专题07 函数与方程（重难点突破）教师用-课后辅导专用2021年秋季高一数学上学期讲义（人教A版）

专题07函数与方程一、考情分析二、考点梳理求函数的零点；判断零点所在的区间；函数零点个数的判断；用二分法求函数的零点问题；题型突破重难点题型突破1二分法求函数零点所在区间二分法的概念对于在区间上连续不断且的函数，通过不断地函数的零点所在的区间，使区间的两个端点，进而得到零点近似值的方法叫二分法，由函数的零点与相应方程的根的关系，可用二分法来求。2、用二分法求函数零点近似值的步骤（给定精确度）（1）确定区间，使。（2）求区间的中点，。（3）计算若，则若，则令（此时零点）；若则令（此时零点）；（4）继续实施上述步骤，直到区间，函数的零点总位于区间上，当和按照给定精度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止。这时函数的近似零点满足给定的精确度。例1．（1）（新疆疏勒县八一中学2018-2019学年高二上期末）函数的一个零点所在的区间是()A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)【答案】B【解析】由题得，，所以所以函数的一个零点所在的区间是.故选：B（2）、（2020·淮北市树人高级中学高一月考）利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】设，根据当连续函数满足（a）（b）时，在区间上有零点，即方程在区间上有解，进而得到答案．【详解】解：设，当连续函数满足（a）（b）时，在区间上有零点，即方程在区间上有解，又（2），（3），故（2）（3），故方程在区间上有解，即利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是.故选：C．（3）．（2020·广西高一期中）如图，函数的图象与轴交于，，，四点，则不能用二分法求出的的零点是（）A． B． C． D．【答案】B(4)．（2021·湖南）为了求函数的一个零点，某同学利用计算器得到自变量和函数的部分对应值，如下表所示：x则方程的近似解（精确度）可取___________.【答案】【分析】根据函数零点存在定理、用二分法求方程的近似解的相关知识，代值求解即可.【详解】由题表知，且，所以方程的一个近似解可取为，故答案为：.【变式训练1-1】．（2019·浙江湖州高一期中）函数的零点所在的区间是（）A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)【答案】B【解析】函数是上的增函数,是上的增函数,故函数是上的增函数.,,则时,;时,,因为,所以函数在区间上存在零点.故选:B.【变式训练1-2】．（2020·全国高一课时练习）f(x)＝2x·(x－a)－1在(0，＋∞)内有零点，则a的取值范围是（）A．(－∞，＋∞) B．(－2，＋∞)C．(0，＋∞) D．(－1，＋∞)【答案】D【解析】由题意可得a＝x－(x＞0).令g(x)＝x－，因为都是增函数，所以该函数在(0，＋∞)上为增函数（增函数+增函数=增函数），所以，可知g(x)的值域为(－1，＋∞)，故当a＞－1时，f(x)在(0，＋∞)内有零点.故选：D.【变式训练1-3】．（2020·云南昆明八中）用二分法求函数的一个零点，算得的部分数据如下：根据此数据，可得方程的一个近似解（精确到0.01）为_________.【答案】.【分析】根据表格中的数据，得到函数的零点所在区间为，结合零点的存在性定理，即可求解.【详解】由表格中的数据，可得，，根据零点的存在定理，可得函数的零点所在区间为，故函数的零点的近似值为（精确到0.01），故答案为：.重难点题型突破2求函数零点的个数与方程的解个数1.对于函数,我们把使的实数x叫做函数的.2.函数的零点就是方程的，也就是函数的图像与x轴的交点的.3.方程有实根函数的图像与x轴有函数有.4.函数零点的存在性的判定方法5.如果函数在[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有0，那么在区间（a,b）内有零点，即存在，使得0，这个c就是方程的根.例2．