【论中学数学中的对称美及其应用研究7000字【论文】】

论中学数学中的对称美及其应用研究目录TOC\o"1-2"\h\u129881.前言 1140481.1研究背景 1291131.2研究意义 28472.相关概念概述 3912.1对称的概念 3192592.2数学美 3238462.3数学对称美的分类 3163223.对称美在中学数学中的表现形式 493513.1平面图形的对称美 443813.2空间图形的对称美 6308723.3公式与定理的对称美 71644.对称美在中学数学解题中的应用 867784.1利用对称美,猜想问题结果 8119614.2利用对称美,产生解题灵感 996404.3利用对称性,对问题进行转化 1032764.4利用对称美,合理准确选择 11246995.结论 1120085参考文献 121.前言1.1研究背景数学美自古以来就吸引着人们的注意力,古代哲学家和数学家鲁卡拉斯曾经说过“有数学的地方是美丽的.”数学如果能正确表示的话,不仅仅是真实,哈迪在数学家的歧视下写下了数学家的建模要像画家和诗人那样协调.美是第一标准,不美的数学在世界上是不会有永久位置的.在古希腊,人们在研究数学对称性得到了启发,例如,泰勒斯能正确测量金字塔的高度,就是应用三角形一致的原理,还有测量海上船只之间的距离,我们就运用了今天他所研究的比率原则.他还认为,“圆的直径填圆”、“等腰三角形的两个角相等”、“两条直线相交,顶点相等”等.毕达哥拉斯学派认为圆是最完美的平面图,球是最完美的立体图形.并且,基本天体模型由球组成.而且,它构成了希腊天文学的基础.欧几里德写的书是人类历史上最早最丰富的数学书,它影响了数学的发展,有很多关于对称性的命题,表明人们在那个时候对对称性有了更深刻的理解.例如,欧几里德的“相等量的相等量”、“相等量的相等量的差”、“相等量的相等量的合计”,包含了几个公理,加上“相等量之和相等量”,周易这本书还描写了其中包括天文学等自然科学的内容,是中国哲学和科学史上第一部经典作品,刘慧在《出入互补》中,就深刻反映了作者对对称性的研究在九章算术中关于剩余问题,还包含对称性的概念.而杨辉三角是一种典型的直观对称图形,反应了二项展开式中系数间的一种对称结构.这些都是国内外对于对称性的研究,这就是数学对称美的魅力从很久以前就吸引着许多优秀数学家和数学爱好者的追捧[2].1.2研究意义数学中的对称性是普遍存在的,不仅具有美感,而且具有价值,对称更是一种重要的数学思想,可以使用数学模型和方法、代数、几何、方程式、对称性的概念来解决问题,简化问题,提高解决问题的效率,例如,解决方程式的方程式,在方程式的两侧添加数字或公式方程式还相等.这是对称概念,对称是数学几何中最直观的实施例,如圆、球、抛物线、双曲线,所有的对称性都非常直观,使用对称性可以直接得出结论和结果.初中生在解决数学问题的过程中可以合理使用对称性,可以帮助学生解决问题,它可以培养学生的多种思维,展示数学的对称美,加深学生对数学对称性方法和应用技术的理解.然后,提高学生的数学思考和应用能力.不仅可以让学生快速解决问题,而且可以让他们体验对称性之美.学习对称性的思想对学习数学有重要的意义.数学美是数学真理的一种表达.数学上的许多重大发现或突破都得益于数学中对称美的方法[3].在数学教育中,一些学生对概念和定理的理解常常停留在肤浅的水平.在教育中明智地使用概念和定理的对称性,可以使学生加深对概念的理解.在感受数学对称之美的同时,了解数学的魅力[4].首先,我们应该培养学生的兴趣.美的教育的影响也是重要的方面.简单、奇妙、对称性和统一,数学中有丰富的美.因此,在中学数学教育过程中,要充分挖掘数学美的因素,并对各种数学教育产生积极影响,教学生有效的方法.初中数学的对称性之美是一本很好的教科书.因此,应该注意对称性的基本内容和对称性的数学思考方法.20世纪著名的德国数学家哈曼・维尔这样说道.我们可以看到对称美和思考方法的重要性.