递推数列求和公式分类总结

递推数列分类解析a=a+f(n)类型————逐差法例：a=a+n-2，a=1,求通项公式。答案：a=(n-5n+6)/2(2)a=f(n)*a-----------------逐商法例：已知a=1，a=a+2a+3a+……+（n-1）a（n≥2）则a=﹛1,n=1___,n≥2[04全国Ⅰ]解：由已知得，a=a+2a+3a+……+（n-1）a+na与上式相减得n≥2时，a-a=na即a=(n+1)a又a=1,a/a=1,a/a=3,a/a=4,……,a/a=n以上各式相乘得a=1*1*2*3*4*%*……*n=n！/2(n>=2)(3)a=pa+q(p≠1,q≠0)----------待定系数法构造等比数列即令a+λ=p(a+λ),与已知式对比系数（4）S=f(a)一般利用a=S(n=1);S-S(n≥2)(5)*a=pa+r*q(p≠1,0,q≠0,r≠0)当p≠q时，一般用待定系数法构造等比数列，即令a+λq=p（a+λq）对比系数得λ(p-q)=r,即λ=r、（p-q）转化为{a+q*r/(p-q)}为等比数列；当p=q时，a=pa+rq，将递推式两边同时除以q，得a/q=a/q+r/q,从而转化为{a/q}是等差数列例：S=3/4*a-1/3*2^表示一个数的方，如q^n意思是q(n+1)+3/2,n=1,2,3,……求数列{a}的通项。【06全国Ⅰ】表示一个数的方，如q^n意思是q解：当n=1时，S=a=3/4*a-1/3*4+2/3得a=2n≥2时，S-S=a=4/3*a-4/3a-1/3*2^(n+1)+1/3*2^n化简得a=4a+2^neq\o\ac(○,1)设a+λ*2^n=4(a+λ*2^(n-1))即a=4a+λ2^n,与eq\o\ac(○,1)式比较得，λ=1∴a+2^n=4(a+2^n)∴{a+2^n}是以4为首项、4为公比的等比数列∴2^n+a=4^na=4^n-2^n(6)a=pa+a*n+b(p≠1,0,a≠0)一般用待定系数法构造等比数列，即令a+x（n+1）+y=p（a+xn+y）与已知式比较，解出x，y，转化为{a+xn+y}是以p为公比的等比数列例：{a}中a=1/2,点（n,2a-a）在直线y=x上，其中n=1，2，3，……求a【06山东】解：∵2a-a=n,∴a=1/2*a+n/2所以令a+x（n+1）+y=1/2(a+xn+y)a=1/2*a-x/2*n-x-1/2*y,与eq\o\ac(○,1)式比较得x=-1，y=2∴a-（n+1）+2=1/2(a-n),又a=1/2所以{a-n=2}是以3/2为首项，1/2为公比的等比数列所以-n+2+a=3/2*(1/2)^(n-1)=3/(2^n)∴a=3/(2^n)+n-2(7)a=p*a(p>0,a>0)两边取对数后转化为类型（3）例：已知a>0，a=1，a=1/2*a(4-a),n∈N【05江西】证明：a<a<2,.n∈N求a证明：略（用数学归纳法并结合f（x）=1/2*x(4-x)单调性证明）解：因为a=1/2a（3-a）=-1/2(a-2)^2+2所以2-a=1/2(2-a)^2由（1）知2-a>0,所以log（2-a）=-1+2log(2-a)令b=log（2-a）则b=-1+2b所以b-1=2（b-1）故{b-1}是以2为公比的等比数列得b=1-2^n=log(2-a)所以a=2-2^(1-2^n)(8)a={f(n)*a}/(g(n)a+h(n))两边取倒数后转化为类型（3）（9）a=pa+qa一般利用a-αa=β（a-αa）构造等比数列例：【06福建】已知a=1，a=3，a=3a-2a，求数列的通项。（10）a=（pa+q）/(ra+m)【特征方程】当特征方程x=（px+q）/（rx+m）有两个不同的根x1与x2时，{(a-x1)/(a-x2)}是等比数列；当它仅有一根x0时，{1/（a-x0）}是等差数列例【05重庆】已知a=1，8a*a-16a+2a+5=0求a（11）周期型：找出周期（12）a+a=pn+q或a*a