专题3.3双曲线及其标准方程（七个重难点突破）-2023-2024学年高二数学上学期重难点突破及混淆易错规避（人教A版2019）（解析版）

专题3.3双曲线及其标准方程知识点一双曲线的定义一般地,我们把平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．注意：（1）距离的差要加绝对值,否则只有双曲线的一支,若分别表示双曲线的左、右焦点,则有以下两种情形：①若点P满足,则点P在左支上,如图（1）②若点P满足,则点P在右支上,如图（2）（2）注意定义中的“小于”这一限制条件,其根据是“三角形两边之差小于第三边”．①若,即,根据平面几何知识知,当时,动点轨迹是以F2为端点向右延伸的一条射线；当时,动点轨迹是以F1为端点向左延伸的一条射线．②若,即,根据平面几何知识知,动点轨迹不存在．（3）注意定义中的“非零”这一限制条件,若差的绝对值等于零,则动点轨迹是线段的垂直平分线．知识点二双曲线的标准方程标准方程焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形焦点的关系重难点1根据双曲线的定义求方程1．已知点，曲线上的动点到的距离之差为6，则曲线方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由题意可得，根据双曲线的定义及焦点的位置即可求解.【详解】由题意可得,由双曲线定义可知，所求曲线方程为双曲线一支，且,即，所以.又因为焦点在轴上，所以曲线方程为.故选:A.2．已知点，动点满足，则动点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由双曲线的定义可知，动点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，利用待定系数法求轨迹方程.【详解】，，又动点满足，动点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，设双曲线方程为，则有，动点的轨迹方程为．故选：A．3．设中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的焦距为16，且双曲线上的任意一点到两个焦点的距离的差的绝对值等于6，双曲线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据题意列式求解，即可得结果.【详解】∵双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的方程为，且，由题意可得，解得，∴双曲线的方程为.故选：A.4．已知，，动点P满足，则动点P的轨迹方程为（

）．A． B．C． D．【答案】D【分析】根据双曲线的定义，分析可得的轨迹是以、为焦点的双曲线，结合题意可得，，计算出的值，将其代入双曲线的方程即可得答案．【详解】根据题意，，，则，动点满足，其中，则的轨迹是以、为焦点的双曲线的上半支，其中，，即，则，所以双曲线的方程为：，故选：D．5．如图，在中，已知，且三内角A，B，C满足，建立适当的平面直角坐标系，则顶点C的轨迹方程为.

【答案】【分析】以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，利用正弦定理结合已知条件可得，然后根据双曲线的定义可求得结果.【详解】以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则，.由正弦定理，得，，（R为的外接圆半径）.

