数学-专题22 平行线中的动态问题压轴题（带答案）

专题22平行线中的动态问题压轴题（解析版）类型一动点问题1．（2022春•安乡县期末）问题情境：（1）如图1，AB∥CD，∠PAB＝128°，∠PCD＝132°，求∠APC的度数．小颖同学的解题思路是：如图2，过点P作PE∥AB，请你接着完成解答；问题迁移：（2）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α．∠BCP＝∠β，试判断∠CPD，∠α，∠β之间有何数量关系？请说明理由；（3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你猜想∠CPD，∠α，∠β之间的数量关系，并画出相应的图形说明理由．思路引领：（1）过P作PE∥AB，构造同旁内角，利用平行线性质，可得∠APC＝100°．（2）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案；（3）画出图形（分两种情况：①点P在BA的延长线上，②点P在AB的延长线上），根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案．解：（1）过P作PE∥AB，如图2：∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠APE＝180°﹣∠PAB＝180°﹣128°＝52°，∠CPE＝180°﹣∠PCD＝180°﹣132°＝48°，∴∠APC＝52°+48°＝100°；

（2）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：如图3，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；（3）当P在BA延长线时，∠CPD＝∠β﹣∠α；理由：如图4，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；当P在BO之间时，∠CPD＝∠α﹣∠β．理由：如图5，过P作PE∥AD交CD于E，

∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β．综上所述，∠CPD，∠α，∠β之间的数量关系为：∠CPD＝∠β﹣∠α或∠CPD＝∠α﹣∠β．总结提升：本题考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角．2．（2022春•房山区期末）如图，由线段AB，AM，CM，CD组成的图形像，称为“形BAMCD”．（1）如图1，形BAMCD中，若AB∥CD，∠AMC＝60°，则∠A+∠C＝60°；（2）如图2，连接形BAMCD中B，D两点，若∠ABD+∠BDC＝160°，∠AMC＝α，试猜想∠BAM与∠MCD的数量关系，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，当点M在线段BD的延长线上从上向下移动的过程中，请直接写出∠BAM与∠MCD所有可能的数量关系．思路引领：（1）过M作MN∥AB，利用平行线的性质计算可求求解；（2）过A点作AP∥CD交BD于点P，利用平行线的性质及三角形的内角和定理可求得∠BAP＝20°，结合（1）的结论可求解；（3）可分两种情况：当D，C位于AM两侧时，当D，C位于AM同侧时，利用平行线的性质及三角形外角的性质可分别计算求解．

解：（1）过M作MN∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥MN∥CD，∴∠AMN＝∠A，∠MCD＝∠C，∴∠A+∠C＝∠AMN+∠MCD＝∠AMC＝60°，故答案为：60°；（2）∠BAM+∠MCD＝α+20°．理由：过A点作AP∥CD交BD于点P，∴∠APB＝∠D，∵∠BAP+∠APB+∠B＝180°，∠B+∠D＝160°，∴∠BAP＝180°﹣160°＝20°，由（1）可得∠AMC＝∠PAM+∠MCD，∵∠AMC＝α，∴∠PAM+∠MCD＝α，∴∠BAM+∠MCD＝α+20°；（3）如图，当D，C位于AM两侧时，

∵∠ABD+∠BDC＝160°，∠CDM+∠BDC＝180°，∴∠CDM﹣∠ABD＝20°，∵∠AMQ＝∠B+∠BAM，∠CMQ＝∠MCD+∠CDM，∠AMC＝α，∴α＝∠AMQ﹣∠CMQ＝∠B+∠BAM﹣（∠MCD+∠CDM）＝∠BAM﹣∠MCD﹣20°，即∠BAM﹣∠MCD＝α+20°；当D，C位于AM同侧时，∵∠ABD+∠BDC＝160°，∠CDM+∠BDC＝180°，∴∠CDM﹣∠ABD＝20°，∵∠AMO＝∠B+∠BAM，∠CMO＝∠MCD+∠CDM，∠AMC＝α，∴α＝∠CMO﹣∠AMO＝∠MCD+∠CDM﹣（∠B+∠BAM）＝∠MCD﹣∠BAM+20°，即∠MCD﹣∠BAM＝α﹣20°．综上，∠BAM﹣∠MCD＝α+20°或∠MCD﹣∠BAM＝α﹣20°．总结提升：本题主要考查平行线的性质，三角形外角的性质，三角形的内角和定理，掌握平行线的性质是解题的关键．3．（2022春•武汉期末）已知：点E在直线AB上，点F在直线CD上，AB∥CD．（1）如图1，连EF，EP平分∠AEF，FP平分∠CFE，求∠P的度数．

