18.1.1　平行四边形的性质 课件 2023-2024学年人教版数学八年级下册

人教版数学八年级下册第十八章平行四边形18.1平行四边形18.1.1平行四边形的性质第1课时

平行四边形边、角的特征导入新课从以上图形中我们能发现哪些几何图形？你能给平行四边形下定义吗？探究新知平行四边形的概念定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形用“”表示，如图，平行四边形ABCD记作“”.ABCD你还能举出一些平行四边形的例子吗？探究新知探究根据定义画一个平行四边形，观察它，除了“两组对边分别平行”外，它的边之间还有什么关系？它的角之间有什么关系？度量一下，和你的猜想一样吗？DABCABCD活动1

请用尺子等工具度量你手中平行四边形的四条边，并记录下数据，你能发现AB与DC，AD与BC之间的数量关系吗?测得AB=DC，AD=BC.ABCD测得∠A=∠C，∠B=∠D.活动2请用量角器等工具度量你手中平行四边形的四个角，并记录下数据，你能发现∠A与∠C，∠B与∠D之间的数量关系吗?猜想

平行四边形的两组对边，两组对角有什么数量关系？

两组对边及两组对角分别相等.怎样证明这个猜想呢？证明：如图，连接AC.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC，AB

∥

CD,∴∠1=∠2，∠3=∠4.又∵AC是△ABC和△CDA的公共边，∴△ABC≌△CDA,∴AD=BC，AB=CD，∠ABC=∠ADC.∵∠BAD=∠1+∠4，∠BCD=∠2+∠3，∴∠BAD=∠BCD.ABCD1432已知：四边形ABCD是平行四边形.求证:AD=BC,AB=CD,∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC.有关四边形的问题常常转化为三角形问题解决；平行四边形的一条对角线把平行四边形分成两个全等的三角形；为此，我们通过添加辅助线，构造两个三角形，通过三角形全等进行证明.ABCD证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC，AB

∥

CD,∴∠A+∠B=180°，∠A+∠D=180°，∴∠B=∠D.同理可得∠A=∠C.思考不添加辅助线，你能否直接运用平行四边形的定义，证明其对角相等？知识归纳平行四边形的对边相等．平行四边形的性质除了对边互相平行以外，还有:ABCD平行四边形的对角相等．探究新知

例1如图，ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F.求证：AE=CF．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，AD=CB.又∠AED=∠CFB=90°，∴△ADE≌△CBF，∴AE=CF.DABCFE在上述证明中还能得出什么结论？DE=BF

如图，a∥b，c∥d，c，d与a，b分别交于A，B，C，D四点，四边形ABDC是平行四边形，AB=CD，也就是说，两条平行线之间的任何两条平行线段都相等.由上面的结论可以知道，如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等.ABCDacdbabAB归纳如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合的部分构成了个四边形，转动其中一张纸条，线段AD和BC的长度有什么关系？为什么？解：线段AD=BC.因为两张纸条的对边都平行，所以重合的部分构成的四边形是平行四边形，平行四边形的对边相等，所以AD=BC.练习ABCD例题与练习例2如图，已知l1∥l2，点E，F在l1上，点G，H在l2上．求证：△EGO与△FHO的面积相等．证明：∵l1∥l2，∴点E，F到l2之间的距离都相等，设为h.∴S△EGH＝S△FGH，∴S△EGH－S△GOH＝S△FGH－S△GOH，∴S△EGO＝S△FHO，即△EGO与△FHO的面积相等．例题与练习练习1．教材P43练习第1题．2．在▱ABCD中，AD＝4cm，AB＝2cm，则▱ABCD的周长等于(

)