∵，∴，即.由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支（除去与x轴的交点）.由题意，设所求轨迹方程为，∵，，∴.故所求轨迹方程为.故答案为：6．动点与点与点满足，则点的轨迹方程为．【答案】【分析】结合双曲线的定义求解即可.【详解】解：由知，点的轨迹是以、为焦点的双曲线下支，得，，，，故动点的轨迹方程是．故答案为：．7．已知、两点，根据下列条件，写出动点的轨迹方程．(1)；(2)；(3)．【答案】(1)（）(2)（）(3)【分析】（1）由得到的轨迹是轴上以为端点向右的一条射线，从而得到其轨迹方程；（2）（3）根据双曲线的定义求出轨迹方程；【详解】（1）因为、，则，又，所以点的轨迹是轴上以为端点向右的一条射线，则轨迹方程为（）.（2）因为，所以点的轨迹是以、为焦点的双曲线的右支，且、，所以，所以轨迹方程为（）.（3）因为，所以点的轨迹是以、为焦点的双曲线，且、，所以，所以轨迹方程为.重难点2根据求标准方程8．已知双曲线过点，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的标准方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据题意求得，，得到，进而求得双曲线的标准方程.【详解】由椭圆，可化为标准方程，可得，因为双曲线与椭圆有公共的焦点，所以，又因为双曲线过点，可得，则，所以双曲线的标准方程为.故选：B.9．如果双曲线关于原点对称，它的焦点在坐标轴上，实轴为8，焦距为10，那么双曲线的标准方程是．【答案】或【分析】根据题意，分双曲线的焦点在轴，与焦点在轴，结合条件，即可得到结果.【详解】当双曲线的焦点在轴上时，设其标准方程为，由题意可得，解得，则则双曲线方程为；当双曲线的焦点在轴上时，设其标准方程为，由题意可得，解得，则则双曲线方程为；故答案为：或10．已知双曲线对称轴为坐标轴，中心在原点，两焦点为，直线过双曲线的一个焦点，P为双曲线上一点，且，则双曲线的方程为．【答案】或【分析】根据题意，利用双曲线的定义，求得，再由直线过焦点，求得，进而求得，结合双曲线的焦点的位置，即可求解双曲线的方程.【详解】由题意，点为双曲线上一点，且，可得，即，解得，又由直线过双曲线的一个焦点，当时，可得；当时，可得；当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的一个焦点坐标为，即，则，此时双曲线的方程为；当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的一个焦点坐标为，即，则，此时双曲线的方程为，所以双曲线的方程为或.故答案为：或11．以椭圆的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的标准方程是.【答案】【分析】根据题意，求得半焦距和实半轴的长，即可求得双曲线的方程.【详解】由椭圆，可得，则，所以椭圆的焦点坐标为，长轴的端点坐标为，则求双曲线的焦点坐标为，实轴的端点坐标为，即所求双曲线中，可得，则，所以所求双曲线的方程为.故答案为：.12．求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)焦点在轴上，，经过点；(2)经过、两点．(3)过点，且与椭圆有相同焦点双曲线方程.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）设双曲线的标准方程为，将点代入双曲线的方程，求得，即可求解；（2）设双曲线的方程为，将点代入双曲线方程，求得的值，即可求解；（3）根据题意，设双曲线标准方程为，代入点，结合，求得的值，即可求解.【详解】（1）解：因为，且双曲线的焦点在轴上，可设双曲线的标准方程为，将点的坐标代入双曲线的方程得，解得，因此，双曲线的标准方程为.（2）解：设双曲线的方程为，将点的坐标代入双曲线方程可得，解得，因此，双曲线的标准方程为.（3）解：由题意知，椭圆的焦点坐标为，所以可设双曲线标准方程为，其中，代入点可得，联立解得；所以双曲线标准方程为.13．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于；(2)焦点在轴上，经过点和点．(3)经过点和．(4)已知与椭圆共焦点的双曲线过点【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）根据焦点坐标、双曲线的定义可得答案；（2）设双曲线的方程为，将两点代入可得答案；（3）设双曲线的方程为，将两点代入可得答案；（4）求出椭圆的焦点坐标可得双曲线的焦点坐标，设所求双曲线的标准方程为，代入点可得答案.【详解】（1）由已知得，，即，∵，∴，∵焦点在轴上，∴所求的双曲线的标准方程是；（2）设双曲线的方程为，则，所以，∴双曲线方程为；（3）设双曲线方程为，将两点代入可得，解得，所以双曲线的标准方程为；（4）设椭圆的半焦距为，则，∴，所以椭圆的焦点坐标为，，所以双曲线的焦点坐标为，，设所求双曲线的标准方程为，则，故所求双曲线方程可写为，∵点在所求双曲线上，∴代入有，化简得，解得或；当时，，不合题意，舍去；∴，∴所求双曲线的标准方程为.14．已知等轴双曲线的一个焦点为.求等轴双曲线的标准方程；【答案】【分析】依题意设双曲线的标准方程为，即可求出，从而得解.【详解】由题意设双曲线的标准方程为，则，所以，则双曲线的标准方程为．15．回答下列各题.(1)求与椭圆有相同的焦点，且经过点的椭圆的标准方程.(2)求焦点在轴上，虚轴长为，离心率为的双曲线的标准方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）先求椭圆的焦点坐标为，结合椭圆的定义求得的值，然后可得方程；（2）设方程为，根据题意可得，即可求得a，b，c的值，代入方程，即可得答案.【详解】（1）解：椭圆的焦点坐标为，因为所求椭圆过点，且该椭圆的焦点在轴上，设所求椭圆的标准方程为，则，所以，，，因此，所求椭圆的标准方程为.（2）解：因所求双曲线的焦点在轴上，设所求双曲线的方程为.由题意得，解得，，，所以，所求双曲线的方程为.重难点3根据方程表示双曲线求参数16．已知方程表示的焦点在y轴的双曲线，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先化为双曲线的标准方程，再建立不等式求解即可.【详解】方程可化为：，由方程表示的焦点在y轴的双曲线，得，解得.故选：C.17．已知，则方程所表示的曲线为，则以下命题中正确的是（

