必修2立体几何测试题

高一年级数学必修2立体几何测试题〔总分值：150；时间：120分钟〕姓名__________班级___________分数_________一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．)1．以下结论正确的选项是()A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，那么此棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线2．一个四面体共一个顶点的三条棱两两互相垂直，其长分别为1，eq\r(6)，3，其四面体的四个顶点在一个球面上，那么这个球的外表积为()A．16πB．32πC．36πD．64π3．将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是()A．4πB．3πC．2πD．π4．用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，那么球的体积为()A.eq\f(32π,3)B．eq\f(8π,3)C．8eq\r(2)πD．eq\f(8\r(2)π,3)5．某几何体的三视图如下图(单位：cm)，那么该几何体的体积是()A．8cm3B．12cm3C.eq\f(32,3)cm3D．eq\f(40,3)cm36．直线m，n是异面直线，那么过直线n且与直线m垂直的平面()A．有且只有一个B．至多有一个C．有一个或无数多个 D．不存在7．m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，那么以下命题中正确的选项是()A．假设α⊥γ，α⊥β，那么γ∥βB．假设m∥n，m⊂α，n⊂β，那么α∥βC．假设m∥n，m⊥α，n⊥β，那么α∥βD．假设m∥n，m∥α，那么n∥α8．在等腰Rt△ABC中，AB＝BC＝1，M为AC的中点，沿BM把它折成二面角，折后A与C的距离为1，那么二面角C­BM­A的大小为()A．30°B．60°C．90°D．120°9．如下图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB，CD在原正方体中的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．相交成60°10．如图，六棱锥P­ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABCDEF.那么以下结论不正确的选项是()A．CD∥平面PAFB．DF⊥平面PAFC．CF∥平面PABD．CF⊥平面PAD11．在矩形ABCD中，假设AB＝3，BC＝4，PA⊥平面AC，且PA＝1，那么点P到对角线BD的距离为()A.eq\f(\r(29),2)B．eq\f(13,5)C.eq\f(17,5)D．eq\f(\r(119),5)12．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为()A．90°B．60°C．45°D．30°二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．)13．如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．假设EF∥平面AB1C，那么线段EF的长度等于________．14．某四棱柱的三视图如下图，那么该四棱柱的体积为________．15．如图，在四面体A­BCD中，棱AC的长为eq\r(2)，其余各棱长都为1，那么二面角A­CD­B的平面角的余弦值为________．16．α，β是两个平面，m，n是两条直线，有以下四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β.④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号)三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题总分值10分)一个几何体的三视图如图，试求它的外表积和体积．(单位：cm)18．(本小题总分值12分)如图，正方体ABCD­A′B′C′D′的棱长为a，连接A′C′，A′D，A′B，BD，BC′，C′D，得到一个三棱锥．求：(1)三棱锥A′­BC′D的外表积与正方体外表积的比值；(2)三棱锥A′­BC′D的体积．19.(本小题总分值12分)如图，在三棱锥P­ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.求证：(1)直线PA∥平面DEF；(2)平面BDE⊥平面ABC.20．(本小题总分值12分)如图，在三棱锥S­ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：(1)平面EFG∥平面ABC；(2)BC⊥SA.21．(本小题总分值12分)长方形ABCD中，AB＝3，AD＝4.现将长方形沿对角线BD折起，使AC＝a，得到一个四面体A­BCD，如下图．(1)试问：在折叠的过程中，直线AB与CD能否垂直？假设能，求出相应a的值；假设不能，请说明理由；(2)求四面体A­BCD体积的最大值．22．(本小题总分值12分)四棱锥P­ABCD的底面ABCD是正方形，E，F分别为AC和PB上的点，它的直观图，正视图，侧视图如下图．(1)求EF与平面ABCD所成角的大小；(2)求二面角B­PA­C的大小．答案选择题1-12DACDCBCCDDBC填空题13.eq\r(2)14.eq\f(3,2)15.eq\f(\r(3),3)16.②③④三．解答题17.解析：图中的几何体可看成是一个底面为直角梯形且侧棱垂直于底面的棱柱，且棱柱的某个侧面在水平面上．直角梯形的上底为1，下底为2，高为1；棱柱的高为1.可求得直角梯形的四条边的长度为1,1,2，eq\r(2).所以此几何体的体积V＝S梯形·h＝eq\f(1,2)×(1＋2)×1×1＝eq\f(3,2)(cm3)．外表积S外表＝2S底＋S侧＝eq\f(1,2)×(1＋2)×1×2＋(1＋1＋2＋eq\r(2))×1＝(7＋eq\r(2))(cm2)．18.解析：(1)∵ABCD­A′B′C′D′是正方体，∴A′B＝A′C′＝A′D＝BC′＝BD＝C′D＝eq\r(2)a，∴三棱锥A′­BC′D的外表积为4×eq\f(1,2)×eq\r(2)a×eq\f(\r(3),2)×eq\r(2)a＝2eq\r(3)a2.而正方体的外表积为6a2，故三棱锥A′­BC′D的外表积与正方体外表积的比值为eq\f(2\r(3)a2,6a2)＝eq\f(\r(3),3).(2)三棱锥A′­ABD，C′­BCD，D­A′D′C′，B­A′B′C′是完全一样的．故V三棱锥A′­BC′D＝V正方体－4V三棱锥A′­ABD＝a3－4×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)a2×a＝eq\f(a3,3).19.证明：(1)在△PAC中，D，E分别为PC，AC的中点，那么PA∥DE，PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，因此PA∥平面DEF.(2)在△DEF中，DE＝eq\f(1,2)PA＝3，EF＝eq\f(1,2)BC＝4，DF＝5，所以DF2＝DE2＋EF2，所以DE⊥EF，又PA⊥AC，所以DE⊥AC.因为EF∩AC＝E，所以DE⊥平面ABC，DE⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC.20.证明：(1)因为AS＝AB，AF⊥SB，垂足为F，所以F是SB的中点．又因为E是SA的中点，所以EF∥AB.因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.同理EG∥平面ABC.又EF∩EG＝E，所以平面EFG∥平面ABC.(2)因为平面SAB⊥平面SBC，且交线为SB，又AF⊂平面SAB，AF⊥SB，所以AF⊥平面SBC.因为BC⊂平面SBC，所以AF⊥BC.又因为AB⊥BC，AF∩AB＝A，AF⊂平面SAB，AB⊂平面SAB，所以BC⊥平面SAB.因为SA⊂平面SAB，所以BC⊥SA.21.解析：(1)直线AB与CD能够垂直．因为AB⊥AD，假设AB⊥CD，AD∩CD＝D，那么有AB⊥平面ACD，AC⊂平面ABCD，从而AB⊥AC.此时，a＝eq\r(BC2－AB2)＝eq\r(16－9)＝eq\r(7)，即当a＝eq\r(7)时，有AB⊥CD.(2)由于△BCD面积为定值，所以当点A到平面BCD的距离最大，即当平面ABD⊥平面BCD时，该四面体的体积最大，此时，过点A在平面ABD内作AH⊥BD，垂足为H，那么有AH⊥平面BCD，AH就是该四面体的高．在△ABD中，AH＝eq\f(AB·AD,BD)＝eq\f(12,5)，S△BCD＝eq\f(1,2)×3×4＝6，此时VA­BCD＝eq\f(1,3)S△BCD·AH＝eq\f(24,5)，即为该四面体体积的最大值．22.解析：根据三视图可知：PA垂直平面ABCD，点E，F分别为AC和PB的中点．ABCD是边长为4的正方形