新疆乌鲁木齐市2023-2024学年高三二月高考数学模拟测试(含答案)

-2024学年乌鲁木齐市高三年级二月高考模拟测试数学试卷（问卷）一、单选题（共8小题，每小题5分，共计40分）1．已知复数，是的共轭复数，那么（

）A． B． C． D．2．命题“”的否定是（

）A． B．C． D．3．已知平面向量，满足，，与的夹角为，，则实数的值为（

）A．-2 B．2 C． D．4．已知数列满足，，且，则（

）A． B． C． D．5．的展开式中，的系数为（

）A． B． C． D．6．已知是过抛物线的焦点的弦．若，则中点的纵坐标是（

）A．1 B．2 C． D．7．已知函数，对一切x∈R恒有f（b）≤f（x）≤f（a）（a，b∈R），则sin（a+b）的值是（

）A．-B．C．- D．8．已知函数的定义域为，其导函数为，对恒成立，且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．二、多选题（共3小题，每小题6分，共计18分）9．已知函数的部分图象如图所示，则（

）A．函数的最小正周期为πB．点是曲线的对称中心C．函数在区间内单调递增D．函数在区间内有两个最值点10．德国数学家狄里克雷在年时提出：“如果对于的每一个值，总有一个完全确定的值与之对应，那么是的函数.”这个定义较清楚的说明了函数的内涵，只要有一个法则，使得取值范围内的每一个，都有一个确定的和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示.他还发现了狄里克雷函数，即：当自变量取有理数时，函数值为，当自变量取无理数时，函数值为.狄里克雷函数的发现改变了数学家们对“函数是连续的”的认识，也使数学家们更加认可函数的对应说定义，下列关于狄里克雷函数的性质表述正确的是（

）A．B．是奇函数C．的值域是 D．11．已知是等差数列，，其前项和为，满足，则下列四个选项中正确的有（

）A．B．C．最小 D．时，的最大值为三、填空题（共3小题，每小题5分，共计15分）12．集合满足，则集合的个数有个.13．在某次考试中，学生的数学成绩服从正态分布．已知参加本次考试的学生有1000人，则本次考试数学成绩在70分至110分之间的学生大约有人．（参考数据：，）14．已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点.设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为．四、解答题（共5小题，共计77分）15．（13分）已知数列是等比数列，且，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项和.16．（15分）如图所示，在树人中学高一年级学生中抽出40名参加环保知识竞赛，将其成绩(均为整数整理后画出的频率分布直方图如图，观察图形，回答下列问题：（1）求成绩在80~90这一组的频数；（2）估计这次环保知识竞赛成绩的平均数、40百分位数；（3）从成绩是50分以下(包括50分)和90分以上(包括90分)这两个分数段的学生中选2人，求他们不在同一分数段的概率.17．（15分）如图所示，四棱柱的侧棱与底面垂直，底面是菱形，四棱锥的顶点在平面上的投影恰为四边形对角线的交点，四棱锥和四棱柱的高相等．（1）证明：平面；（2）若，，求平面与平面所成的二面角的余弦值．18．（17分）在直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点在轴上，长轴长为4，离心率为．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．(1)写出椭圆的一个参数方程和直线的直角坐标方程；(2)已知是椭圆上一点，是直线上一点，求的最小值．19．（17分）已知函数.(1)若，求的图象在点处的切线方程；(2)若在区间上单调递增，求实数的取值范围.2023-2024学年乌鲁木齐市高三年级二月高考模拟测试数学试卷答案一、单选题（共8小题，每小题5分，共计40分）1．已知复数，是的共轭复数，那么（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用复数共轭复数的定义与除法运算即可得解.【详解】因为，则，所以.故选：D.2．命题“”的否定是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】量词命题的否定步骤为：改量词，否结论，由此得解.【详解】因为命题“”是存在量词命题，所以其否定为.故选：B.3．已知平面向量，满足，，与的夹角为，，则实数的值为（

）A．-2 B．2 C． D．【答案】B【分析】根据平面垂直向量可得，利用平面向量的数量积的定义求出，计算即可求得的值.【详解】由，得，即，又的夹角为，所以，所以，解得.故选：B.4．已知数列满足，，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用递推关系即求.【详解】依题意有，则，由此得，，，．故选：C．5．的展开式中，的系数为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】写出展开式的通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项即可得解.【详解】的展开式通项为，的展开式通项为，所以，的展开式通项为，其中，、，令，得，得，所以，展开式中的系数为.故选：D.6．已知是过抛物线的焦点的弦．若，则中点的纵坐标是（