）A．当曲线表示双曲线时，的取值范围是B．当时，曲线表示一条直线C．当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆D．存在，使得曲线为等轴双曲线【答案】C【分析】根据直线、椭圆以及双曲线方程的特征逐项分析判断.【详解】对于选项A：曲线表示双曲线时，则，解得或，所以的取值范围是，故A错误；对于选项B：当时，则，解得，所以曲线表示两条直线，故B错误；对于选项C：当时，则，即，可得，曲线：表示焦点在轴上的椭圆，故C正确；对于选项D：若曲线为等轴双曲线，且方程可整理为，可得，则，无解，所以不存在，使得曲线为等轴双曲线，故D错误；故选：C.18．（多选）已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（

）A．当时，曲线C是椭圆 B．当或时，曲线C是双曲线C．若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则 D．若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则【答案】BCD【分析】根据给定条件，利用椭圆、双曲线方程的特征逐项判断作答.【详解】对于A，当时，，则曲线是圆，A错误；对于B，当或时，，曲线是双曲线，B正确；对于C，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，C正确；对于D，若曲线是焦点在轴上的双曲线，则，解得，D正确．故选：BCD19．若方程表示双曲线，则实数m的取值范围是；若表示椭圆，则m的取值范围是．【答案】【分析】根据已知方程，由双曲线、椭圆方程的性质列不等式求参数范围即可.【详解】若方程表示双曲线，则，即，故；若方程表示椭圆，则，解得且，故．故答案为：，20．已知方程​表示双曲线，则​的取值范围是【答案】​【分析】根据题意，由双曲线的标准方程的形式分析可得，解可得m的取值范围，即可得答案．【详解】根据题意，方程表示双曲线，必有，解可得或，即m的范围为；故答案为：．21．已知方程．(1)若方程表示双曲线，求a的取值范围；(2)试说明（1）中的双曲线有共同的焦点．【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）根据双曲线标准方程的形式，列式求解；（2）根据双曲线标准方程的形式，求解，再判断共同的性质.【详解】（1）方程表示双曲线，则．解得．因此，当时，方程表示双曲线，且原方程可写为．（2）由（1）可知，双曲线的焦点在y轴上，且，，则，所以，方程表示的双曲线的焦点坐标为，，显然与方程中的a无关，因此（1）中的双曲线有共同的焦点．22．已知曲线C：.(1)求t为何值时，曲线C分别为椭圆、双曲线；(2)求证：不论t为何值，曲线C有相同的焦点．【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据题意，由椭圆与双曲线的标准方程的特点，即可得到结果；（2）根据题意，分别计算曲线C表示椭圆与双曲线时的焦点，即可得到结果.【详解】（1）当，即或时，且，则曲线C为椭圆；当，即或时，，则曲线C为双曲线．（2）由（1）可知，当或时，曲线C是椭圆，且，因此，∴焦点为；当或时，双曲线C的方程为，∵，∴焦点为.综上所述，无论为何值，曲线C有相同的焦点．重难点4根据双曲线方程求23．若椭圆与双曲线有相同的焦点，则m=（）A． B．1或2C．1或 D．1【答案】D【分析】根据给定条件，利用焦点位置及半焦距的计算列式求解作答.【详解】双曲线的焦点在x轴上，依题意，，即，又，解得，所以.故选：D24．椭圆与双曲线有相同的焦点，则（