（1）函数的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】令，可得，由图象法可知有两个零点．（2）函数的零点个数为A．0B．1C．2D．3【答案】B【解析】因为在内单调递增，又，所以在内存在唯一的零点．（3）、已知，函数，当时，不等式的解集为________，若函数与轴恰有两个交点，则的取值范围是________【答案】【解析】当时，，∵，∴或，解得或，则当时，不等式的解集为；画出函数和的草图得：由图可知，函数与轴恰有两个交点时，或；故答案为：；．【变式训练2-1】．（2020·张家口市第一中学高一月考）函数的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】由题意可知零点个数转化为的交点个数，作出图象即可求解【详解】函数，由，可得，作出和的图象，由图象可得它们有2个交点，则的零点个数为2，故选：C.【变式训练2-2】．（2020·北京大兴高三期末）已知，函数若，则的值域为_____；若方程恰有一个实根，则的取值范围是_____.【答案】【解析】当时，，当时，，当时，，故时，的值域为；当方程恰有一个实根即函数与图象只有一个交点，的图像如图所示由图可知，，解之得，故的取值范围是，故答案为：；.【变式训练2-3】．（2020·湖北襄阳高一期末）已知函数，则f(6)=________；若方程在区间有三个不等实根，实数a的取值范围为________.【答案】8【解析】因为作出函数在区间上的图象如图：设直线，要使在区间上有3个不等实根，即函数与在区间上有3个交点，由图象可知或所以实数的取值范围是故答案为：8；．重难点题型突破3根据零点个数或零点所在区间，求参数的范围例3．（1）、（2022·全国高三专题练习）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先判断出在上是增函数，利用零点存在定理列不等式，即可求a的范围.【详解】∵和在上是增函数，∴在上是增函数，∴只需即可，即，解得.故选：D.（2）．（2020·昭通市昭阳区第一中学高一月考（理））若函数有且仅有一个零点，则实数的取值为________．【答案】0或【分析】由题知方程的解仅有一个，注意按和分类讨论．【详解】当时，函数为一次函数，则－1是函数的零点，即函数仅有一个零点；当时，函数为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次方程有两个相等实根．∴，解得．综上，当或时，函数仅有一个零点．故答案为：0或.（3）．（2021·云南省玉溪第一中学（文））已知函数（为自然对数的底数），若函数恰好有两个零点，则实数等于___________.【答案】【分析】函数恰好有两个零点等价于方程有两个根，即函数与函数的图象有两个交点，作函数图象，观察图像可得实数.【详解】∵函数恰好有两个零点，∴方程有两个根，∴函数与函数的图象有两个交点，当时，，，∴时，，函数在上为增函数，时，，函数在上为减函数，当时，，函数在上为减函数，由此可得函数的图象如下：∴当时，函数与函数的图象有两个交点，∴，故答案为：.【点睛】函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)•f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．【变式训练3-1】．（2021·江西高安中学高一月考）已知，函数，若函数图像与轴有两个交点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】分别求出方程和的根，由根的情况对分情况讨论，得出根的个数，最后由方程有两个根得出的范围.【详解】解：方程的根为，方程的根为或，所以当时，方程有一个根；当时，方程有两个根；当时，方程有三个根；当时，方程有两个根.故选：C【变式训练3-2】．（2021·全国）已知函数，若关于的方程恰有两个不同实根，则实数的取值范围是_______【答案】【分析】于的方程恰有两个不同实根等价于函数与的图象恰有两个不同的交点，作出函数的图象，数形结合即可求出结果.【详解】若关于的方程恰有两个不同实根，则函数与的图象恰有两个不同的交点，作出的图象如图：当时，，所以当时，，当时，，当时，，此时最大值为，由图知：当或时函数与的图象恰有两个不同的交点，所以实数的取值范围是，故答案为：.