将式(2.2.33)进行Z变换，得到

(2.2.34)如果z1是其极点，则(z1－1)*也是极点。如果z1在单位圆内，则(z1－1)*必须在单位圆外。收敛域一定包含单位圆。pxx(z)的收敛域有以下形式:类似地，互相关函数的Z变换用Pxy(z)表示，有(2.2.35)(2.2.36)由于Pxx(z)的收敛域包含单位圆，因此rxx(m)的傅立叶变换存在。令z=exp(jω)，代入式(2.2.32)，有

(2.2.37)(2.2.38)将m=0代入上式，得到(2.2.39)按照式(2.2.27)，rxx(0)就等于随机序列的平均功率，因此将Pxx(ejω)称为功率谱密度，或者简称为功率谱。式(2.2.37)、式(2.2.38)表示的一对傅立叶变换式称为维纳—辛钦定理。对于实平稳随机序列功率谱，有以下性质:

(1)功率谱是ω的偶函数:

Pxx(ω)=Pxx(－ω)

(2.2.40)

这一结果可直接由自相关函数是时间差的偶函数证明。由于功率谱和自相关函数都是实、偶函数，因此它们还可以表示为(2.2.41)(2.2.42)

(2)功率谱是实的非负函数，即

Pxx(ω)≥0

此性质的证明见下节。类似地，对于互功率谱，有(2.2.43)(2.2.44)(2.2.45)2.2.5随机序列的各态历经性

我们知道集合平均要求对大量的样本进行平均，实际中这种做法是不现实的。在很多情况下，可以用一条样本曲线描述随机序列，因此可以用样本曲线进行测量和分析。

设x(n)是平稳随机序列X(n)的一条样本曲线，其时间平均值为

(2.2.46)类似地，其时间自相关函数为(2.2.47)式中，〈·〉表示时间平均算子。如果平稳随机序列的集合平均值与集合自相关函数值依概率趋于平稳随机序列样本函数的时间平均值与时间自相关函数，即满足下面两式:

〈x(n)〉=mx=E[X(n)]

(2.2.48)

〈x*(n)x(n+m)〉=rxx(m)=E[X*(n)X(n+m)]

(2.2.49)

则称该平稳随机序列具有各态历经性。平稳随机序列虽有各态历经性的和非各态历经性的两种，但在实际中遇到的平稳随机序列，一般都是各态历经性的。这样我们用研究平稳随机序列的一条样本曲线代替研究其集合，用时间平均代替集合平均，就给研究平稳随机序列带来了很大的方便。2.2.6随机信号的采样定理

对于平稳随机信号，如果其功率谱严格限制在某一有限频带内，则该随机信号称为带限随机信号。如果平稳随机信号X(t)的功率谱Pxx(Ω)满足下式:

Pxx(Ω)=0，|Ω|≥Ωc

则称X(t)为低通性带限随机信号，式中Ωc表示功率谱的最高截止频率。

设以采样间隔T对平稳随机信号X(t)进行采样，采样后随机序列为X(n)，只要采样频率fs满足

(2.2.50)或者则有以下采样插值公式:(2.2.51)可以证明，在均方意义上，X(t)等于，即(2.2.52)

2.3随机序列数字特征的估计

2.3.1估计准则

一般来说，根据观测数据对一个量(参数)或者同时对几个量(参数)进行推断，是估计问题。例如，通信工程中的信号参数和波形，包括振幅、频率、相位、时延和瞬时波形。这里无论对何种量都必须根据观测值进行估计，而观测存在观测误差(或者把观测误差看成噪声)。虽然被估计的参数是确定量，观测数据却是随机的，由观测值推算出的估计量存在随机估计误差。因此如何判定估计方法的好坏，是统计估计的基本问题。假定对随机变量x观测了N次，得到N个观测值:x0,x1,x2,…,xN－1,希望通过这N个观测值估计参数α，称α为真值，它的估计值用表示。是观测值的函数，假定该函数关系用F[·]表示为

