专题2.4圆的方程（六个重难点突破）-2023-2024学年高二数学上学期重难点突破及混淆易错规避（人教A版2019）（解析版）

专题2.4圆的方程知识点1圆的标准方程1．圆的定义圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合．2．圆的标准方程我们把方程称为圆心为,半径为r的圆的标准方程．3．几种特殊位置的圆的标准方程条件方程形式过原点圆心在原点圆心在x轴上圆心在y轴上圆心在x轴上且过原点圆心在y轴上且过原点与x轴相切与y轴相切知识点2点与圆的位置关系点与圆的位置关系：（1）点在圆外；（2）点在圆上；（3）点在圆内.重难点1圆的标准方程1．已知圆，则圆关于点对称的圆的方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】圆关于点对称只是圆心的位置发生了变化，因此只需求圆心关于点对称后的坐标即可解决.【详解】圆的圆心为，半径为，关于对称的点为，圆对称后只是圆心位置改变，圆的半径不会变化，仍为，因此所求的圆的方程为.故选：D2．已知圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据题意，求得圆心关于直线的对称点，即可得到结果.【详解】由题意可得，圆的圆心坐标为，半径为，设圆心关于直线的对称点为，则，解得，所以圆的标准方程为.故选：A3．圆心在第二象限，半径为3，且与两条坐标轴均相切的圆的标准方程为．【答案】【分析】根据圆心和半径即可写出标准方程.【详解】由题意可得所求的圆半径为3,由于两条坐标轴均相切，且圆心在第二象限，故圆心为，，圆的标准方程为；故答案为：4．圆心在直线上，且过点的圆的标准方程为.【答案】【分析】通过求圆心和半径来求得圆的标准方程.【详解】直线的斜率为，线段的中点为，线段的垂直平分线的方程为：，即，联立，解得，即圆心坐标为，半径，所以所求圆的标准方程为：.故答案为：.5．已知两点、，则以PQ为直径的圆的方程是.【答案】【分析】根据条件求出圆心坐标及圆的半径即可.【详解】、,的中点坐标为，即为圆心坐标，又圆的半径为则所求圆的方程为.故答案为：.6．圆过点，求面积最小的圆的方程为【答案】【分析】根据题意知所求圆为以为直径的圆，再利用条件即可求出结果.【详解】当为直径时，过的圆的半径最小，从而面积最小，又，所以，所求圆的圆心为中点，半径为，则所求圆的方程为：.故答案为：.7．已知圆C经过点和点，且圆心在直线上，则圆C的标准方程为．【答案】【分析】求出线段AB的中垂线方程，与直线联立，可得圆心坐标，根据两点间距离公式求出半径，可得圆的方程．【详解】因为，，所以直线的斜率为，线段中点为，所以中垂线方程为，即，联立，解得，所以圆心的坐标为.根据两点间的距离公式，得半径，因此，所求的圆的方程为.故答案为：.重难点2点与圆的位置关系8．若圆C：上存在到的距离为1的点，则实数m的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出圆心到定点距离，由题设有且，即可得求范围.【详解】由题意可得圆心，半径为，则到的距离，要使圆上存在到的距离为1的点，则，可得.故选：B9．已知两直线与的交点在圆的内部，则实数k的取值范围是（

）.A． B．C． D．【答案】B【分析】求出两直线的交点坐标，利用该交点到圆心的距离小于半径列式，解不等式可得结果.【详解】圆的圆心为，半径为，由得，则两直线与的交点为，依题意得，解得.故选：B10．矩形中，，，点在边上，且，如果圆是以点为圆心，为半径的圆，那么下列判断正确的是（