但是,我们的“中学课程标准”是学生必须掌握的教材内容,特别是对这种对称思考方法的应用要理解和掌握,平面图形的对称变换学习和发现几何图形中一些相对简单的对称群,对进一步实现在研究事物对称性和其他数学对象中有重要作用.2.相关概念概述2.1对称的概念“对称”一词是从希腊语翻译而来的,其含义是“和谐”和“美”,其原始含义是“某些项目的安排的统一与和谐”.中国数学家段树夫教授说:“对称性意味着两件事是相对的和成比例的,或者相似且相等”.因此,互换两者似乎并没有关系.“美丽与对称性息息相关”,德国著名的数学家和物理学家韦尔说.在现实世界中,形式和内容的对称性广泛存在于客观对象中,包括轴向对称性.空间对称,周期性,有节奏,旋律的时间对称,例如向心对称,镜像对称等.对称美是数学美的主要表达方式之一,数学的本质是数量与数量之间关系中自然对象和谐的最直观表达,它是具有自动转换组作用的组成部分[5].2.2数学美美是客观对象的自然属性.数学作为一种科学语言,具有共同的语言、文学和艺术美.也就是说,数学在内容的构造和方法,即所谓的数学美中有着独特的美.2.3数学对称美的分类2.3.1图形的对称美图形的对称性很直观,可以给人以美感.中学数学中几何图形的对称性是视觉对称性的典型美.平面或空间图形的对称性,平面图形的轴对称性和空间图形的平面对称性是很好的例子.例如,圆是中心对称的,穿过对称中心的所有线条都是对称轴.球总是被认为是最简单而美丽的几何图形.它是中心对称的,穿过对称中心的所有平面都是球的对称平面.毕达哥拉斯学派相信“在所有三维图形中,最美丽的是一个球体,而在所有平面图形中,最美丽的是一个圆”.用立方体连接4个适当的点以获得四面体.脸部中央,八面体脊椎和圆锥形部分可以使人拥有强烈而完美对称的美感[6].2.3.2公式的对称美公式的对称性主要表现咋在不同算术符号的有效性和操作顺序的兼容性.公式的对称性不像图表那样直观和灵活.例如：,.在这里,和可以互换,公式仍然可以成立2.3.3定理的对称美数学中对称性的美也可以反映在数学中的各种概念和定理之间的对称性上.与正弦规则一样,我们简要地总结了三角形边缘和外接圆的角度和半径之间的关系.结构对称.广义上,奇数和偶数与奇偶校验不同,素数和复合数可以通过对称关系与可分解性相区分.在算术关系,和,乘法和平方根,指数和对数,微分和积分,矩阵和逆矩阵方面,这些倒数运算可以视为“对称”关系.特征也可以被认为是某种“对称”,并且更为笼统.变换和逆变换,反射和逆反射率也是对称的.从命题的角度来看,它具有原始定理和逆定理,具有对称和逆对称性关系[7].2.3.4解题方法的对称美对称美是人类美学的一个共同方向,不仅成为一种深刻的思想,而且成为解决问题的重要探索工具.在解决数学问题的过程中考虑对称美的要素时,使用对称美的思想可以启发学生找到合适的问题解决方法[8].3.对称美在中学数学中的表现形式3.1平面图形的对称美3.1.1轴对称图形在平面几何中,如果平面形状沿着平面内的直线折叠,两个部分能够重叠,则该图形被称为轴对称图形,该条直线被称为对称轴.根据定义,对称轴两侧的图形的对应部分是相同的,关于对称轴对称的任意点也在该图中[9].图3-1几个轴对称的平面图形3.1.2中心对称图形中学数学教科书中对中心对称图形的定义.如果旋转图形与原始图形一致,则该图形是中心对称图形,并且该点可以被称为对称中心.例如,一般的平行四边形围绕其中心旋转180°,那么这个图形会与原图形重合,我们就可以说这个图形是一种中心对称的图形.像下图中的椭圆和双曲线图形就是一种中心对称图形,这两种图形的对称的中心是坐标的原点.根据定义,当平面在固定点附近旋转180度时,可以这样理解平面对称图形,此时,平面上所有的点都在移动,图表的点也在移动,但他们整体不变[10].因此他们是中心对称的图形.图3-2圆锥曲线3.1.3平移对称图形平面内的几何形状的定义如下：当平面图形沿着一定距离平行于一定方向移动时,如果移动后的图形与原始图保持一致,那么我们就可以说这个图形是一种平移的对称图形.就像下图中的正弦函数图像以及余弦函数图像,他们沿着水平方向按个单位平移后,他们与原始图一致,在切线函数沿着水平方向移动个后,它也与原始图一致.