(2.3.1)

估计误差用表示，，这里和都是随机变量。作为随机变量，就存在一定的统计分布规律。设的概率密度曲线如图2.2所示，图中α是要估计的参数，如果估计值接近α的概率很大，则说这是一种比较好的估计方法。图2.2估计量的概率密度曲线

1.偏移性

令估计量的统计平均值与真值之间的差值为偏移B。其公式为(2.3.2)如果B=0，称为无偏估计。无偏估计表示估计量仅在它的真值附近摆动，这是我们希望有的估计特性。如果B≠0，则称为有偏估计。如果随着观察次数N的加大，能够满足下式:(2.3.3)则称为渐进无偏估计，这种情况在实际中是经常有的。

2.估计量的方差

如果两个估计量的观察次数相同，又都是无偏估计，哪一个估计量在真值附近的摆动更小一些，即估计量的方差更小一些，就说这一个估计量的估计更有效。

如果和都是x的两个无偏估计值，对任意N，

它们的方差满足下式:式中

3.一致性——均方误差

在许多情况下，比较两个有偏估计值是比较麻烦的。偏移较小的估计值可能有较大的方差，而方差较小的估计值可能有较大的偏移，此时使用与估计值有关的均方误差会更方便。估计量的均方误差用下式表示:(2.3.4)如果估计量的均方误差随着观察次数的增加趋于0，即估计量随N的加大，在均方意义上趋于它的真值，则称该估计是一致估计。估计量的均方误差与估计量的方差和偏移的关系推导如下:

(2.3.5)上式表示，随N的加大，偏移和估计量方差都趋于零，是一致估计的充分必要条件。通常对于一种估计方法的选定，往往不能使上述的三种性能评价一致，此时只能对它们折衷考虑，尽量满足无偏性和一致性。2.3.2均值的估计

假设已取得样本数据xi(i=0，1，2，…，N－1)，均值的估计量用下式计算:(2.3.6)式中，N是观察次数。下面用已介绍的方法评价它的估计质量。

1.偏移(2.3.7)因此B=0，说明这种估计方法是无偏估计。

2.估计量的方差与均方误差在计算上式时，与数据内部的相关性有关，先假设数据内部不相关，那么(2.3.8)(2.3.9)上式表明，估计量的方差随观察次数N的增加而减少，当N→∞时，估计量的方差趋于0。这种情况下估计量的均方误差为

这样，当N→∞时，B=0，，是一致估计。结论是:当数据内部不相关时，按照式(2.3.7)估计值，是一种无偏的一致估计，是一种好的估计方法。如果数据内部存在关联性，会使一致性的效果下降，估计量的方差比数据内部不存在相关情况的方差要大，达不到信号方差的1/N。此时

当序列的n与i相差m时，E[(xn－mx)(xi－mx)]=cov(m)，而N点数据中相距m点的样本有N－m对，因此(2.3.10)式中

式(2.3.10)表明当数据之间存在相关性时，按照式(2.3.6)估计均值，其估计量的方差下降不到真值的1/N。也可将式(2.3.10)表示成(2.3.11)如果希望估计量的方差改进K倍，令，则可以利用式(2.3.11)估计需要的样本数据的点数N。2.3.3方差的估计

已知N点样本数据xi(i=0，1，2，…，N－1)，假设数据之间不存在相关性，且信号的均值mx已知，方差用下式估计:

(2.3.12)可以证明这是一致估计，但实际中一般mx是不知道的。下面分析数据之间不存在相关性，均值也不知道的情况下，方差的估计方法。方差估计用下式计算:(2.3.13)式中的均值估计值用式(2.3.7)计算。下面分析它的偏移性，按照式(2.3.13)，有