）A．1 B．2 C． D．【答案】D【分析】设线段的中点为，分别过A，P，B三点作准线l的垂线,由抛物线的定义可求出，进而可得关于的方程，即可求出中点的纵坐标.【详解】如图所示，设线段的中点为，分别过A，P，B三点作准线l的垂线，垂足分别为，Q，，由题意得．由得，所以抛物线的准线方程为，又，∴，∴．故选：D.【点睛】本题考查了抛物线的定义，属于基础题.7．已知函数，对一切x∈R恒有f（b）≤f（x）≤f（a）（a，b∈R），则sin（a+b）的值是（

）A．- B．C．- D．【答案】A【分析】根据辅助角公式可得，，其中，，且，可得，代入求解即可【详解】由辅助角公式，函数，

其中，，由题意可知，此时，，所以.故选：A8．已知函数的定义域为，其导函数为，对恒成立，且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据已知条件构造一个函数，再利用的单调性求解不等式即可.【详解】由，可得，即，令，则.令，，所以在上是单调递减函数.不等式，等价于，即，，所求不等式即，由于在上是单调递减函数，所以，解得，且，即，故不等式的解集为.故选：D【点睛】本题考查了利用构造新函数的单调性求解不等式，考查了利用导数判断函数单调性的方法，考查了分析问题的逻辑思维能力，属于困难题.二、多选题（共3小题，每小题6分，共计18分）9．已知函数的部分图象如图所示，则（

）A．函数的最小正周期为πB．点是曲线的对称中心C．函数在区间内单调递增D．函数在区间内有两个最值点【答案】AC【分析】由题可得，可得函数，然后根据三角函数的性质逐项分析即得.【详解】由图可知，所以，又，所以，所以，，，得，，又，得，所以，所以，所以函数的周期为，A正确；由，得，，，取得，，对称中心为，取得，，对称中心为，所以点不是曲线的对称中心，B错误；由，得，，，当时，，函数在区间内单调递增，C正确；由，可得，，取得，为函数的最值点，所以区间内有一个最值点，D错误.故选：AC．10．德国数学家狄里克雷在年时提出：“如果对于的每一个值，总有一个完全确定的值与之对应，那么是的函数.”这个定义较清楚的说明了函数的内涵，只要有一个法则，使得取值范围内的每一个，都有一个确定的和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示.他还发现了狄里克雷函数，即：当自变量取有理数时，函数值为，当自变量取无理数时，函数值为.狄里克雷函数的发现改变了数学家们对“函数是连续的”的认识，也使数学家们更加认可函数的对应说定义，下列关于狄里克雷函数的性质表述正确的是（

）A． B．是奇函数C．的值域是 D．【答案】ACD【解析】利用狄里克雷函数的定义可判断AC选项的正误；利用函数奇偶性的定义可判断B选项的正误；分和两种情况讨论，结合狄里克雷函数的定义可判断D选项的正误.【详解】由题意可知，.对于A选项，，则，A选项正确；对于B选项，当，则，则，当时，则，则，所以，函数为偶函数，B选项错误；对于C选项，由于，所以，函数的值域为，C选项正确；对于D选项，当时，则，所以，，当时，，所以，，D选项正确.故选：ACD.【点睛】思路点睛：本题的解题关键就是紧扣函数的新定义，在解题的过程中要对的取值进行分类讨论，结合函数的定义来求解，在判断命题为假命题时，可以通过特例来说明.11．已知是等差数列，，其前项和为，满足，则下列四个选项中正确的有（

