备战2024年高考模拟数学试卷03(新高考Ⅱ数学试卷专用)(解析版)

PAGEPAGE1备战2024年高考数学模拟卷03（新高考Ⅱ卷专用）第I卷（选择题）一、单项选择题1．已知z1+i=1-1i，则A．2 B．22 C．2 D．〖答案〗C〖解析〗由z1+i=1-则z=-2i，所以故选：C.2．集合A=-2,-1,0,1,2,3，集合B=xA．2 B．3 C．4 D．5〖答案〗B〖解析〗集合A=-2,-1,0,1,2,3，B所以集合A∩B中元素的个数为故选：B3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，对任意的n∈N*A．3,+∞ B．C．-∞,-3∪〖答案〗B〖解析〗由题意知S5是等差数列an的前n项和中的最小值，必有a1若a5=0，此时S4=S5，S4此时a5=a1+4若a5<0，a6>0，此时S5此时a5=a1+4d则a8综上可得：a8a6故选:B．4．为进一步在全市掀起全民健身热潮，兴义市于9月10日在万峰林举办半程马拉松比赛.已知本次比赛设有4个服务点，现将6名志愿者分配到4个服务点，要求每位志愿者都要到一个服务点服务，每个服务点都要安排志愿者，且最后一个服务点至少安排2名志愿者，有（

）种分配方式A．540 B．660 C．980 D．1200〖答案〗B〖解析〗由题知可按照最后一个服务区有2名志愿者和3名志愿者进行分配，①6=1+1+2+2，有C6②6=1+1+1+3，有C6共有540+120=660（种）.故选：B.5．设函数fx=3cosωx+sinωx，且函数gxA．1315,1615 B．56,〖答案〗B〖解析〗fx令gx=f因为函数gx=fx2所以函数f(x)=2sinωx+π3在0,5π当0≤x≤5π时，π3令ωx+π3=t则y=sint在π3,5ωπ+π所以9π2≤5ωπ+π故选：B．6．如图所示，F1,F2是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,A．3 B．2 C．23 D．〖答案〗D〖解析〗△ABF2中|BF2|所以|AB|=|BF2又∠BAF2+∠F1所以|AB|=|AF1|，令|AB|=|AF1|=x而|F1F2|=2c，由B可得4x2+4(x-a)2=4故选：D7．已知函数fx=log2x，设a=f(logA．b<a<c B．c<a〖答案〗A〖解析〗依题意，得f(x)的定义域为xx≠0，函数f(x)为偶函数，且f(x)在(0,+∞)上为增而a=f(log因为2<3<4，所以log22<log因为y=7x在R上为增函数，且-0.1<0c=flog因为25>16，所以log425>log所以f(log425)>f(log8．设函数f(x)=x-e-x，直线A．2-1e BC．2-1e2〖答案〗C〖解析〗令fx的切点为x0,所以过切点的切线方程为y-x即y=1+e-所以2a+b=-e令gx=-e所以当x∈-∞,2时g'当x∈2,+∞时g'x所以gxmin=g2二、多项选择题9．在1-2x3x-aA．a=3 B．展开式中的常数项为C．展开式中x4的系数为160 D．展开式中无理项的系数之和为〖答案〗BC〖解析〗根据题意令x=1，得1-2x3x-a5的展开式中各项系数和为则1-2x又x-25的展开式的通项为T所以展开式中的常数项为1×-25含x4的项为-2x3⋅展开式中无理项的系数之和为1-2-20C5010．如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为1，高为3，F为棱AA1的中点，D,E分别在棱B

A．V1+V2+C．2V1=3V〖答案〗ABD〖解析〗正三棱柱ABC-A1B1C1的体积为VABC-沿着侧棱AA1将棱柱展开得到一个矩形A1

因为A1D+DE+EA取得最小值，即线段由于四边形A1P1PA为边长为3的正方形，所以DBV1=1V3=VE-AFD=VE-故选:ABD．11．已知抛物线C:y2=2pxp>0的准线为l:x=-1，焦点为F，过点F的直线与抛物线交于A．若x1+B．以PQ为直径的圆与准线l相切C．设M0,1，则D．过点M0,1与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2〖答案〗ABC〖解析〗由题意，抛物线C:y2=2pxp>0的准线为l:x=-1，所以p=2，抛物线C的方程为过Q作QQ1⊥l

