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文档简介
高中数学研修室三角函数求w问题的一类必备解法一.基本原理在三角函数图象与性质中,对整个图象的性质影响是最大的!毕竟,可以改变函数的单调区间,极值个数,零点个数等.因此,对的取值范围的考察就是高考的热门考点之一,这部分考题呈现出综合性较强,对学生的逻辑推理,直观想象素养要求较高,比如2016年一卷12题,2019年一卷11题,三卷12题等,2022年甲卷11题等.所以,对的取值范围的系统研究有助于学生进一步突破三角压轴!特别地,在这类问题中,尤以下面这类题目出现频率最高,即定区间上知,再结合函数性质求的取值范围.具体说来,在这类问题中,我认为最好的处理方法就是换元,通过换元将对图象的影响转化为对的某个动区间的影响,这样做的好处就是图象定下来了,是我们最熟悉的正弦函数,处理起来更加直观.下面我们来看一些例子.1.正弦函数的性质.(1).定义域:.(2).值域:.(3).周期性:周期函数,周期是,最小正周期为.(4).奇偶性:奇函数,其图象关于原点对称.(5).单调性:增区间:减区间:(6).对称性:对称轴:,对称中心:2.余弦函数的性质.(1).定义域:.(2).值域:(3).周期性:周期函数,周期是,最小正周期为.(4).奇偶性:偶函数,其图象关于轴对称.(5).单调性:减区间:增区间:(6).对称性:对称轴:,对称中心:4.正弦型函数的性质.(1).定义域:.(2).值域:(3).周期性:周期函数,周期是.(4).奇偶性:当时为奇函数;当时为偶函数.(5).单调性:当时:令,求解增区间.令,求解减区间.当时:注意单调区间的转化.(6).对称性:对称轴:令,求解对称轴方程,对称轴处取最值.对称中心:令,求解对称中心坐标.5.余弦型函数的性质.(1).定义域:.(2).值域:(3).周期性:周期函数,周期是.(4).奇偶性:当时为偶函数;当时为奇函数.(5).单调性:当时:令,求解减区间.令,求解增区间.当时:注意单调区间的转化.(6).对称性:对称轴:令,求解对称轴方程,对称轴处取最值.对称中心:令,求解对称中心坐标.二.典例分析知求的问题中,我认为最好的处理方法就是换元,通过换元将对图象的影响转化为对的某个动区间的影响,这样做的好处就是图象定下来了,是我们最熟悉的正弦函数,处理起来更加直观.下面我们来看一些例子.1.已知单调性求.例1.已知,函数在上单调递减,求的取值范围.分析:(1)最大的增,减区间占半周期可求的范围;(2)是最大减区间的子区间.解析:,由于,故欲使得在区间递减,只需使得在递减,即可解得.2.已知最值求.例2.函数,当上恰好取得5个最大值,则实数的取值范围为()A. B. C. D.【答案】C3.已知对称轴求.例3.已知函数的图象在上有且仅有两条对称轴,求的取值范围.变式:图象在上有且仅有两条对称轴,求的取值范围.4.已知零点求.例4.已知其中,若函数在区间内没有零点,则的取值范围是()A. B.C. D.【答案】D5.求综合问题例5.(2019全国3卷)设函数=sin()(>0),已知在有且仅有5个零点,下述四个结论:①在()有且仅有3个极大值点②在()有且仅有2个极小值点③在()单调递增④的取值范围是[)其中所有正确结论的编号是A.①④ B.②③ C.①②③ D.①③④【答案】D解析:当时,,∵在有且仅有5个零点,∴,∴,故④正确,由,知时,令时取得极大值,①正确;极小值点不确定,可能是2个也可能是3个,②不正确;因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案,当时,,若在单调递增,则,即,∵,故③正确.故选D三.习题演练1.设函数,若对于任意实数,在区间上至少有2个零点,至多有3个零点,则的取值范围是()A. B. C. D.【详解】令,则,令,则,则问题转化为在区间上至少有两个,至少有三个t,使得,求的取值范围.作出和的图像,观察交点个数,可知使得的最短区间长度为2π,最长长度为,由题意列不等式的:,解得:.故选:B2.已知函数在内有且仅有两个零点,则的取值范围是(
)A. B. C. D.【详解】由得,而当,时,,又,函数在内有且仅有两个零点,于是得,解得,所以的取值范围是.故选:D3.已知函数在内有且仅有三条对称轴,则的取值范围是(
)A. B. C. D.【详解】当时,,函数在内有且仅有三条对称轴,则有,解得,故选:B.4.已知函数,若在上无零点,则的取值范围是(
)A. B. C. D.【详解】由题意得,得,由,得,因为在上无零点,所以(),解得(),当时,,当时,,当时,无解,因为,所以或,所以的取值范围是,故选:B5.(2022年全国甲卷)已知区间在上恰有三个极值点,两个零点,则的取值范围是A. B. C. D.【详解】设,则,有两个零点可得,即。又因为有三个极值点,,所以,所以,综上得,即选C.6.(多选题)已知函数,则下列结论正确的有(
)A.将函数的图象向左平移个单位长度,总能得到的图象B.若,则当时,的取值范围为C.若在区间上恰有3个极大值点,则D.若在区间上单调递减,则【详解】由题可得对于A,向左平移个单位长度为,故不一定能得到的图象,A错误;对于B,,,则,,所以,B正确;对C,由可得,由在区间上恰有3个极大值点可得,C正确;对于D,,则,因为单调递减,所以,,且即,解得,,且,当时,,当时,,D错误.故选:BC.7.定义在上的函数
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