【变式训练3-3】．（2021·陕西高二期末（文））已知函数，若方程有且仅有两个不等的实数根，则实数的取值范围为___________.【答案】【分析】作出函数的图象，得出函数的趋势，由图象可得结论．【详解】作出函数的图象，如图，由图象可知当时，的图象与直线有两个交点，即方程有且仅有两个不等的实数根．故答案为：．重难点题型突破4根据零点个数或零点所在区间，求零点之间的关系例4．（1）、（2020·贵州遵义·蟠龙高中高一月考）若函数的零点是和，则___________.【答案】【分析】将零点代入原函数即可求得的结果.【详解】因为是的零点，所以，所以，故答案为：.（2）．（2021·安徽安庆·高三月考（文））已知函数，若函数有四个不同的零点，，，，且满足：，则的值是（）A．-4 B．-3 C．-2 D．-1【答案】B【分析】画出与的图象，结合图象求得，从而求得正确结论.【详解】函数的四个不同零点，，，，就是函数与图象交点的横坐标，作出与的函数图象如下：由图象知，，∴.所以.故选：B.（3）．（2021·普宁市第二中学高三月考）已知函数若(互不相等)，则的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】先画函数图象，再进行数形结合得到和，结合对勾函数单调性解得的范围，即得结果.【详解】作出函数的图象，如图所示:设，则.因为，所以，所以，所以，即.当时，解得或，所以.设，因为函数在上单调递增，所以，即，所以.故选：D.【变式训练4-1】．（2019·新疆乌鲁木齐·乌市八中高一期中）已知函数，若a，b，c互不相等，且，则abc的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用分段函数的定义作出函数的图象，然后可令（a）（b）（c）则可得，，即为函数与的交点的横坐标根据图象可得出，，的范围同时，还满足，即可得答案．【详解】根据已知画出函数图象：不妨设，（a）（b）（c），，，解得，，．故选：B【变式训练4-2】．（2021·北京市延庆区教育科学研究中心）已知函数若关于的方程有四个实数解，其中，则的取值范围是___________.【答案】【分析】画出函数的图象和直线的图象，考察有四个交点的条件，根据对称性求得的值，根据图象，结合二次方程，韦达定理计算，判定的取值范围，从而得到的取值范围.【详解】如图所示，画出函数的图象和直线的图象，有四个交点，从左到右四个交点的横坐标分别是，由对称性可知.当时，是方程,即的两个实数根，,.取得最大值，当时，直线与函数在y轴右侧的对勾函数图象相切，切点为(1,2),此时，所以函数的图象和直线的图象有4个交点时，是，故答案为：.【变式训练4-3】．（2022·全国高三专题练习（理））已知函数，若方程有四个不同的根、、、，且，则的取值范围是__________.【答案】【分析】作出函数的图象，计算得出，利用二次函数图象的对称性得出，求出的取值范围，可求得的取值范围，由此求得结果.【详解】作出函数的图象如下图所示：方程有四个不同的实根，等价于直线与函数的图象有四个交点，不妨设，由图可知，只有当时，直线与函数的图象有四个交点.当时，，由图可知，，，所以，，即，即，所以，，当时，，表示对称轴为直线，开口向上的抛物线，，，所以，，，且，则，所以，，所以，，因此，.故答案为：.【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．重难点题型突破5“嵌套”函数的零点问题例5．（1）、（2021·吉林长春外国语学校（理））已知函数，若关于的方程有且只有一个实数根，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】分、两种情况讨论，由可得出的值或取值范围，再分、两类讨论，利用代数法或数形结合思想，利用关于的方程有且只有一个实数根可求得实数的取值范围.【详解】令，则.①当时，若，；若，，得.所以，由可得或.如下图所示：满足的有无数个，方程只有一个解，不合乎题意；②当时，若，则；若，，得.所以，由可得，当时，由，可得，因为关于的方程有且只有一个实数根，则方程在时无解，若且时，，故；若且时，，合乎题意.