A．12cm

B．8cm

C．6cm

D．4cmA3．如图，点P在▱ABCD内，过点P作EF∥BC，GH∥AB，则图中共有_______个平行四边形．4．如图，▱ABCD与▱DCFE的周长相等，且∠BAD＝60°，∠F＝110°，则∠DAE的度数为_______．925°5．如图，在▱ABCD中，CM⊥AD于点M，CN⊥AB于点N，若∠B＝45°，求∠MCN的大小．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∠B＝∠D.∵∠B＝45°，∴∠BCD＝135°，∠D＝45°.∵CM⊥AD，CN⊥AB，∴∠BNC＝∠DMC＝90°，∴∠BCN＝∠DCM＝45°，∴∠MCN＝∠BCD－∠BCN－∠DCM＝135°－45°－45°＝45°.课堂小结平行四边形定义两组对边分别平行的四边形性质两组对边分别平行，相等.两条平行线间的距离相等两组对角分别相等，邻角互补.人教版数学八年级下册第十八章平行四边形18.1平行四边形18.1.1平行四边形的性质第2课时

平行四边形的对角线性质导入新课平行四边形的对边相等，平行四边形的对角相等.平行四边形的两条对角线有什么性质呢？回顾平行四边形的边角特征.探究新知探究ABCDO如图，在ABCD中，连接AC，BD，并设它们相交于点O，OA与OC，OB与OD有什么关系？你能证明发现的结论吗？猜想：OA=OC，OB=OD怎样证明这个猜想呢？平行四边形的对角线互相平分.已知：如图,□ABCD的对角线AC、BD相交于点O.求证：OA=OC，OB=OD.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴

AD=BC，AD∥BC,∴∠1=∠2，∠3=∠4,∴△AOD≌△COB（ASA）,∴

OA=OC，OB=OD.ACDBO3241证一证归纳练习如图，在ABCD中，BC=10，AC=8，BD=14.△AOD的周长是多少？△ABC与△DBC的周长哪个长？长多少？解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD＝BC＝10

OA＝OC＝4

OD＝OB＝7∴

l△AOD＝AD+OA+OD＝10+4+7＝21∵AB=CDBC=BC

BD–AC=14–8=6∴△DBC的周长较长，长6.ACDBO例题与练习

例1教材P44例2.如图，在ABCD中，AB=10，AD=8，AC⊥BC.求BC，CD，AC，OA的长，以及ABCD的面积.ABCDO解：∵四边形ABCD是平行四边形，根据勾股定理得∴BC=AD=8,CD=AB=10.是直角三角形.又∵OA=OC,练习如图，

ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AB，CD分别相交于点E，F.求证：OE=OF.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，OA=OC

（平行四边形的性质）∴∠EAO=∠FCO（两直线平行，内错角相等）在△AOE和△COF中

∠AOE=∠COF（对顶角相等）

OA=OC∠EAO=∠FCO∴△AOE≌△COF

（ASA）∴OE=OF（全等三角形的对应边相等）例2如图，已知▱ABCD和▱EBFD的顶点A，E，F，C在同一条直线上．求证：AE＝CF.证明：连接BD交AC于点O.∵四边形ABCD，EBFD是平行四边形，∴OA＝OC，OE＝OF，∴OA－OE＝OC－OF，即AE＝CF.O例3如图①，在▱ABCD中，O为对角线BD，AC的交点．(1)求证：S△ABO＝S△CBO；(2)如图②，设P为对角线BD上任意一点(点P与点B，D不重合)，S△ABP与S△CBP仍然相等吗？若相等，请证明；若不相等，请说明理由．解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO.设点B到AC的距离为h，∴S△ABO＝S△CBO；(2)S△ABP＝S△CBP.理由如下：在▱ABCD中，点A，C到BD的距离相等，设为h′，∴S△ABP＝S△CBP.例题与练习练习1．如图，在▱ABCD中，∠ODA＝90°，AC＝10cm，BD＝6cm，则AD的长为(

)A．4cm

B．5cmC．6cmD．8cmA2．如图，在▱ABCD中，AC，BD为对角线，BC＝6，BC边上的高为4，则阴影部分的面积为(

)A．3B．6C．12D．24C3．如图，在▱ABCD中，AC和BD相交于点O，OE⊥AD，OF⊥BC，垂足