(2.3.14)式中的第二项已经推出，即式(2.3.8)。式中的第三项推导如下:(2.3.15)将式(2.3.8)和式(2.3.15)代入式(2.3.14)，得到(2.3.16)上式表明，按照式(2.3.6)估计方差，是有偏估计，但是渐进无偏。为了得到无偏估计，可以用下式计算:(2.3.17)和之间的关系是(2.3.18)将上式两边取统计平均值，并将式(2.3.17)代入，得到

(2.3.19)上式表明，按照式(2.3.17)计算方差，是无偏估计。另外可以证明它也是一致估计，证明从略。如果数据之间存在相关性，也按照式(2.3.18)进行方差估计，可以证明是有偏估计，但是渐近无偏估计。方差估计值的统计平均值为(2.3.20)2.3.4随机序列自相关函数的估计

设只观测到实随机序列x(n)的一段样本数据，n=0，1，2，…，N－1，利用这一段样本数据估计自相关函数的方法有两种，即无偏自相关函数估计和有偏自相关函数估计。

1.无偏自相关函数的估计

无偏自相关函数的估计公式为将上面两式写成一个表达式:(2.3.21)下面分析这种自相关函数的估计质量，首先分析偏移性:

(2.3.22)因此B=0，这是一种无偏估计。下面推导估计量的方差:(2.3.23)为了分析简单，假设x(n)是实的、均值为0的高斯随机信号，求和号内的部分可以写成下式:(2.3.24)

图2.3求和域的变化式中，令r=k－n，此时求和域发生了变化，如图2.3所示。根据变化后的求和域(k，r)，估计量的方差推导如下:

(2.3.25)一般观测数据量N很大，则有(2.3.26)上式中，只有当N>>m，N→∞时，估计量的方差才趋于0。但是当m→N时，方差将很大，因此，这种估计方法在一般情况下不是一种好的估计方法；虽然是无偏估计，也不能算是一致估计。在推导过程中，曾假设信号为高斯信号，对于非高斯信号该结论也正确。

2.有偏自相关函数的估计

有偏自相关函数用表示，计算公式如下:(2.3.27)对比式(2.3.21)，不同点是求平均时只用N去除，这是不合理的，但下面可推导出它服从渐近一致估计的原则，比无偏自相关函数的估计误差小，因此以后需要由观测数据估计自相关函数时，均用上式进行计算。下面先分析它的偏移性。无偏自相关函数与有偏自相关函数的关系式为(2.3.28)因为是无偏估计，因此得到(2.3.29)上式说明是有偏估计，但是渐近无偏，其偏移为(2.3.30)在式(2.3.29)中，的统计平均值等于其真值乘以三角窗函数ωB(m)(或称巴特利特窗函数)，即(2.3.31)三角窗函数的波形如图2.4所示。只有当m=0时，才是无偏的，其他m值都是有偏的，但当N→∞时，ωB(m)→1，B→0，因此是渐近无偏。图2.4三角窗函数下面推导它的估计量方差。

估计量的方差为

(2.3.32)可得到(2.3.32)显然，当N→∞时，并且

2.4线性系统对随机信号的响应

所谓系统，用数学语言来表述，就是从输入序列{x(n)，n∈Z}到输出序列{y(n)，n∈Z}的映射,记为L，如果输入序列{x(n)，n∈Z}和输出序列{y(n)，n∈Z}满足如下关系:

(2.4.1)则称L为线性(时不变)系统；称{h(k)，k∈Z}为线性系统的冲激响应，它是线性系统的时域表征。如果k<0时的h(k)=0，则L是因果的。此时(2.4.2)若冲激响应{h(k)，k∈Z}满足条件(2.4.3)就称L是稳定的，稳定意味着有界的输入导致了有界的输出。事实上，若有正数M使得对一切n∈Z，都有|x(n)|<M，那么在实践中，常见的系统都是稳定和因果的线性系统。2.4.1线性时不变系统对随机输入的响应

