数学-专项17 一元一次不等式组中的整数解问题（带答案）

专题17一元一次不等式组中的整数解问题（解析版）典例剖析类型一正（负）整数解问题1．不等式x+52−1＞3x+23的非负整数解是思路引领：先求解一元一次不等式，然后再求出其符合条件的非负整数解即可．解：原不等式可化为：3（x+5）﹣6＞2（3x+2）3x+15﹣6＞6x+4移项得：6x﹣3x＜15﹣6﹣4，合并同类项、化系数为1得：x＜5∴非负整数解是0，1．故答案为：0，1．总结提升：考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．2．（2022秋•鹿城区校级期中）定义新运算：a※b＝1﹣ab，则不等式x※2＞﹣3的正整数解为．思路引领：根据新定义的运算得出1﹣2x＞﹣3，求出1﹣2x＞﹣3的正整数解即可．解：根据新定义的运算方法可得，x※2＞﹣3，即1﹣2x＞﹣3，解得x＜2，而x＜2的正整数为1，故答案为：1．总结提升：本题考查一元一次不等式的整数解，理解新定义的运算是正确解答的关键，求出一元一次不等式的解集是得出正确答案的前提．3．（2021•瑞金市一模）解不等式组x−34思路引领：分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，再写出它的所有整数解．解：x−34解不等式①得x＞﹣3，

解不等式②得x≤2，故原不等式组的解集为﹣3＜x≤2．则它的所有整数解为﹣2，﹣1，0，1，2．总结提升：本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．类型二整数解的个数问题4．（2020春•南岗区校级月考）不等式x2+1≥A．2 B．3 C．4 D．5思路引领：不等式去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，求出解集，确定出自然数解即可．解：去分母得：x+2≥2x﹣2，移项合并得：﹣x≥﹣4，解得：x≤4，则不等式的自然数解为0，1，2，3，4共5个．故选：D．总结提升：此题考查了一元一次不等式的自然数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5．（2021春•仁寿县校级期末）不等式2x−13−5x+12≤A．0 B．2 C．3 D．4思路引领：分别求出不等式组中的两个不等式的解集，利用数轴找出其解集的公共部分，进而得出不等式组的解集，再得出整数解即可．解：由题意得，2x−13解不等式①得，x≥﹣1，解不等式②得，x＜2，把两个不等式的解集在一条数轴上表示如下：

所以不等式组的解集为﹣1≤x＜2，不等式组的整数解有﹣1，0，1，共3个，故选：C．总结提升：本题考查一元一次不等式组的整数解，理解整数解的定义，掌握一元一次不等式组的解法是正确解答的前提．类型三整数解的和的问题6．（2022秋•明山区校级月考）不等式组：2x＞3x−22x−1A．0 B．2 C．﹣2 D．﹣1思路引领：分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分求出不等式组的解集，进而求出整数解之和即可．解：2x＞3x−2①2x−1由①得：x＜2，由②得：x≥﹣2，∴不等式组的解集为﹣2≤x＜2，即整数解为﹣2，﹣1，0，1，则所有整数解的和为﹣2﹣1+0+1＝﹣2．故选：C．总结提升：此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．7．（2022•兴宁区校级开学）已知关于x的不等式组3x−m＜0x＞−4的所有整数解的和为﹣5，则mA．﹣6＜m≤﹣3或3＜m≤6 B．﹣6≤m＜﹣3或3≤m＜6 C．﹣6≤m＜﹣3 D．﹣6＜m≤﹣3思路引领：分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的整数解的情况列出关于m的不等式，解之即可．解：由3x﹣m＜0，得：x＜m又x＞﹣4，且不等式组所有整数解的和为﹣5，∴不等式组的整数解为﹣3、﹣2或﹣3、﹣2、﹣1、0、1，

∴﹣2＜m3≤−解得﹣6＜m≤﹣3或3＜m≤6，故选：A．总结提升：本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．8．（2017春•盐城期末）不等式x+12＞2x+2思路引领：先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据不等式的解集找出所有正整数解即可．解：去分母，得：3（x+1）＞2（2x+2）﹣6，去括号，得：3x+3＞4x+4﹣6，移项，得：3x﹣4x＞4﹣6﹣3，合并同类项，得：﹣x＞﹣5，系数化为1，得：x＜5，∴不等式所有正整数解得和为：1+2+3+4＝10，故答案为：10．总结提升：本题考查了不等式的性质，解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解的应用，解此题的关键是求出不等式的解集．类型四最大或最小整数解问题9．（2019•兰陵县一模）一元一次不等式组2(x+3)−4≤0x+1A．﹣1 B．0 C．1 D．2思路引领：先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．解：2(x+3)−4≤0①解不等式①得：x≤﹣1，解不等式②得：x＜2，∴不等式组的解集为x≤﹣1，∴不等式组的最大整数解是﹣1，故选：A．