那么就可以说,正弦函数和余弦函数的图像是轴对称图形和中心对称图形.图2.3正弦、余弦、正切函数的图像3.2空间图形的对称美3.2.1面对称图形在给定平面的反射下,如果一个图形经过平面的反射后成为自身,那么我们就可以说这种图形是一种面对称的图形,造成反射的平面就是对称面,这种平面也可以叫做对称平面.就像下图中的正四面体、立方体、圆锥、球,他们都属于面对称形状的立方体,有九个对称平面的是正方体,即任意两个相反的中心和任意边缘的中点形成的平面,圆锥形和球都有无数对称平面,但是圆锥对称的所有平面都必须通过轴,也就是穿过轴的平面束,而且,球的对称性的平面是穿过球的中心的任何平面.从定义的角度来看,平面内的平面对称图形和平面内的轴对称图形具有一些共同的特征.轴对称轴由对称平面代替,沿着固定线的反射由固定平面上的反射代替.平面图形的轴对称性是空间图形对称性的特殊情况,平面轴对称图形可以作为平面轴、角度、等角三角形、正方形、圆、椭圆等空间轴对称图形来考虑空间图形.它们通过对称轴并且相对于垂直于图的平面是平面对称的[11].图3-4几个空间对称图形3.2.2旋转对称图形空间模型围绕固定线旋转.在旋转后的图形与原始图形一致的情况下,我们可以把这种图形称为旋转对称图形,将该固定线称为旋转轴.例如像图3-4中的正四面体图形,正四面体图形通过旋转轴旋转0°、120°、240°后,正四面体图形旋转后的图形还和原来的图一致,所以正四面体图形是3次旋转对称图形.在图3-4中,立方体绕连接两个相反中心的线旋转270°、180°、和0°立方体图形旋转后的图形还和原来的图一致,所以立方体图形是4次旋转对称图形.图3-4的圆锥形和球都是任何旋转的对称形状,但圆锥只有一个旋转轴,而球只有无数个旋转轴,即穿过球中心的任何线都可以是旋转轴.换句话说,平面内的中心对称图形是空间中旋转对称图形的特殊情况.根据定义方法,只要固定中心点在中心对称图形的定义中被固定线替换,就成为旋转对称图形的定义.子中心对称图是经由次的旋转后与原始的图形对称[12].3.3公式与定理的对称美3.3.1公式的对称美公式最常见和最重要的对称性是字符在单个公式中的对称.例如,用于计算三角形的三个边是三角形的圆周的一半的三角形的面积的Helen的公式.三个字母之中两个任何交换,则该公式仍然保持,这表明对应于三个侧面的两个相等的三角形是相等的,因此三角形的三个侧面可以确定三角形的面积,并且该公式的对称性是不仅可以直接显示公式的美,而且可以直接显示数学的美.另外,杨辉三角可以直接显示双系数的组合结构,反映出数学的对称美.3.3.2定理的对称美在中学数学教材中,对称性是不可缺少的.事实上,中学数学知识系统整体上遵循着许多概念和理论的对称性.从操作的角度来看,加减法、乘法、除法、根、指数和对数、微分积分、矩阵、逆矩阵等.因为这些操作是一种对称性,所以为了知道这些知识的连接和差异,可以在教师的教授过程中使用对称性类推推测.在另一个例子中,从函数、函数和反函数的角度来看也是对称关系的一种.因此,学生在学习函数概念后,首先要回顾函数的概念,进行比较研究,从命题、真题、假命题、命题和逆命题的角度出发,这些命题的关系也是对称的[13].4.对称美在中学数学解题中的应用对称美遍布宇宙.对称性在日常生活中随处可见,如白雪、彩蝶、花瓣、宏伟建筑和精致工艺品等.随着人类社会的发展和科学技术的发展,对称性的研究在各个领域都得到普及,对称性是物质世界的基本性质之一,对称性和对称性的美是数学研究的对象之一[14].4.1利用对称美,猜想问题结果对称本身就是一种美.那是自然美最直接的表现.数学作为量和形的客观表现,必然会反映出这种美.许多数学家常常考虑到数学对称性的美来获得重要的数学结果.这里有几个例子例1已知,且;求函数最大值.分析：看到这个问题,很难直接计算答案.因此,我们首先观察这些变量之间的关系,发现条件和函数的变量与旋转对称多项式的定义非常一致.