）A． B．1 C． D．2【答案】C【分析】根据椭圆，双曲线标准方程解决即可.【详解】由题知，椭圆与双曲线的焦点都在轴上，且焦点相同，所以，解得（经检验，都符合题意），故选：C.25．以双曲线的焦点为顶点,以双曲线的顶点为焦点的椭圆方程为.【答案】【分析】根据题意双曲线的焦距和实轴长分别为椭圆的长轴长和焦距,依据双曲线方程求解即可得到椭圆的方程.【详解】设椭圆方程为,焦距为,因为双曲线方程为,所以焦距为,即,所以,又,即,所以,所以椭圆方程为.故答案为:.26．F1，F2是双曲线的两个焦点，过点F2作与x轴垂直的直线和双曲线的交点为A，满足，则m的值为.【答案】【分析】首先利用表示，再利用，列等式，即可求出m的值．【详解】由题意，，，，，∵过点作与轴垂直的直线和双曲线的交点为A，所以，因为，所以，即所以，，或（舍）故答案为：27．已知命题：，命题：“方程表示双曲线”．(1)若是真命题，求实数的取值范围；(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据方程表示双曲线列不等式，由此求得的取值范围.（2）根据必要不充分条件列不等式，由此求得的取值范围.【详解】（1）若是真命题，则，的取值范围是.（2）因为区间与区间的长度不相同，：，是的必要不充分条件，，.28．已知双曲线的焦点为，，点P在双曲线上，若，求的值．【答案】10或2【分析】根据双曲线的方程求出，再由双曲线的定义求解.【详解】由双曲线可知，，由双曲线的定义可知，，即，解得或.重难点5双曲线的焦点三角形问题29．已知双曲线的左焦点为，过原点的直线与的右支交于点，若为等腰三角形，则点到轴的距离为（

）A． B． C．3 D．5【答案】A【分析】由为等腰三角形，可得，证得，有，又，得，利用面积法求点到轴的距离.【详解】设双曲线的右焦点为，由题意可得，连接，则有，，若为等腰三角形，则（线段与显然不相等），所以，又为的中点，所以，则有．由双曲线的定义得，所以，设点到轴的距离为，则．故选：A．30．双曲线的右焦点为，点A的坐标为，点为双曲线左支上的动点，且周长的最小值为，则为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，利用双曲线的定义把的周长用的周长来表示，可求的最小值，从而求a即可.【详解】如下图所示：

设该双曲线的左焦点为点，由双曲线的定义可得，，又，当且仅当A，P，F三点共线时等号成立.所以，的周长为，当且仅当A，P，F三点共线时，的周长取得最小值，即，解得．故选：D．31．已知椭圆与双曲线共焦点（记为，），点是该椭圆与双曲线的一个公共点，则的面积为.【答案】【分析】根据椭圆和双曲线的定义，结合余弦定理和三角形面积公式进行求解即可.【详解】因为椭圆与双曲线共焦点，所以有，因为该椭圆与双曲线是中心对称图形和轴对称图形，所以不妨设点是在第一象限，左、右焦点分别为，，设，由椭圆和双曲线的定义可知：，由余弦定理可知：，所以有，因此的面积为，故答案为：32．已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，为双曲线右支上一点，且满足，则的周长为.【答案】/【分析】由离心率求出、，再由双曲线定义结合已知可得，从而求出的周长.【详解】由题意可得，，，，，为双曲线右支上一点，，又，，则的周长为．故答案为：．

33．已知双曲线，过双曲线的上焦点作圆的一条切线，切点为M，交双曲线的下支于点为的中点，则三角形的外接圆的周长为【答案】/【分析】先求得，根据双曲线的定义求得，从而求得，由得到三角形的外接圆的直径，从而求得三角形的外接圆的周长.【详解】依题意，双曲线，，则，，，所以，所以，设是双曲线的下焦点，设，，根据抛物线的定义可知，，在三角形中，由余弦定理得：，解得，由于是的中点，是的中点，所以，由于三角形是直角三角形，，所以是三角形外接圆的直径，所以外接圆的周长为.故答案为：