）A．点、均在圆外 B．点在圆外、点在圆内C．点在圆内、点在圆外 D．点、均在圆内【答案】C【分析】根据点到圆心的距离与半径的大小关系即可判断点和圆的位置关系.【详解】如图，,所以该圆是以为圆心，7为半径的圆，，所以点在圆内，，所以点在圆外，故选:C.11．(多选)下列各点中，不在圆的外部的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】利用给定的圆方程，把各选项中的点的坐标代入判断作答.【详解】对于A，，点在圆内；对于B，，点在圆外；对于C，，在圆上；对于D，，在圆内.故选：ACD12．若点在圆上，则实数m＝.【答案】4【分析】将点P坐标代入圆方程，解方程可得答案.【详解】∵点在圆上，∴点P坐标代入，得，即m＝4.故答案为：4.13．(多选)经过四点，，，中的三点的圆的方程可能为（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】将点代入各方程，判断是否满足圆的方程，即可得出答案．【详解】选项A：点，，在圆上，点不在该圆上，故A正确；选项B：点，，在圆上，点不在该圆上，故B正确；选项C：点，，，都不在圆上，故C错误；选项D：点，，在圆上，点不在该圆上，故D正确；故选：ABD．14．已知点A(1，2)和圆C：，试分别求满足下列条件的实数a的取值范围.(1)点A在圆的内部；(2)点A在圆上；(3)点A在圆的外部.【答案】(1)(2)(3)【分析】由点和圆的位置关系，列方程或不等式，求解实数a的取值范围.【详解】（1）因为点A在圆的内部，所以，且a不为0，解得.故实数a的取值范围为.（2）因为点A在圆上，所以，解得（3）因为点A在圆的外部，所以且a不为0，解得且.故实数a的取值范围为知识点3圆的一般方程1．圆的一般方程当时,方程表示一个圆．我们把方程叫做圆的一般方程．2．对方程的说明对方程配方得，与0的大小关系对方程图形的影响如下表：条件图形不表示任何图形表示一个点表示以为圆心,以为半径的圆知识点4圆上的点到定点的最大、最小距离设圆心到定点的距离为,圆的半径为,圆上的动点为:（1）若点在圆外,则;（2）若点在圆上,则;（3）若点在圆内,则.综上,.重难点3圆的一般方程15．求以为圆心，且经过点的圆的一般方程（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意，利用两点间的距离公式求得圆的半径，写出圆的标准方程，进而得到圆的一般方程，得到答案.【详解】由题意得，圆的半径，所以圆的方程为，所以圆的一般方程为.故选：C.16．已知实数满足，则的最大值是（

）A．3 B．2 C． D．【答案】D【分析】先整理为圆的标准方程，利用有界性即可求得.【详解】可化为：，所以，解得：，即的最大值是4.故选：D17．圆心在y轴上，经过点且与x轴相切的圆的方程是．【答案】【分析】先设出圆的标准方程，再利用条件建立方程求出参数即可求出结果.【详解】由题意，设圆的方程为，因为圆经过点，所以把点代入圆的方程，得，整理得，∴，所以圆的方程为，即，故答案为：.18．圆心在直线上，且经过圆与的交点的圆的标准方程是.【答案】【分析】根据题意，设出经过圆与的交点的圆系方程，再利用圆心在直线上，即可求解.【详解】设所求圆的方程为，即，其圆心坐标为，代入直线，得，故所求圆的方程为，即.故答案为：.19．求经过三点，，的圆的方程．【答案】【分析】设圆的方程为，依题意得到方程组，解得、、，即可得解.【详解】设圆的方程为，依题意可得，解得，所以圆的方程为.20．求下列各圆的标准方程：(1)圆心在直线上且过两点的圆的方程；(2)经过三点的圆的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据M，N两点和圆坐标关系代入圆的方程，求解未知数即可；（2）将A,B,C三点坐标代入圆方程求解未知数即可；【详解】（1）设圆的一般方程为，其中,圆心坐标为,因为圆心在直线上且过两点，所以，解得，所以圆的一般方程为，所以圆的标准方程为；（2）设圆的一般方程为，其中,因为经过三点，所以，解得，所以圆的一般方程为，所以圆的标准方程为；21．圆的方程为：，则圆心的坐标为，半径为．【答案】【分析】将圆的方程化为标准方程可得答案.【详解】由可得，所以圆心的坐标为，半径为，故答案为：，重难点4二元二次方程与圆22．“”是“方程表示圆”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据二元二次方程表示圆的充要条件是可得答案.【详解】因为方程，即表示圆，等价于0，解得或.故“”是“方程表示圆”的充分不必要条件.故选：A23．已知“”是“”表示圆的必要不充分条件，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出表示圆的充要条件，然后可判断出答案.【详解】若表示圆，则，解得.“”是“”表示圆的必要不充分条件，所以实数的取值范围是.故选：B24．已知点在圆的外部，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由点在圆外以及方程表示圆得到不等式组，解不等式组即可.【详解】由点在圆外知，即，解得，又为圆，则，解得，故.故选：D.25．若曲线：表示圆，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据圆的一般式变形为标准式，进而可得参数范围.【详解】由，得，由该曲线表示圆，可知，解得或，故选：B.26．若方程表示圆，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依题意可得，即可得到不等式，解得即可；【详解】解：因为方程表示圆，所以，即，解得；故选：D27．若某圆的方程为，则a的值为．【答案】2【分析】由二元二次方程表示的曲线与圆的关系知与的系数相等，求出a，然后验证可得.【详解】由，得或，当时，方程为，不满足题意；当时，方程为表示圆.故答案为：228．画出方程表示的曲线．【答案】【分析】先求出，，两边平方后得到圆的方程，故得到方程表示的曲线为以为圆心，半径为1的圆的右半部分.【详解】由题意得：，，方程两边平方得：，如图所示：实线为所求方程表示的曲线为以为圆心，半径为1的圆的右半部分.重难点5定点到圆上点的最值（范围)29．点在圆上，点，则的最大值为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】可判断在圆外，则，计算即可．【详解】圆的圆心，半径为，由于在圆外，．故选：D.30．已知半径为的圆经过点，则其圆心到点的距离的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据圆的性质，求得轨迹方程，由点与圆的位置关系，可得答案.【详解】由题意，圆心的轨迹方程为，则其圆心到点的距离的最大值为.故选：C.31．设是圆上任意一点，则的最大值为.【答案】9【分析】可以将看成是到上任意一点距离的平方，其最大值为圆心到的距离的再加上半径最后平方即可.【详解】圆的圆心为，半径为1圆心与距离的最大值为，所以的最大值为故答案为：932．在平面内，一只蚂蚁从点出发，爬到轴后又爬到圆上，则它爬到的最短路程是．【答案】【分析】求得点关于轴的对称点为，结合圆的性质，即可求解.【详解】由圆，得圆心坐标，半径为，求得点关于轴的对称点为，可得.如图所示，可得爬到的最短路程为.故答案为：33．已知为圆上任意一点，且点，则的最大值为，最小值为．【答案】【分析】分析可知点在圆外，利用圆的几何性质可求得的最大值和最小值.【详解】易知圆心，半径．，所以，点在圆外，所以，，.故答案为：；.34．若方程表示以为圆心，为半径的圆，则下列结论正确的是（