然后,可以计算函数的值所以下面的预测,我们需要证明预测的正确性,但是在考试中,这也是第一种帮助方法,这种方法也减少了这个问题的难度其证明可以采用我们基本不等式不难证得.直观主义的思考,直接和突然的思考的意义理解,没有逻辑性的分析和明确的逻辑性的程序给予问题的回答.直观主义的思考在解决问题中起着重要的作用.很多数学问题都是从数字和形式的直观主义感知中得到一些推测,然后实行逻辑证明[15].例2：给出半径的圆,找到在圆上刻有最大面积的三角形在解决问题之前,如果能推测出三角形的特性的话,对解决问题很有帮助.如何推测,那就需要美的直觉.我们知道,圆是最美的,是对称平面图形,而能填入圆的三角形则必须最接近圆.因此,这个三角形必须具有最对称性.三角形中,正角三角形是最对称的.比起其他三角形有更多的对称轴.因此,假设正角三角形可以填充“圆”到比其他三角形最大的范围设圆的内接三角形的三边分别为可得为定值,根据当且仅当时,有最大值同样地,通过使用对称性的概念,我们还可以得出结论,圆形上刻有最大面积的边缘必须是规则的边缘,而球上刻有最大体积的四面体必须是正四面体.评价和分析：从这个问题中,可以帮助学生从对称性推测和指出问题解决的方向.使用对称美来解决问题,是一种让学生自由感觉的教育,它有助于学生消除思想套的影响,尤其有助于学生进行非逻辑性的思考活动.教师可以根据他们的知识水平,用计划好的方法训练从全体开始的学生[16].4.2利用对称美,产生解题灵感对于一些数学问题,如一些与不等式有关的类似问题,这些不等式大多遵循对称性.此时,我们可以从对称美的角度观察变量的关系,常常可以激发我们的灵感,我们可以知道解决问题的想法,解决问题例3如果是一个三角形三边之长,试证明:分析：首先观察结论,发现任何转置位置的不等式都是不变的,即不等式是左右对称的,然后向左移动.因为对称性,我们只需要变换上面这个式子左边的一项,其余两项同理,如于是,左边其余两项显然为:又因为关于对称,故不妨假设,此时,而,从而原不等式得证.4.3利用对称性,对问题进行转化数字公式结构的对称性必须包括解的对称性.因此,具有相同结构特性的公式处于相同状态,处理方法相同.从数学对称性的观点来看,它常常发挥优化问题解决方案、简化问题解决过程的效果在平面矩形坐标系中,光线从点放射,投影到轴上,由轴反射,反射线与圆切线的情况下,得到光线的线性方程.分析:其实这个问题有很多解决办法,但是我们可以找到比较简单的解决办法.如果能利用对称性巧妙地转换这个问题,这个问题就可以被转换成相对简单的问题.也就是说,通过点,找到与A的切线线性方程式系如图4-1所示xxy图4-1光线的反射在这个转换后,我们解决这个问题非常明确,而且计算量会减少.此时,因为可以设置直线的方程,所以显然存在直线的倾斜,并且将其设置为倾斜.接下来,根据圆心（2,-2）之间的距离系,直线式等于1的半径1,我们就可以得到直线方程4.4利用对称美,合理准确选择数学问题必须有各种各样的解决办法.不同的方法真的可以扩展我们的想法.但是,首先,我们必须学会选择最快最适合解决问题的方法.必须丢掉不恰当的方法.在解决数学问题的过程中,我们应该考虑对称因素,用对称美来刺激人们的思维,用对称美去思考如何解决.例5已知△的内切圆与外接圆的半径分比别为和,则和比值等于( ) 分析：从以上四个选项中,我们可以看出选项是最对称的.因此,我们可以推测,这个答案应该选择分析问题的深层.三角形的三个侧面或角度对总和有相同的效果,两个半径对三角形都是公平的.也就是说,任何边缘或角度都是同等重要的,因此我们可以说在比例表示中必须有旋转对称的边缘或角度.根据上述例子,可以预先预测和证明数学问题的结论,并且预测的密钥是使用对称性的概念和方法.当然,人们自古以来就使用对称来研究问题.中学数学专业对称性应用中,需要进一步研究和深化工作.5.结论本文从对称性的意义开始,说明了中学数学中对称性的意义.研究中学数学专业对称性的应用非常重要.首先,从知识学习的观点出发,主要把握中学数学教科书中对称性的表现形式,明确中学数学专业知识体系整体中对称性的应用.中学数学课本对称性的研究