数学-专项13 相似三角形中的母子型相似模型（原版）

专题13相似三角形中的母子型相似模型【模型展示】特点当∠ABD=∠ACB时△ABD∽△ACB性质：其中：∠A是公共角AB是公共边BD与BC是对应边结论【模型证明】解决方案特殊母子型——射影定理在Rt△ACB与Rt△ADC中，当∠ABC=∠ACD时，有Rt△ACB∽Rt△ADC∽Rt△CDB射影定理：母子相似证明题一般思路方法：由线段乘积相等转化成线段比例式相等；分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形；第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等；第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第三步；

【题型演练】一、单选题1．如图，在中，是斜边上的高，则图中的相似三角形共有（

）A．1对 B．2对 C．3对 D．4对2．如图，正方形ABCD中，E、F分别在边CD，AD上，于点G，若BC=4，AF=1，则CE的长为（

）A．3 B． C． D．3．如图，中，，，，点，分别在，上，，．把绕点旋转，得到，点落在线段上．若点在的平分线上，则的长为（

）A． B． C． D．4．如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AD交AB于点E，M为AE的中点，BF⊥BC交CM的延长线于点F，BD=4，CD=3．下列结论①∠AED=∠ADC；②；③AC•BE=12；④3BF=4AC，其中结论正确的个数有（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BA＝CA＝6，D为BC边的中点，点E是CA延长线上一点，把ACDE沿DE翻折，点C落在处，与AB交于点F，连接．当时，BC’的长为（）A． B． C． D．二、填空题6．如图，在中，点D在AB上，请再添一个适当的条件，使，那么可添加的条件是__________．7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，已知AD＝，那么BC＝_______．8．如图，在中，，，，，，则CD的长为

______．9．如图，在中，，点在边上，，点在上，，垂足为，若，，则线段的长为__________．10．如图，在中，平分在延长线上，且，若，，则的长为_____．三、解答题11．【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB．【尝试应用】（2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长．

12．如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，且AC=，CD＝4，BD＝2，求证：△ACD∽△BCA．13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且＝．（1）求证△ACD∽△ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．14．中，，，点E为的中点，连接并延长交于点F，且有，过F点作于点H．（1）求证：；（2）求证：；（3）若，求的长．15．如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，∠BAD＝∠ECA．

（1）求证：AC2＝BC•CD；（2）若AD是△ABC的中线，求的值．16．如图，已知矩形的两条对角线相交于点O，过点作分别交、于点、．（1）求证：；（2）连接，若．求证：．17．如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝AB，∠DEC＝∠B．（1）求证：△AED∽△ADC；（2）若AE＝1，EC＝3，求AB的长．18．如图，锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，垂足为D，E．（1）求证：△ACD∽△ABE；（2）若将点D，E连接起来，则△AED和△ABC能相似吗？说说你的理由．19．如图，是的直径，是的弦，是的切线，切点为，，的延长线相交于点．

(1)求证：是的切线；(2)若的半径为4，，求的长．20．如图1，在菱形ABCD中，AC是对角线，AB＝AC＝6，点E、F分别是边AB、BC上的动点，且满足AE＝BF，连接AF与CE相交于点G．（1）求的度数．（2）如图2，作交CE于点H，若CF＝4，，求GH的值．（3）如图3，点O为线段CE中点，将线段EO绕点E顺时针旋转60°得到线段EM，当构成等腰三角形时，请直接写出AE的长．21．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB上一点．（1）如图1，若CD⊥AB，求证：AC2=AD·AB；（2）如图2，若AC=BC，EF⊥CD交CD于H，交AC于F，且，求的值；（3）如图3，若AC=BC，点H在CD上，∠AHD=45°，CH=3DH，则tan∠ACH的值为________．

22．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，AC=8，CD是边AB的中线．动点P从点C出发，以每秒5个单位长度的速度沿折线CD-DB向终点B运动．过点P作PQ⊥AC于点Q，以PQ为边作矩形PQMN，使点C、N始终在PQ的异侧，且．设矩形PQMN与△ACD重叠部分图形的面积是S，点P的运动时间为（t>0）．（1）