）A．的最大值为． B．圆关于直线对称C． D．圆与轴相切【答案】ABC【分析】由的几何意义，转化为圆心到定点距离求解可判断A；判断直线是否过圆心可判断B；根据已知直接求解可判断C；故圆心坐标和半径关系可判断D.【详解】表示圆上动点到定点的距离，因为圆心到的距离为5，所以圆上动点到定点的距离的最大值为，A正确；因为圆心在直线上，所以B正确；由题知，，得，C正确；由题知圆心纵坐标绝对值等于半径，故该圆与x轴相切，与y轴相交，D错误.故答案为：ABC重难点6与圆有关的轨迹问题35．在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若=2，则点C的轨迹为（

）A．抛物线 B．射线 C．圆 D．直线【答案】C【分析】建立合适的平面直角坐标系，设，根据以及向量数量积的坐标形式求解出满足的关系式，即可判断出轨迹形状.【详解】因为点是两个定点，不妨设，以所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，

设，，，所以，，由得：，即，所以点C的轨迹为圆.故选：C.36．过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点M，则的最大值是（

）A． B．3 C． D．【答案】C【分析】求出A，B的坐标，并判断两直线垂直，推出点M在以为直径的圆上，求得，即，结合基本不等式即可求得答案.【详解】由题意知过定点,动直线即过定点，对于直线和动直线满足，故两直线垂直，因此点M在以为直径的圆上，，则，所以，当且仅当时等号成立，故的最大值为，故选：C37．已知，是圆上的两个动点，若点在以为直径的圆上，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设的中点为，得到，根据，得到，设，求得，得出点的轨迹，再由可知，当取最大值时，取最大值，结合圆的性质，即可求解.【详解】如图所示，设的中点为，连接，因为点在以为直径的圆上，所以，所以，连接，，，则，所以，所以，设，则，整理得，所以点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，因为，所以当取最大值时，取最大值，又因为，故的最大值为.故选：B.38．过点的直线与圆交于点B，则线段中点P的轨迹方程为.【答案】【分析】设点P的坐标为，点B为，结合中点坐标公式可得，代入圆