）A． B．C．最小 D．时，的最大值为【答案】AB【分析】由求得，再依次判断各选项即可.【详解】设公差为，由得，解得，A正确；，B正确；由，知，又，可得，当或7时，取得最大值，C错误；，D错误.故选：AB.第II卷（非选择题）三、填空题（共3小题，每小题5分，共计15分）12．集合满足，则集合的个数有个.【答案】3【分析】根据题意求出所有的集合，即可解出.【详解】因为，即，所以，，，即集合的个数有3个.故答案为：3.13．在某次考试中，学生的数学成绩服从正态分布．已知参加本次考试的学生有1000人，则本次考试数学成绩在70分至110分之间的学生大约有人．（参考数据：，）【答案】840【分析】利用正态分布的对称性及三段区间的概率求，进而估计区间人数.【详解】由题设，所以，所以考试数学成绩在70分至110分之间的学生大约有人.故答案为：14．已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点.设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为．【答案】【分析】画出图形，利用已知条件，结合梯形中位线性质得b＝3，再利用a,b,c关系列出方程组转化求解即可．【详解】由题意可得图象如图，CD是双曲线的一条渐近线y，即bx﹣ay＝0，F（c，0），AC⊥CD，BD⊥CD，FE⊥CD，ACDB是梯形，F是AB的中点，EF3，EFb，所以b＝3，双曲线1（a＞0，b＞0）的离心率为2，可得，可得：，解得a．则双曲线的方程为：1．故答案为【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，注意梯形中位线的应用，考查计算能力．四、解答题（共5小题，共计77分）15．已知数列是等比数列，且，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项和.【答案】(1)；(2)．【分析】（1）由等比数列通项公式的基本量法求得和公比，即可得通项公式；（2）由分组求和法求和．【详解】（1）设的公差为，则，解得，所以；（2）由（1）得．16．如图所示，在树人中学高一年级学生中抽出40名参加环保知识竞赛，将其成绩(均为整数整理后画出的频率分布直方图如图，观察图形，回答下列问题：（1）求成绩在80~90这一组的频数；（2）估计这次环保知识竞赛成绩的平均数、40百分位数；（3）从成绩是50分以下(包括50分)和90分以上(包括90分)这两个分数段的学生中选2人，求他们不在同一分数段的概率.【答案】（1）4；（2）平均数为，40百分位数为；（3）.【分析】(1)由给定的频率分布直方图，求出成绩在80~90这一组频率即可得解；(2)利用频率分布直方图求平均数及百分位数的方法计算即得；(3)先求出给定两段的学生总数，再用列举法求概率的方法求解即得.【详解】（1）依题意50~60这一组的频率为，60~70这一组的频率为，70~80这一组的频率为，90~100这一组的频率为，则80~90这一组的频率，其频数为4；（2）这次竞赛成绩的平均数为，40~50这一组的频率为0.1，50~60这一组的频率为0.15，40~60的频率为0.25，60~70这一组的频率为，因此40百分位数在60~70这一组内，且在本组内需要找到频率为0.15的部分，所以40百分位数为；（3）记选出的2人不在同一分数段为事件，40~50之间的人数为人，设为，，，，90~100之间有人，设为1，2，从这6人中选出2人，有，，，，，，，，，，，，，，共15个样本点，其中事件包括，，，，，，，，共8个基本事件，于是得，所以不在同一分数段的概率.17．如图所示，四棱柱的侧棱与底面垂直，底面是菱形，四棱锥的顶点在平面上的投影恰为四边形对角线的交点，四棱锥和四棱柱的高相等．（1）证明：平面；（2）若，，求平面与平面所成的二面角的余弦值．【答案】（1）详见解析；（2）.【分析】（1）根据题意，以为原点，分别以为x，y，z轴建立空间直角坐标系，证明即可.（2）根据，设，求得平面的一个法向量，同理求得平面的一个法向量，设平面与平面所成的二面角为，利用求解.【详解】（1）根据题意，建立如图所示空间直角坐标系：设四棱柱的侧棱长为a，底面边长为b，，则，所以，所以，又平面，平面，所以平面；（2）因为，设，则所以，设平面的一个法向量为：，则，所以，令，则，所以设平面的一个法向量为：，则，所以，令，则，所以设平面与平面所成的二面角为，所以，，．【点睛】本题主要考查直线与平面平行以及二面角的求法，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.18．在直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点在轴上，长轴长为4，离心率为．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．(1)写出椭圆的一个参数方程和直线的直角坐标方程；(2)已知是椭圆上一点，是直线上一点，求的最小值．【答案】(1)（为参数），；(2)．【分析】（1）根据题意可得，可得，即可求得椭圆的普通方程，进而求得参数方程，再通过极坐标和直角坐标的转化求得的直角坐标方程；（2）设，显然当时，取得最小值，利用距离公式结合三角函数即可求得最值.【详解】（1）由题可知，，可得,所以椭圆的普通方程为，故椭圆的一个参数方程为（为参数）．由，得的直角坐标方程为．（2）设，显然当时，取得最小值．因为点到直线的距离，当且仅当时取等号，所以的最小值为．19．已知函数.(1)若，求的图象在点处的切线方程；(2)若在区间上单调递增，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）求导，根据导数的几何意义运算求解；（2）方法一：求导，根据题意分析可得当时，恒成立，构建新函数，利用导数分类讨论判断其单调性和最值，结合恒成立问题分析求解；方法二：求导，根据题意分析可得在上恒成立，