综上所述，实数的取值范围是.故选：B.（2）．（2022·全国高三专题练习）设，函数，若函数恰有个零点，则实数的值为__________.【答案】【分析】分和两种情况讨论，由解出的值，然后分、解关于的方程，结合已知条件可得出关于实数的等式，进而可求得实数的值.【详解】①当时，由，可得，当时，由，可得或，当时，.即当时，函数只有个零点，不合乎题意；②当时，由，可得或.当时，由，可得或，方程无解，当时，由，即，，解方程可得，其中合乎题意，舍去，所以，方程在时有唯一解，函数在上单调递增，在上单调递减，当时，，当时，，故，解得.综上所述，.故答案为：.【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．（3）．（2021·江苏高二月考）已知函数，则的所有零点之和为___________.【答案】【分析】根据题意，的所有零点之和，即为方程与的根之和，结合，求出所有根即可求解.【详解】根据题意，令，则易得的解为：，，当时，结合，得：，；当时，结合，可知方程无解.故的所有零点之和为：.故答案为：.【变式训练5-1】．（2022·全国高三专题练习（理））已知函数则函数的所有零点之和为___________.【答案】【分析】利用分段函数，分类讨论，即可求出函数的所有零点，从而得解．【详解】解：时，，，由，可得或，或；时，，，由，可得或，或；函数的所有零点为，，，，所以所有零点的和为故答案为：．【变式训练5-2】．（2022·全国高三专题练习（理））已知函数，若函数，则下列结论正确的是（）A．若没有零点，则B．当时，恰有1个零点C．当恰有2个零点时，的取值范围为D．当恰有3个零点时，的取值范围为【答案】D【分析】作出的图象，令，可得或，分别讨论在、、、、、、、和情况下，和图象与图象交点个数，即可得零点个数，综合分析，即可得答案.【详解】作出的图象，如图所示：令，即，可得或，即或，当时，和均无解，此时无零点，当时，有且仅有一个根x=-1，无解，此时有一个零点，故A错误；当时，图象与图象有2个交点，即有2个根，，图象与无交点，即无解，此时有2个零点；当时，图象与图象有3个交点，即有3个根，，图象与无交点，即无解，此时有3个零点；当时，图象与图象有2个交点，即有2个根，图象与图象有1个交点，此时有3个零点；故B错误当时，图象与图象有1个交点，即有1个根，，图象与图象有2个交点，即有2个根，此时有3个零点；当时，图象与图象有1个交点，即有1个根，，图象与图象有3个交点，即有3个根，此时有4个零点；当时，图象与图象有1个交点，即有1个根，图象与图象有2个交点，即有2个根，此时有3个零点；当时，图象与图象有1个交点，即有1个根，，图象与图象有1个交点，即有1个根，此时有2个零点，故C错误；综上可得：当恰有3个零点时，的取值范围为，故D正确.故选：D【点睛】解题的关键是将函数零点问题，转化为图象求交点问题，分别讨论m的范围，数形结合，即可得答案，考查分段讨论，分析整理的能力，属中档题.重难点题型突破5复合函数的零点问题（与二次函数有关）例6．（1）、（2021·河北保定·高三月考（理））已知实数，若关于的方程有三个不同的实数，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】作出图象，令，数形结合，可得时有1个根，时有2个根，将所求转化为，结合题意，可得两根的范围，解不等式，即可得答案.【详解】作出图象，如图所示，令，当时，与图象有1个交点，即有1个根，当时，与图象有2个交点，即有2个根，则关于的方程转化为，由题意得，解得，方程的两根为，因为关于的方程有三个不同的实数，则，解得，满足题意.故选：A（2）、（2021·江西省乐平中学高一开学考试）已知函数的值域为，且，若关于的方程有三个不同的实数根，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】函数的值域要为，则，又，故，画出函数图象，利用数形结合的方法即可求解【详解】根据该分段函数的图象，函数的值域要为，则，但，，当时，函数图象如图2所示：关于的方程有三个不同的实数根，即有三个不相等的实数根，由图象可知有两个实数根，则有一个实数根，，故选：A．【变式训练6-1】．