则由抛物线的定义可得PQ=PF+PQ=x1+x线段PQ的中点坐标为x1则线段PQ的中点到准线的距离为x1所以以PQ为直径的圆与准线l相切，故B正确；抛物线C:y2=4x的焦点为F当且仅当M，P，F三点共线时取等号，所以PM+PP对于D，当直线斜率不存在时，直线方程为x=0，与抛物线只有一个交点，当直线斜率存在时，设直线方程为y=kx+1，联立y=kx+1,y2=4x,消去x当k=0时，方程的解为y=1，此时直线与抛物线只有一个交点，当k≠0时，则Δ=16-16k=0，解得k=1，综上所述，过点M0,1与抛物线C有且仅有一个公共点的直线有3条，故D故选：ABC．12．泰勒公式通俗的讲就是用一个多项式函数去逼近一个给定的函数，也叫泰勒展开式，下面给出两个泰勒展开式esin由此可以判断下列各式正确的是（

）．A．eix=cosx+isinx（C．2x≥1+x〖答案〗ACD〖解析〗对于A、B，由sinx=x-x两边求导得cosx=1-xisinx=xi-xcosx+isinx=1+xi-x又eix=1+xi-x=cosx+isinx，故A正确，B错误；对于C，已知ex=1+x+x因为2x=exln2x≥0，则exln2故C正确；对于D，cosx=1-x2cosx=1-当x∈0,1，-x66!+-x2n2n所以-x66!+x88!-第II卷（非选择题）三、填空题13．设向量AB=x,2x在向量AC=3,-4〖答案〗1〖解析〗向量AB=x,2x在向量AB⋅ACAC⋅ACAC=3x-8x2514．四个面都为直角三角形的四面体称之为鳌臑．在鳌臑P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=4，AB=

