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文档简介
专题05对数与对数函数一、考情分析二、考点梳理重难点一对数的概念如果ax=N(a>0,且a≠1),那么x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.重难点二对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质:①alogaN=N;②logaab=b(a>0,且a≠1).(2)对数的运算法则如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么①loga(MN)=logaM+logaN;②logaeq\f(M,N)=logaM-logaN;③logaMn=nlogaM(n∈R);④logamMn=eq\f(n,m)logaM(m,n∈R,且m≠0).(3)换底公式:logbN=eq\f(logaN,logab)(a,b均大于零且不等于1).重难点三对数函数及其性质(1)概念:函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0,+∞).
(2)对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域:(0,+∞)值域:R当x=1时,y=0,即过定点(1,0)当x>1时,y>0;当0<x<1时,y<0当x>1时,y<0;当0<x<1时,y>0在(0,+∞)上是增函数在(0,+∞)上是减函数三、题型突破重难点1对数与对数式的化简求值如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么:(1)loga(MN)=logaM+logaN;(2)logaeq\f(M,N)=logaM-logaN;(3)logaMn=nlogaM(n∈R).例1.(1)(2021·长丰县凤麟中学高二期中(文))等于()A. B. C.4 D.5【答案】C【分析】根据对数运算与指数幂运算即可得出结果.【详解】故选:C(2).(2021·全国高一专题练习)下列等式成立的是()A. B.C. D.【答案】C【分析】根据对数的运算法则逐一判断可得选项.【详解】对于A:,故A不正确;对于B:,故B不正确;对于C:∵,∴,故C正确,对于D:,故D不正确,故选:C.(3).(2021·北京一七一中高三月考)___________.【答案】【分析】利用对数的运算性质即可求解.【详解】,故答案为:.【变式训练1-1】.(2017·全国高一单元测试)已知10m=2,10n=4,则的值为()A.2 B. C. D.2【答案】B【解析】====.答案:B【变式训练1-2】.(2013·全国高一课时练习)已知,则的值为()A. B.4 C.1 D.4或1【答案】B【解析】因为,所以,,,解得=1(舍去),=4,故选B.【变式训练1-3】.(2021·新疆五家渠市兵团二中金科实验中学高一开学考试)计算:___________.【答案】【分析】结合对数的运算法则以及换底公式计算即可求出结果.【详解】,故答案为:.例2.(2021·海南省白沙黎族自治县白沙中学高一期中)计算下列各式的值:(1);(2)lg500+lg-lg64+50(lg2+lg5)2.【答案】(1);(2)52.【分析】(1)直接利用指数幂的运算性质即可求解;(2)利用对数的运算性质即可求解.【详解】(1).(2)=52.【变式训练2-1】.(2019·罗平县第二中学高一期中)计算:(1).(2)【答案】(1)20
(2)-2【分析】根据指数运算公式以及对数运算公式即可求解。【详解】(1)=(2)=【点睛】本题考查指数与对数的运算,以及计算能力,(1)根据指数幂的运算法则求解即可。(2)根据对数运算的性质求解即可,属于基础题。重难点2对数函数的图像与性质例3.(1).(2021·陕西商洛市·镇安中学高一期中)已知函数的图象如下图所示,函数的图象与的图象关于直线对称,则函数的解析式为()A. B. C. D.【答案】C【分析】先根据图象求得的解析式,再根据关于直线对称的函数互为反函数求解即可【详解】由图象可得,,故,又函数的图象与的图象关于直线对称,故与互为反函数,故故选:C【点睛】本题主要考查了根据图象求对数函数的解析式、对数函数的反函数等,属于基础题(2).下列函数中,其图象与函数的图象关于直线对称的是()A. B. C. D.【答案】B【解析】设所求函数图象上任一点的坐标为,则其关于直线的对称点的坐标为,由对称性知点在函数的图象上,所以,故选B.(3).函数f(x)=ax-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是()A.a>1,b<0 B.a>1,b>0C.0<a<1,b>0 D.0<a<1,b<0【答案】D【解析】由于f(x)的图象单调递减,所以0<a<1,又0<f(0)<1,所以0<a-b<1=a0,即-b>0,b<0,故选D.