总结提升：本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．10．（2019春•全椒县期中）不等式3x−15−x−12≥思路引领：先求出不等式的解集，即可得出答案．解：6x﹣2﹣5x+5≥10x≥7∴不等式3x−15故答案为：7．总结提升：本题考查了一元一次不等式，一元一次不等式的整数解的应用，关键是求出不等式的解集．第二部分专题提优训练一．选择题1．不等式2x﹣5＜5﹣2x的正整数解有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个思路引领：先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据不等式的解集找出即可．解：∵2x﹣5＜5﹣2x，∴2x+2x＜5+5，∴4x＜10，∴x＜2.5，∴不等式的正整数解有1，2共两个，故选：B．总结提升：本题考查了不等式的性质，解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解的应用，解此题的关键是求出不等式的解集．2．（2020春•涪城区校级期末）不等式2x+a3≥1A．−310≤a＜15 B．−3思路引领：解不等式求得不等式的解集，根据不等式的最小整数解是3，得到一个关于a的不等式组，从而确定a的取值范围．解：由2x+a3≥12

∵不等式的最小整数解是3，∴2＜12−10a解得−310≤故选：A．总结提升：本题考查了一元一次不等式的整数解，根据不等式的最小整数解确定关于a的不等式组是解题的关键．3．（2021春•淅川县期末）若不等式组5−x＞22x+3＞0的最小整数解是a，最大整数解是b，则a+bA．2 B．1 C．4 D．0思路引领：分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，继而得出其最大、最小整数解，从而得出答案．解：解不等式5﹣x＞2，得：x＜3，解不等式2x+3＞0，得：x＞﹣1.5，则不等式组的解集为﹣1.5＜x＜3，∴其最小整数解a＝﹣1，最大整数解b＝2，∴a+b＝﹣1+2＝1，故选：B．总结提升：本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．4．（2018•长乐区模拟）不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式组的整数解是（）A．2 B．1和2 C．2和3 D．1和2和3思路引领：根据数轴得到两个不等式解集的公共部分即可．解：由数轴知该不等式组的解集为1＜x≤3，所以，该不等式组的整数解是2、3，故选：C．总结提升：本题考查的是解一元一次不等式组，根据数轴得到两个解集的公共部分是解答此题的关键．5．（2021春•招远市期末）如果关于x的不等式组x＞−1x≤a只有5个整数解，那么a

A．5≤a＜6 B．5＜a≤6 C．4≤a＜5 D．4＜a≤5思路引领：由关于x的不等式组x＞−1x≤a解：∵关于x的不等式组x＞−1x≤a∴此不等式组的整数解分别为0、1、2、3、4，∴4≤a＜5，故选：C．总结提升：本题主要考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是根据整数解的个数确定具体的整数解，继而确定a的范围．二．填空题6．（2019春•邓州市期中）不等式3x﹣2≤5x+6的最大负整数解为．思路引领：解不等式求出x的范围即可得．解：∵3x﹣2≤5x+6，∴3x﹣5x≤6+2，﹣2x≤8，则x≥﹣4，∴不等式的最大负整数解为x＝﹣1，故答案为：x＝﹣1．总结提升：本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．7．（2017春•龙泉驿区期末）不等式2x+3＜0的最大整数解是．思路引领：求出不等式的解集后，然后在解集范围内找出最大整数解即可．解：2x+3＜0，2x＜﹣3，x＜−3最大整数解是﹣2，故答案为﹣2．总结提升：

本题考查了一元一次不等式的整数解，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．三．解答题8．（2020春•大兴区期末）解不等式组3(x−1)＜5x+23思路引领：分别解出两个不等式的解集，再根据解集的规律：大小小大中间找确定不等式组的解集，然后再确定它的正整数解．解：3(x−1)＜5x+2①解①得：x＞−5解②得：x≤4，不等式组的解集为：−52则它的正整数解为1，2，3，4．总结提升：此题主要考查了一元一次不等式组的解法，关键是掌握不等式组确定解集的方法．9．（2021春•龙湖区期末）解不等式组1−x≤2x+4①3x−2思路引领：先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后求出不等式组的整数解即可．解：解不等式①，得x≥﹣1，解不等式②，得x＜4所以不等式组的解集是﹣1≤x＜4所以不等式组的整数解是﹣1，0，1．总结提升：本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能求出不等式组的解集是解此题的关键．10．（2021春•金塔县期末）解不等式组3x−6≤x−42x+1＜3(x+1)