定理1

设输入{x(n)，n∈Z}是平稳序列，jxx(m)和Pxx(ω)分别为其自相关函数和功率谱密度，且jxx(m)绝对可和，L是线性时不变系统，其冲激响应为h(n)，响应频率为H(ω),且满足(1)(2)则有:

(1)L的输出{y(n)，n∈Z}为

(2.4.4)

(2){y(n)}的均值函数和相关函数分别为(2.4.5)

(3){y(n)}的功率谱密度存在，且(2.4.6)证明由所列(2)，根据均方收敛准则可知，y(n)存在，且y(n)的均值my按定义为

这里h(·)是确定的系统特性。又因x(n)是平稳的随机过程，其E[x(n)]=E[x(n－k)]=mx所以(2.4.7)即当mx是与时间无关的常数时，my也是与时间无关的常数。由于输出y(n)的自相关函数为

因为x(n)是平稳的，所以E[x*(n－k)x(n+m－r)]=jxx(m+k－r)可见(2.4.8)由于求和结果与n无关,因此输出自相关序列也只与时间差m有关。于是可以得出结论:对于线性非时变系统,如果用一个平稳随机信号激励,其输出信号也将是一个平稳随机信号。按假设条件及维纳-辛钦公式知，{x(n)，n∈Z}有谱密度Pxx(ω)，而

于是再由维纳—辛钦公式即可断言{y(n)，n∈Z}也有谱密度Pyy(ω)，—π≤ω≤π。并由式,可得

，式(2.4.6)得证，定理1证毕。令l=r－k，式(2.4.8)可表示为(2.4.9)这里

(2.4.10)v(l)可称为h(·)的自相关序列，它是一个时间卷积的结果。h(n)是一确定的(而不是随机的)序列，并无统计平均的含义可言，它是h(n)与h(－n)的卷积，具有相关函数的形式，隐含了系统特性h(·)的前后波及性，将式(2.4.10)代入式(2.4.9)得(2.4.11)这个公式与求确知信号响应的卷积公式十分相似。确知信号的输出等于输入与系统的冲激响应的卷积，而这里的输出、输入则是与输出和输入随机序列相对应的自相关函数。系统的“冲激响应”h(n)则换成了h(n)的自相关序列v(m)。式(2.4.11)是随机过程-线性系统理论中极为有用和重要的一个基本关系式。它可用文字作如下表述:x(n)与h(n)卷积的自相关，等于x(n)的自相关和h(n)的自相关的卷积。这可推广为卷积的相关，等于相关的卷积(见后面的式(2.4.16)及图2.5的例子)，并可用公式形式表示如下:

如果

e(n)=a(n)*b(n)

f(n)=c(n)*d(n)

则ef(m)=jac(m)*jbd(m)

(2.4.12)

这个关系称为相关—卷积定理，它在许多信号处理问题的求解中十分有用。2.4.2系统输入、输出的互相关函数与互谱密度

现在让我们来讨论关于线性非时变系统的输入和输出之间的互相关函数jxy(m)及互谱密度Pxy(ω)。

定理2

设线性时不变系统L的输入和输出分别为平稳序列{x(n)，n∈Z}和{y(n)，n∈Z},且{x(n)}存在谱密度Pxx(ω)，则系统的输入{x(n)}与输出{y(n)}平稳相关，且它们的互谱密度函数为

Pxy(ω)=H(ω)Pxx(ω)，Pyx(ω)=H*(ω)Pxx(ω)

(2.4.13)

其中H(ω)为L的频率响应。证明按定义

(2.4.14)式(2.4.14)又称为输入—输出互相关定理。将式(2.4.14)代入式(2.4.11)得(2.4.15)设mx=0(自相关函数的Z变换存在)，将式(2.4.14)与式(2.4.15)转换到z域，则有

Φxy(z)=H(z)Φxx(z)

(2.4.16)

Φyy(z)=H(z－1)Φxy(z)

(2.4.17)如用功率谱表示则有Pxy(ω)=H(ejw)Pxx(ω)