(4).当a>1时,在同一坐标系中,函数y=a-x与y=logax的图象为()ABCD【答案】C【解析】∵a>1,∴0<eq\f(1,a)<1,∴y=a-x是减函数,y=logax是增函数,故选C.【变式训练3-1】.(2021·浙江省诸暨市第二高级中学高二期中)函数的定义域为()A. B. C. D.【答案】B【分析】根据具体函数的定义域的求法,得到,解不等式组即可求出结果.【详解】由题意可得,解得,故函数的定义域为,故选:B.【变式训练3-2】.(2020·云南昭通市·)若函数是幂函数,则函数(其中且)的图象过定点()A. B. C. D.【答案】A【分析】根据是幂函数求得,由此求得所过定点.【详解】∵是幂函数,∴,,∴过定点.故选:A【变式训练3-3】.(2022·全国)在同一平面直角坐标系中,函数f(x)=xa(x>0),g(x)=logax的图象可能是()A. B.C. D.【答案】D【分析】结合对数函数和幂函数的图像和性质,分成0<a<1和a>1时两种情况,讨论函数y=xa(x>0)与y=logax的图像,对照后可得答案.【详解】由于本题中函数为y=xa(x>0)与y=logax.对于选项A,没有经过(1,1)的图像,故没有幂函数的图像.故A错误;对于选项B,由过(1,0)的图像为对数函数的图像得:0<a<1,由y=xa(x>0)的图象知a>1,矛盾.故B错误;对于选项C,由y=xa(x>0)的图象知0<a<1,而由y=logax的图象知a>1,矛盾.故C错误;对于选项D,由y=xa(x>0)的图象知0<a<1,而由y=logax的图象知0<a<1,故选D.故选:D【变式训练3-4】.(2021·江苏高一课时练习)已知函数,则的大致图象为()A. B.C. D.【答案】D【分析】根据题意,利用排除法分析,先计算的值,排除,再比较与的值,结合函数单调性的定义排除,即可得答案.【详解】解:根据题意,,所以,在区间上,在轴下方有图象,排除,又,而,有,不会是增函数,排除,故选:.重难点3对数函数的单调性与最值(比较大小)例4.(1)函数的单调递增区间是()A.B.C.D.【答案】D【解析】由,得或,设,则,关于单调递减,,关于单调递增,由对数函数的性质,可知单调递增,所以根据同增异减,可知单调递增区间为.选D.(2).(2021·沙坪坝区·重庆八中高三开学考试)函数的单调递增区间是______.【答案】【分析】根据复合函数单调性的性质,结合对数函数的性质进行求解即可.【详解】由得.设(),则在区间上单调递增,在区间上单调递减.又在上单调递增,所以函数的单调递增区间是.故答案为:(3).(2021·全国高一课前预习)已知,,,则()A. B.C. D.【答案】A【分析】根据指数函数、对数函数的性质,结合中间量法可得答案;【详解】解:因为,,所以,,,所以,故选:A.【变式训练4-1】.设,则()A.B.C.D.【答案】D【解析】,由下图可知D正确.【变式训练4-2】、设,,则()A. B.C. D.【答案】B【解析】由得,由得,所以,所以,得.又,,所以,所以.故选B.【变式训练4-3】、已知,则()A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意,可知,,,所以最大,,都小于1,因为,,而,所以,即,所以,故选A.【变式训练4-4】、(2021·上海高一专题练习)函数的单调减区间是_____.【答案】【分析】根据同增异减原理,由外函数为减函数,只要求得内函数的递增区间且满足定义域即可得解.【详解】函数的单调减区间,即,在的条件下,函数的增区间.利用二次函数的性质可得,在的条件下,函数的增区间为,故答案为:.【变式训练4-5】、(2021·广西柳州市·高三开学考试(文))若,,,则a,b,c的大小关系为()A. B. C. D.【答案】D【分析】根据指数函数的单调性判断大小,再由与大小关系,即可得到答案.【详解】因为为R上的减函数,所以,即,又,.故选:D重难点4对数型复合函数的应用例5.(2017·山东滕州市第一中学新校高一课时练习)函数在上是减函数,则的取值范围是()A. B. C. D.【答案】C【解析】因为,所以在上是减函数,又因为在上是减函数,所以是增函数,所以;又因为对数的真数大于零,则,所以;则.故选:C.【变式训练5-1】.(1)判断f(x)=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x2-2x的单调性,并求其值域.(2)已知y=loga(2-ax)是[0,1]上的减函数,则a的取值范围为()A.(0,1) B.(1,2)C.(0,2) D.[2,+∞)(3)函数f(x)=logeq\f(1,2)(x2+2x+3)的值域是________.