【点睛】有关直线和圆相切的问题，要把握住圆心和切点的连线与切线垂直.研究双曲线焦点三角形有关的问题，可考虑通过双曲线的定义来列方程，建立等量关系式，从而解决所求问题.直角三角形外接圆的直径是直角三角形的斜边.34．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支相交于A，B两点，，且的周长为10，则双曲线C的焦距为．【答案】/【分析】根据双曲线的定义，解得，然后根据的周长为10，解得各边长，最后根据余弦定理求解即可；【详解】

设，，，根据双曲线的定义可知：，可得，有，解得，在和中，由余弦定理有，解得，可得双曲线的焦距为．故答案为：.35．已知双曲线的焦点为，，点M在双曲线上，且轴，求到直线的距离.【答案】【分析】根据双曲线的定义以及焦点三角形中利用等面积法求解即可.【详解】

由题可得，，所以,设，则，解得,由于对称性，不妨取，所以根据双曲线的定义可得，，解得，设到直线的距离为，在直角三角形中，，所以.36．如图，双曲线的左、右焦点分别为，，P为C的右支上一点，且，求的面积．

【答案】48【分析】过点作边上的高，根据所给条件结合双曲线的定义可求出三角形的高，即可求出三角形的面积.【详解】如图，

由可得，，，，，过点作边上的高，则，，所以的面积为.重难点6与双曲线有关的轨迹问题37．与两圆及都外切的圆的圆心的轨迹为（

）A．椭圆 B．双曲线的一支 C．抛物线 D．圆【答案】B【分析】设所求动圆圆心为，圆的半径为，根据圆与圆的位置关系结合双曲线的定义可得出结论.【详解】圆的圆心为，半径为；圆的标准方程为，圆心为，半径为，设所求动圆圆心为，圆的半径为，

由于动圆与圆、圆均外切，则，所以，，因此动圆的圆心的轨迹为双曲线的一支.故选：B.38．动圆P过定点M(0，2)，且与圆N：相内切，则动圆圆心P的轨迹方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据圆与圆的位置关系，结合双曲线的定义得出动圆圆心P的轨迹方程.【详解】圆N：的圆心为，半径为，且设动圆的半径为，则，即.即点在以为焦点，焦距长为，实轴长为，虚轴长为的双曲线上，且点在靠近于点这一支上，故动圆圆心P的轨迹方程是故选：A39．已知圆与圆，动圆同时与圆及相外切，则动圆圆心的轨迹为（

）A．椭圆 B．椭圆和一条直线C．双曲线和一条射线 D．双曲线的一支【答案】D【分析】首先设，根据圆同时与圆及相外切，得到，再结合双曲线的概念即可得到答案.【详解】圆，，圆心，，圆，，圆心，，设，因为圆同时与圆及相外切，所以，即的轨迹是以为焦点，的双曲线的左支.故选：D40．如图所示，已知定圆：，定圆：，动圆M与定圆，都外切，则动圆圆心M的轨迹方程为.

【答案】【分析】由动圆和两定圆外切得圆心距与半径的关系，作差后得到动圆圆心的轨迹符合双曲线定义，由已知得，然后求出，从而得解.【详解】圆：，圆心，半径，圆：，圆心，半径.设动圆M的半径为R，则有，，∴，∴点M的轨迹是以，为焦点的双曲线的左支，且，，于是.故动圆圆心M的轨迹方程为.故答案为：.41．求下列动圆的圆心的轨迹方程：(1)与圆和圆都内切；(2)与圆内切，且与圆外切；(3)在中，，，直线，的斜率之积为，求顶点的轨迹方程.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）依题意可得，根据双曲线的定义可知圆心的轨迹是以点、分别为上、下焦点的双曲线的下支，即可求出其轨迹方程；（2）依题意可得，根据双曲线的定义可知圆心的轨迹是以点、分别为左、右焦点的双曲线的左支，即可求出其轨迹方程；（3）设根据斜率公式得到方程，整理可得.【详解】（1）圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，因为，则圆与圆外离，设圆的半径为，由题意可得，所以，所以圆心的轨迹是以点、分别为上、下焦点的双曲线的下支，设圆心的轨迹方程为，由题意可得，则，，因此圆心的轨迹方程为.