(2.4.18)Pyy(ω)=H(e－jω)Pxy(ω)

(2.4.19)式(2.4.14)与式(2.4.15)说明了一个线性非时变系统的输入与输出间的互相关函数jxy(m)同输入自相关函数jxx(m)及输出自相关函数jyy(m)间的关系:jxy(m)等于jxx(m)与h(m)的卷积，而jyy(m)等于jxy(m)与h(－m)的卷积，这是两个有用的关系式。当输入为白噪声时，其功率谱密度Pxx(ω)为常数，按式

可得上式表明这个常数就是σ2x，故在白噪声情况下有Pxx(ω)=σ2x=E[|x(n)|2]=平均功率，mx=0

(2.4.20)jxx(m)=F－1[Pxx(ω)]=σ2xδ(m)

(2.4.21)式(2.4.20)说明白噪声的功率在频率轴上的分布密度处处相同(等于σ2x)，并且它就等于输入信号的平均功率。将式(2.4.21)代入式(2.4.14)，得jxy(m)=σ2xh(m)

(2.4.22)将式(2.4.21)代入式(2.4.18)则可得

Pxy(ω)=H(ejω)Pxx(ω)=σ2xH(ejω)

(2.4.23)

式(2.4.22)和式(2.4.23)说明由白噪声激励的线性非时变系统，其输入、输出互相关函数正比于系统的冲激响应式h(m)，而其输入、输出的互功率谱正比于系统的频率响应

H(ejω)。因此,式(2.4.22)和式(2.4.23)常用于通过估计jxy(m)或Pxy(ω)来估计线性非时变系统的冲激响应或频率响应。

例2.1

在图2.5中，如果已知随机序列x(n)与y(n)的互相关函数jxy(m)，试证明:

(1)Φyv(z)=H1(z)Φyx(z)

Φvy(z)=H1(z－1)Φxy(z)

(2)Φvw(z)=H2(z)Φvy(z)

Φwv(z)=H2(z－1)Φyv(z)

(3)Φvw(z)=H1(z－1)H2(z)Φxy(z)

Φwv(z)=H1(z)H2(z－1)Φyx(z)图2.5证明:

(1)按定义有所以

Φyv(z)=Z[jyv(m)]=H1(z)Φyz(z)

(2.4.24)又因为Φxy(m)=Φyx(－m)jyv(m)=jvy(－m)所以有

Φxy(z)=Φyx(z－1)

Φyv(z)=Φvy(z－1)

将以上两式代入式(2.4.24)得

Φvy(z－1)=H1(z)Φxy(z－1)

将上式中z用z－1代入即得

Φvy(z)=H1(z－1)Φxy(z)

(2.4.25)

(2)同理可证

jvw(m)=E[v(n)w(n+m)]=h2(m)jvy(m)

(2.4.26)

所以

Φvw(z)=H2(z)Φvy(z)

(2.4.27)

又因为Φvw(z)=Φwv(z－1)，所以，式(2.4.27)即为

Φwv(z－1)=H2(z)Φyv(z－1)将上式中z用z－1代入即得

Φwv(z)=H2(z－1)Φyv(z)

(2.4.28)

式(2.4.24)、式(2.4.25)、式(2.4.27)与式(2.4.28)正是我们所要证明的结果。例2.1的第(3)题作为习题，请读者自行完成。建议按步骤证明而勿直接利用式(2.4.27)与式(2.4.28)。请把本例的结果转入时域，利用相关卷积定理证明。

2.5时间序列信号模型

随机序列主要采用自相关函数和功率谱密度函数进行研究。对于平稳随机序列，近年来从时间序列分析角度，又提出了另外一种研究方法，即时间序列信号模型法。这种模型是一个线性模型，它具有连续功率谱的特性，在功率谱估计方面，表现出很大的优点，对于研究平稳随机序列是一种很有效的方法。许多平稳随机序列都可以看成是由典型噪声源激励一个线性系统产生的，这种噪声源一般是白噪声序列源。假设该线性稳定系统的系统函数用H(z)表示，如图2.6所示，图中ω(n)是均值为0、方差为σ2ω的白噪声。图2.6平稳随机序列的信号模型2.5.1三种时间序列模型