【解析】(1)令u=x2-2x,则原函数变为y=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))u.∵u=x2-2x=(x-1)2-1在(-∞,1]上递减,在[1,+∞)上递增,又∵y=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))u在(-∞,+∞)上递减,∴y=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x2-2x在(-∞,1]上递增,在[1,+∞)上递减.∵u=x2-2x=(x-1)2-1≥-1,∴y=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))u,u∈[-1,+∞),∴0<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))u≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))-1=3,∴原函数的值域为(0,3].(2)∵f(x)=loga(2-ax)在[0,1]上是减函数,且y=2-ax在[0,1]上是减函数,∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f0>f1,,a>1,))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(loga2>loga2-a,,a>1,))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>1,,2-a>0,))∴1<a<2.(3)f(x)=logeq\f(1,2)(x2+2x+3)=logeq\f(1,2)[(x+1)2+2],因为(x+1)2+2≥2。所以logeq\f(1,2)[(x+1)2+2]≤logeq\f(1,2)2=-1,所以函数f(x)的值域是(-∞,-1]例6.(2020·鸡东县第二中学)设函数,其中a为常数.Ⅰ当,求a的值;Ⅱ当时,关于x的不等式恒成立,求a的取值范围.【答案】(1)a=﹣(2)[﹣2,+∞)【分析】(1)直接计算出f(1)和f(2),根据条件解方程即可求得a;(2)采用分离参数法,分离变量a,再根据函数的单调性求最值,得出a的取值范围.【详解】(1)∵f(x)=log2(1+a•2x+4x),∴f(-1)=log2(1++),f(2)=log2(1+4a+16),由于,即log2(4a+17)=log2(+)+4,解得,a=﹣;(2)因为f(x)≥x﹣1恒成立,所以,log2(1+a•2x+4x)≥x﹣1,即,1+a•2x+4x≥2x﹣1,分离参数a得,a≥﹣(2x+2﹣x),∵x≥1,∴(2x+2﹣x)min=,此时x=1,所以,a≥﹣=﹣2,即实数a的取值范围为[﹣2,+∞).【点睛】本题主要考查了对数函数的图象和性质,涉及对数的运算性质,以及不等式恒成立问题的解法,属于中档题.【变式训练6-1】.(2021·贵州省思南中学高三一模(理))已知(1)求的定义域;(2)判断的奇偶性并予以证明;(3)求使的的取值范围.【答案】(1);(2)见解析;(3)见解析.【分析】(1)求对数函数的定义域,只要真数大于0即可;(2)利用奇偶性的定义,看和的关系,得到结论;(3)由对数函数的单调性可知,要使,需分和两种情况讨论,即可得到结果.【详解】(1)由>0,解得x∈(-1,1).(2)f(-x)=loga=-f(x),且x∈(-1,1),∴函数y=f(x)是奇函数.(3)若a>1,f(x)>0,则>1,解得0<x<1;若0<a<1,f(x)>0,则0<<1,解得-1<x<0.【点睛】本题主要考查函数的定义域、奇偶性与单调性,属于中档题.判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称,如果不对称,既不是奇函数又不是偶函数,如果对称常见方法有:(1)直接法,(正为偶函数,负为减函数);(2)和差法,(和为零奇函数,差为零偶函数);(3)作商法,(为偶函数,为奇函数).四、定时训练(30分钟)1.=()A.B.C.2D.4【答案】D【解析】.2.(2021·全国高一单元测试)的值是()A. B. C. D.【答案】B【分析】根据指数幂运算与对数运算性质运算求解即可.【详解】解:.故选:B.3.(2021·内蒙古赤峰市·高一期末(文))若,,则的值是()A. B. C. D.【答案】A【分析】利用对数与指数的互化,指数的运算性质可求得结果.【详解】因为,则,所以,,故.故选:A.4.(2021·沧源佤族自治县民族中学高一期末)已知,则a,b,c的大小关系为()A. B. C. D.【答案】C【分析】根据指对数函数的单调性并借助中间量0,1即可得到答
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