三角函数求w问题的一类必备解法

高中数学研修室三角函数求w问题的一类必备解法一．基本原理在三角函数图象与性质中，对整个图象的性质影响是最大的！毕竟，可以改变函数的单调区间，极值个数，零点个数等.因此，对的取值范围的考察就是高考的热门考点之一，这部分考题呈现出综合性较强，对学生的逻辑推理，直观想象素养要求较高，比如2016年一卷12题，2019年一卷11题，三卷12题等，2022年甲卷11题等.所以，对的取值范围的系统研究有助于学生进一步突破三角压轴！特别地，在这类问题中，尤以下面这类题目出现频率最高，即定区间上知，再结合函数性质求的取值范围.具体说来，在这类问题中，我认为最好的处理方法就是换元，通过换元将对图象的影响转化为对的某个动区间的影响，这样做的好处就是图象定下来了，是我们最熟悉的正弦函数，处理起来更加直观.下面我们来看一些例子.1.正弦函数的性质.(1).定义域:.(2).值域:.(3).周期性:周期函数，周期是,最小正周期为.(4).奇偶性:奇函数，其图象关于原点对称.(5).单调性:增区间：减区间：(6).对称性:对称轴：，对称中心：2.余弦函数的性质.(1).定义域:.(2).值域:(3).周期性:周期函数，周期是，最小正周期为.(4).奇偶性:偶函数，其图象关于轴对称.(5).单调性:减区间：增区间：(6).对称性:对称轴：，对称中心：4.正弦型函数的性质.(1).定义域:.(2).值域:(3).周期性:周期函数，周期是.(4).奇偶性:当时为奇函数；当时为偶函数.(5).单调性:当时：令，求解增区间.令，求解减区间.当时：注意单调区间的转化.(6).对称性:对称轴：令，求解对称轴方程，对称轴处取最值.对称中心：令，求解对称中心坐标.5.余弦型函数的性质.(1).定义域:.(2).值域:(3).周期性:周期函数，周期是.(4).奇偶性:当时为偶函数；当时为奇函数.(5).单调性:当时：令，求解减区间.令，求解增区间.当时：注意单调区间的转化.(6).对称性:对称轴：令，求解对称轴方程，对称轴处取最值.对称中心：令，求解对称中心坐标.二.典例分析知求的问题中，我认为最好的处理方法就是换元，通过换元将对图象的影响转化为对的某个动区间的影响，这样做的好处就是图象定下来了，是我们最熟悉的正弦函数，处理起来更加直观.下面我们来看一些例子.1.已知单调性求.例1.已知，函数在上单调递减，求的取值范围.分析：（1）最大的增，减区间占半周期可求的范围；（2）是最大减区间的子区间.解析：，由于，故欲使得在区间递减，只需使得在递减，即可解得.2.已知最值求.例2．函数，当上恰好取得5个最大值，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】C3.已知对称轴求.例3.已知函数的图象在上有且仅有两条对称轴，求的取值范围.变式：图象在上有且仅有两条对称轴，求的取值范围.4.已知零点求.例4．已知其中,若函数在区间内没有零点,则的取值范围是()A． B．C． D．【答案】D5.求综合问题例5．（2019全国3卷）设函数=sin（）(＞0)，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论：①在（）有且仅有3个极大值点②在（）有且仅有2个极小值点③在（）单调递增④的取值范围是[)其中所有正确结论的编号是A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④【答案】D解析：当时，，∵在有且仅有5个零点，∴，∴，故④正确，由，知时，令时取得极大值，①正确；极小值点不确定，可能是2个也可能是3个，②不正确；因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，当时，，若在单调递增，则，即，∵，故③正确．故选D三．习题演练1．设函数，若对于任意实数，在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是（）A． B． C． D．【详解】令，则，令，则，则问题转化为在区间上至少有两个，至少有三个t，使得，求的取值范围.作出和的图像，观察交点个数，可知使得的最短区间长度为2π，最长长度为，由题意列不等式的：，解得：.故选：B2．已知函数在内有且仅有两个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【详解】由得，而当，时，，又，函数在内有且仅有两个零点，于是得，解得，所以的取值范围是.故选：D3．已知函数在内有且仅有三条对称轴，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【详解】当时，，函数在内有且仅有三条对称轴，则有，解得，故选：B.4．已知函数，若在上无零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【详解】由题意得，得，由，得，因为在上无零点，所以（），解得（），当时，，当时，，当时，无解，因为，所以或，所以的取值范围是，故选：B5.（2022年全国甲卷）已知区间在上恰有三个极值点，两个零点，则的取值范围是A． B． C． D．【详解】设，则，有两个零点可得，即。又因为有三个极值点，，所以，所以，综上得，即选C．6．（多选题）已知函数，则下列结论正确的有（

）A．将函数的图象向左平移个单位长度，总能得到的图象B．若，则当时，的取值范围为C．若在区间上恰有3个极大值点，则D．若在区间上单调递减，则【详解】由题可得对于A，向左平移个单位长度为，故不一定能得到的图象，A错误；对于B，，，则，，所以，B正确；对C，由可得，由在区间上恰有3个极大值点可得，C正确；对于D，，则，因为单调递减，所以，，且即，解得，，且，当时，，当时，，D错误.故选：BC.7．定义在上的函数