（2020·南通市海门实验学校高一期末）已知函数，若关于的函数有6个不同的零点，则实数的取值范围是__________．【答案】【分析】由分段函数的性质画出函数草图，讨论不同值域区间内解的个数，再结合题设函数有6个零点，确定对应的值域区间，利用二次函数的性质，列不等式组求参数b的范围.【详解】作出的函数图象如下：设，则当或时，方程只有1解，当时，方程有2解，当时，方程有3解，当时，方程无解．∵关于的函数有6个不同的零点，∴关于的方程在上有两解，∴，解得．故答案为：．【点睛】关键点点睛：根据分段函数的解析式，应用数形结合法判断不同值域区间上对应x的个数，再由关于的二次函数零点的个数确定的值域区间，应用二次函数性质求参数范围.【变式训练6-2】．（2021·黑龙江鹤岗一中（理））已知函数，若方程恰有4个不同的实数根，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】方程左边先进行因式分解得，作出函数的图象如图所示，可得，解不等式即可得到答案；【详解】,或，作出函数的图象如图所示，当，，，解得：，故选：A.【点睛】本题求解的关键是利用数形结合思想作出函数的图象，再通过图象得到两条直线与曲线分别要有1个交点和3个交点.【变式训练6-3】．（2021·全国）设函数，若关于的方程恰好有6个不同的实数解，则实数的取值范围为________【答案】【分析】作出函数的图象，令，结合图象可得，要使恰好有六个不同的实数解，则方程在，内有两个不同的实数根；【详解】解：作出函数的图象如图：令，则方程化为，要使关于的方程恰好有六个不同的实数解，则方程在内有两个不同的实数根，，解得且，实数的取值范围为．故答案为：．四、定时训练（30分钟）1．（2021·宁夏中卫·高三（文））函数的零点所在的区间为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据零点存在性定理，由为增函数，带入相关数值判断即可得解.【详解】由为增函数，为增函数，故为增函数，由，，根据零点存在性定理可得使得，故选：B.2．（2021·全国）函数，则函数的零点所在区间是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用零点存在定理可得出合适的选项.【详解】因为函数的图象在上连续，且函数在上单调递增，因为，，所以，，，因此，函数的零点所在的区间为.故选：C.3．（2020·海口市第四中学高三期中）用二分法求方程的近似解时，可以取的一个区间是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，可得，，由零点存在定理可得结果.【详解】设，在上单调递增.∵，.∴根据函数的零点存在性定理得出：的零点在区间内；方程的解所在的区间为，故选：B.变号，可以用二分法求解.故选：B.4．（2021·全国高三专题练习）定义域为的偶函数满足对，有，且当时，，若函数在上至多有三个零点，则a的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】首先利用是偶函数的条件求出，进而得到函数具有周期性，然后利用函数的周期性和奇偶性作出函数的图像，利用与的图像在上至多有三个交点确定a的取值范围.【详解】∵函数是偶函数，∴令得，解得.∴，即函数的周期是2.由得，令，当时，，若，如图所示：则由图像可知，此时函数在上没有零点，此时满足条件.若，如图所示：则由图像可知，要使两个函数与在上至多有三个交点，则不能在点上方，即，∴.综上所述，a的取值范围是，故选：B.5．（2022·浙江高三专题练习）已知函数，若方程有3个实数根，则实数k的取值范围是________.【答案】【分析】将问题转化为与有3个交点，根据分段函数解析式确定的区间性质，结合函数图象判断交点情况，进而求k的范围.【详解】由题意，方程有3个实数根，即为与有3个交点，由的解析式知：当时，；当时，对称轴为且；图象如下图示：∴当且仅当时，与有3个交点，即有3个实根.故答案为：【点睛】关键点点睛：转化为函数图象的交点问题，根据分段函数的性质，应用数形结合的方法确定参数的范围.6．（2020·山西长治·高二期末（理））若函数在内有零点，则的取值范围为______.【答案】【分析】判断出在上单调递减