（2）圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，因为，则圆与圆外离，设圆的半径为，由题意可得，所以，所以圆心的轨迹是以点、分别为左、右焦点的双曲线的左支，设圆心的轨迹方程为，由题意可得，则，，因此圆心的轨迹方程为.

（3）设，则，，根据题意有，化简得∴顶点的轨迹方程为.

42．已知动点M与两定点，构成，且直线，的斜率之积为4，求动点M的轨迹方程.【答案】【分析】设出动点M的坐标，再利用斜率坐标公式列式并化简作答.【详解】设点，而点，，在中，，又直线，的斜率存在，即，于是，即，整理得，所以动点M的轨迹方程.43．已知圆M：上动点Q，若，线段QN的中垂线与直线QM交点为P．求交点P的轨迹C的方程；【答案】【分析】数形结合，由双曲线定义可得.【详解】由题知，所以由双曲线定义可知点P的轨迹为双曲线，其中，得曲线C的方程44．动圆与圆和圆相切，求半径的值，使点的轨迹分别为椭圆和双曲线．【答案】答案见解析【分析】根据两圆的位置关系，结合椭圆和双曲线的定义分类讨论进行求解即可.【详解】设动圆的半径为，显然.（1）当圆内含或相内切时，此时有，舍去，当动圆与圆外切与圆内切，所以有，两式相加，得，要想点的轨迹是椭圆，只需，而，因此，（2）当圆外离或相外切时，此时有，当动圆与圆都外切时，所以有，两式相减，得，要想点的轨迹是双曲线，只有，即有；当动圆与圆都内切时，所以有，两式相减，得，要想点的轨迹是双曲线，只有，即有；（3）当圆相交时，此时有，这时动圆与圆都外切，所以有，两式相减，得，要想点的轨迹是双曲线，只有，即有，综上所述：即当时，点的轨迹的以为焦点的双曲线，当时，点的轨迹的以为焦点的椭圆.【点睛】关键点睛：本题的关键是根据两圆的位置关系、相切的性质分类讨论.重难点7双曲线上点到焦点和定点距离的和、差最值45．已知等轴双曲线的焦距为8，左、右焦点在轴上，中心在坐标原点，点的坐标为，为双曲线右支上一动点，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知条件可以得到双曲线的标准方程为，由双曲线的定义可知，，故的最大值为.【详解】因为等轴双曲线的左、右焦点在轴上，中心在坐标原点，所以可设双曲线的方程为，又因为双曲线的焦距为8，所以，而，所以，故双曲线的标准方程为.由双曲线的定义可知，，由题意可知，，，，所以,故的最大值为，当且仅当三点共线且点位于第一象限时取得最大值.故选：B

46．已知是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为.【答案】/【分析】利用双曲线定义将转化，用到右焦点的距离表示，由点与右焦点位于双曲线右支异侧，利用两点之间线段最短可得最小值.【详解】由题意知，.设双曲线的右焦点为，由是双曲线右支上的点，则，则，当且仅当三点共线时，等号成立.又，则.所以，的最小值为.故答案为：.

47．P为双曲线右支上一点，M，N分别是圆和上的点，则的最大值为.【答案】5【分析】由题意及圆的性质知，，结合双曲线定义求最大值.【详解】双曲线的两个焦点，分别为两圆的圆心，

两圆的半径分别为，，易知，，故的最大值为.故答案为：548．过双曲线的左焦点F作圆的一条切线（切点为T），交双曲线右支点