〖答案〗24π〖解析〗把鳌臑P-ABC补成一个长方体，如图所示：

则长方体的外接球即是鳌臑P-ABC的外接球，又∵PA=4，AB=BC=2，∴长方体的外接球半径R=1∴鳌臑P-ABC的外接球半径为R=6则该球的表面积是4πR故〖答案〗为：24π．15．已知圆O:x2+y2=4，过点M-3,-3的直线l交圆〖答案〗x=-3（〖答案〗不唯一，y=〖解析〗由题意得O0,0，半径r=2，MO故M-3,-3在圆外，设O由MA=AB得2r解得d=3当直线l斜率不存在时，即x=-3，此时d=当直线l斜率存在时，设为y=kx+3-则d=3k-3k2+1，即3故〖答案〗为：x=-3（〖答案〗不唯一，y=16．已知函数fx及其导函数f'x的定义域均为R，记gx=f'x，若f〖答案〗6〖解析〗因为f1-2x+4x为偶函数，所以两边同时求导得-2f'所以f'1+x+f令x=0，得g1令x=-32，得g-12由gx+2=gx-4所以gx的周期为6，则g而g4+g-所以g5故〖答案〗为：6.四、解答题17．在①3csinA+C2=bsinC；②(1)求角B；(2)若b2+c2=a解：(1)选①，则3csin所以3sinCcosB2=sinBsinC，而所以sinB2=选②，则3BA所以-3cosB=sinB⇒tanB=-3，而B∈(0,π)选③，则tanC=ccosA33所以cosAcosC=3所以cos(A+C)=cos(π-B)=-cosB=33sinB，则tanB=-3，而(2)由b2+c2=a2+3结合(1)易知：△ABC为顶角为2π3的等腰三角形，如下图，D是BC△ABC的外接圆周长为23π，若外接圆半径为r，则所以b=2rsinB=3,c=2rsinC=3，而AB所以|AD则|AD|2=3+9+94=18．若数列an的前n项和Sn满足(1)证明：数列an(2)设bn=log21-an+1，记数列1b(1)证明：由Sn=2an+n当n≥2时，Sn-1=2a∴n≥2时，an∴数列an-1是以a∴an-1=-(2)证明：由（1）知，an+1=1-2n+1∴1b∴Tn因为n∈N*，所以1n+2>0，所以所以对任意的正整数n，都有Tn<19．2023年9月8日，第19届亚运会火炬传递启动仪式在杭州西湖景区涌金公园广场成功举行．火炬传递首日传递从杭州西湖涌金公园广场出发，沿南山路—湖滨路—环城西路—北山街—西泠桥—孤山路传递，在“西湖十景”之一的平湖秋月收火．杭州亚运会火炬首日传递共有106棒火炬手参与．(1)组委会从全省火炬手中随机抽取了100名火炬手进行信息分析，得到如下表格：性别年龄总计满50周岁未满50周岁男154560女53540总计2080100α0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.828根据小概率值α=0.1的χ2独立性检验，试判断全省火炬手的性别与年龄满或未满(2)在全省的火炬手中，男性占比72%，女性占比28%，且50%的男性火炬手和25%的女性火炬手喜欢观看足球比赛．某电视台随机选取一位喜欢足球比赛的火炬手做访谈，请问这位火炬手是男性的概率为多少？(1)解：零假设为：H0：全省火炬手性别与年龄满或未满50根据2×2列联表中的数据，计算得χ2=所以根据小概率值α=0.1的χ2独立性检验，没有充分证据推断H因此可以认定为H0全省火炬手性别与年龄满或未满50周岁相互独立（没有关联）．(2)解：设A表示火炬手为男性，B表示火炬手喜欢足球，则P(A|B)=P(AB)所以这位火炬手是男性的概率约为364320．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB(1)证明：AB(2)若点C到平面ABD的距离为3，求平面ABC与平面BCD的夹角的正弦值．(1)证明：连接A1因为四边形AA1B在直三棱柱ABC-A1B1C由AB⊥AC得A1C1⊥A所以A1C1⊥平面AA1B又A1B∩A1C1=A1所以AB1⊥平面A1BD所以AB(2)解：以A为原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AC=2a，则A0,0,0，B3,0,0AB=3,0,0，AC设n=x,y,z为平面则n⋅AD=0n⋅AB=0，即ay+故n=由题意，AC⋅nn所以BC=-3设i=p,q,r为平面则i⋅BC=0令q=3，则p=2，r=1，即i平面ABC的一个法向量为j=设平面ABC和平面BCD的夹角为θ，则cosθ=i所以sinθ=1-所以平面ABC和平面BCD的夹角的正弦值为14421．已知双曲线C:x22-y22=1，直线l过双曲线C的右焦点F且交右支于A,B(1)求双曲线C的渐近线方程；(2)若TS⋅TB=解：(1)由题知，a=b=2，所以双曲线C的渐近线方程为y=±(2)双曲线C:x22由题知，直线AB的斜率不为0，设直线AB方程为x=ty+2，代入双曲线C:x化简可得：t2设Ax1,y则x∴线段AB中点S的坐标为-2直线ST方程为y+2tt（i）当t=0时，S点恰好为焦点F，此时存在点T2+453,0此时直线AB方程为x=2．（ii）当t≠0时，令y=0可得x=-4t2-1由于ST⊥AB所以TS⋅由TS⋅TB=809化简可得20t4-49由于直线AB要交双曲线右支于两点，所以-4t2-1可得直线AB的方程为x=±12综上：直线AB方程为y=2x-4或y=-2x+4或x=2．

22．已知函数fx(1)若函数fx在点Aπ2,0处的切线与函数(2)若函数fx和函数gx的图象没有公共点，求实数a解：(1)因为f(x)=cosxx，所以则f(x)在点Aπ2,0所以切线方程为y=-2π(x-由y=-2πx+1y=1因为函数定义域为{x|x≠0}，所以方程(a-2当a=2π时，x=1，符合题意，当a≠2π时，则Δ=1+4(a-2所以实数a的取值范围是a≥2(2)因为函数f(x)和函数g(x)的图象没有公共点，所以f(x)=g(x)，即cosxx所以当x≠0时，h(x)=cosx+ax因为h(-x)=h(x)，即h(x)是偶函数，所以h(x)=cosx+ax2-1=0h'记m(x)=h'(x)=2ax-sinx则m①当a<0时，ax2<0，又-1≤cosx≤1，则cosx-1≤0，所