假设信号模型用一个p阶差分方程描述:

x(n)+a1x(n－1)+…+apx(n－p)

=ω(n)+b1ω(n－1)+…+bqω(n－q)

(2.5.1)

式中，ω(n)是均值为0、方差为σ2ω的白噪声；x(n)是我们要研究的随机序列。根据系数取值，将模型分成以下三种。

1.滑动平均模型(MovingAverage，简称MA模型)

当式(2.5.1)中ai=0，i=1，2，3，…，p时，该模型称为MA模型。其模型差分方程和系统函数分别用下式表示:

x(n)=ω(n)+b1ω(n－1)+…+bqω(n－q)

(2.5.2)

H(z)=B(z)

B(z)=1+b1z－1+b2z－2+…+bqz－q…

(2.5.3)

上式表明该模型只有零点，没有除原点以外的极点，因此该模型也称为全零点模型。如果模型全部零点都在单位圆内部，则是一个最小相位系统，且模型是可逆的。

2.自回归模型(Autoregressive，简称AR模型)

当式(2.5.1)中bi=0，i=1，2，3，…，q时，该模型称为AR模型。其模型差分方程和系统函数分别用下式表示:

x(n)+a1x(n－1)+a2x(n－2)+…+apx(n－p)=ω(n)

(2.5.4)(2.5.5)上式表明该模型只有极点，没有除原点以外的零点，因此该模型也称为全极点模型。只有当全部极点都在单位圆内部时，模型才稳定。

3.自回归-滑动平均模型(简称ARMA模型)

该模型的差分方程用式(2.5.1)描述，系统函数用下式表示:(2.5.6)式中，分子部分称为MA部分，分母部分称为AR部分，这两部分无公共因子，应分别满足稳定性和可逆性的条件。2.5.2三种时间序列信号模型的适应性

为了说明三种信号模型都有普遍适用性质，我们首先介绍沃尔德(Wold)分解定理。

(1)沃尔德分解定理:任意一个实平稳随机序列x(n)均可以分解成:x(n)=u(n)+v(n),式中u(n)是确定性信号,v(n)是具有连续谱分布函数的平稳随机MA序列。这里确定性部分可以不存在或者事先去掉，MA部分常常是有限阶的。该定理说明MA信号模型具有普遍使用的性质。由于ARMA信号模型包含了MA模型部分，因此ARMA信号模型也具有普遍适用性质。对于AR信号模型的适用性，下面予以说明。

(2)任意一个MA序列可用无限阶AR信号模型表示，或者用阶数足够大的AR信号模型近似表示。证明如下:

设MA序列为对上式进行Z变换得到

X(z)=B(z)W(z)式中，B(z)是MA信号模型的系统函数，或者说是bi(i=1，2，3，…)序列的Z变换。设MA信号模型满足可逆性条件，即B－1(z)存在，令

B－1(z)=G(z)=1+g1z－1+g2z－2+…这样

X(z)G(z)=(1+g1z－1+g2z－2+…)X(z)=W(z)

对上式进行Z反变换，得到

x(z)+g1x(n－1)+g2x(n－2)+…=ω(n)

上式表示的就是x(n)的AR信号模型差分方程，因此证明了一个时间序列可以用有限阶MA信号模型表示的同时，也可以用无限阶的AR模型表示，对于ARMA模型也同样可以证明。下面举例说明。

例如，ARMA模型系统函数为

设AR模型系统函数用HAR(z)表示，即

令HAR(z)=H(z)，即可以求出ci系数:以上说明MA和ARMA模型可以用无限阶AR模型表示。反过来的结论也正确。例如:用MA模型表示:2.5.3自相关函数、功率谱与时