（2）如图2，若∠EGF＝160°，射线EH，FH分别在∠AEG，∠CFG的内部，且∠EHF＝40°，当∠AEG＝4∠AEH时，求∠GFH∠CFG（3）如图3，在（1）的条件下，在直线CD上有一动点M（点M不与点F重合），EN平分∠MEF，若∠PEN＝α（0°＜α＜90°），请直接写出∠EMF＝2α或180﹣2α（结果用含α的式子表示）．思路引领：（1）过点P作GH∥AB，根据AB∥CD，可得GH∥CD．所以∠EPF＝∠AEP+∠CFP，然后根据EP、FP分别平分∠AEF和∠CEF，可得∠AEF＝2∠AEG，∠CEF＝2∠CFG，进而可以解决问题；（2）过点G，H作GK∥AB，HL∥AB，然后根据平行线的性质即可解决问题；（3）由题意可得EN平分∠MEF，FP平分∠CFE，所以∠MEN＝∠FEN，∠EFP＝∠CFP，然后利用三角形内角和定理即可解决问题．解：（1）如图1，过点P作GH∥AB，∴∠EPH＝∠AEP．∵AB∥CD，∴GH∥CD．∴∠FPH＝∠CFP．∴∠EPH+∠FPH＝∠AEP+∠CFP．即：∠EPF＝∠AEP+∠CFP，∵EP、FP分别平分∠AEF和∠CEF，∴∠AEF＝2∠AEG，∠CEF＝2∠CFG，∵AB∥CD，

∴∠AEF+∠CFE＝180°，∴2∠AEG+2∠CFG＝180°，∴∠AEG+∠CFG＝90°，∴∠EPF＝∠AEP+∠CFP＝90°；（2）如图2，过点G，H作GK∥AB，HL∥AB，∵AB∥CD，∴GK∥CD，HL∥CD，∴∠AEH＝∠EHL．∠CFH＝∠LHF．∠AEG＝∠EGK．∠CFG＝∠FGK．∵∠EGF＝∠EGK+∠FGK＝160°，∠EHF＝∠EHL+∠LHF＝40°，∴∠EGF＝4（∠EHL+∠LHF），∴∠EGK+∠FGK＝∠AEG+∠CFG＝4（∠AEH+∠HFC），∵∠AEG＝4∠AEH，∴∠CFG＝4∠HFC，∴∠GFH∠CFG（3）如图3，由题意可知：EN平分∠MEF，FP平分∠CFE，∴∠MEN＝∠FEN，∠EFP＝∠CFP，∵∠EPF＝∠FEP+∠EFP＝90°，∠PEN＝α∴∠PEN+∠FEN+∠EFP＝α+∠FEN+∠EFP＝α+∠MEN+∠CFP＝90°，∵∠ENM＝∠FEN+∠EFN＝∠FEN+∠EFP+∠CFP，在△EMN中，∠EMN+∠ENM+∠MEN＝180°，

∴∠EMN+∠FEN+∠EFP+∠CFP+∠MEN＝180°，∴∠EMN＝180°﹣（∠MEN+∠CFP）﹣（∠FEN+∠EFP），∴∠EMF＝∠EMN＝180°﹣（90°﹣α）﹣（90°﹣α）＝2α．当M在F点右侧时，∠EMF＝180﹣2α．故答案为：2α或180﹣2α．总结提升：本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是作平行线构造内错角或同位角，利用平行线的性质以及角的和差关系进行推算．4．（2020春•马山县期末）如图，已知AM∥BN，∠A＝60°．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN．（1）求∠ABN的度数．（2）当点P运动时，∠CBD的度数是否随之发生变化？若不变化，请求出它的度数．若变化，请写出变化规律．（3）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，求∠ABC的度数．思路引领：（1）根据平行线的性质可直接求解；（2）利用角平分线的定义可计算求解；（3）结合平行线的性质易得∠1＝∠4，再利用角平分线的定义可求解．（1）证明：∵AM∥BN，∴∠A+∠ABN＝180°，∵∠A＝60°，∴∠ABN＝180°﹣∠A＝180°﹣60°＝120°；（2）没有变化．∵CB平分∠ABP，BD平分∠PBN，∴∠1=12∠ABP，∠2=1∴∠CBD＝∠1+∠2=12(∠ABP

=1＝60°；（3）∵AM∥BN，∴∠ACB＝∠CBN，∵∠ACB＝∠ABD，∴∠CBN＝∠ABD，∴∠CBN﹣∠CBD＝∠ABD﹣∠CBD，即∠1＝∠4，又∵CB平分∠ABP，BD平分∠PBN，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝120°÷4＝30°，即∠ABC＝30°．总结提升：本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，灵活运用平行线的性质及角平分线的定义是解题的关键．类型二动线问题5．（2022春•盐都区月考）当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等．例如：在图①、图②中，都有∠1＝∠2，∠3＝∠4．设镜子AB与BC的夹角∠ABC＝α．（1）如图①，若α＝90°，判断入射光线EF与反射光线GH的位置关系，并说明理由．（2）如图②，若90°＜α＜180°，入射光线EF与反射光线GH的夹角∠FMH＝β．探索α与β的数量关系，并说明理由．（3）如图③，若α＝110°，设镜子CD与BC的夹角∠BCD＝γ（90°＜γ＜180°），入射光线EF与镜面AB的夹角∠1＝m（0°＜m＜90°），已知入射光线EF从镜面AB开始反射，经过n（n为正整数，且n≤3）次反射，当第n次反射光线与入射光线EF平行时，请直接写出γ的度数．（可用含有m的代数式表示）

思路引领：（1）在△BEG中，∠2+∠3+α＝180°，α＝90°，可得∠2+∠3＝90°，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得，∠FEG+∠EGH＝180°，进而可得EF∥GH；（2）在△BEG中，∠2+∠3+α＝180°，可得∠2+∠3＝180°﹣α，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得，∠MEG＝2∠2，∠MGE＝2∠3，在△MEG中，∠MEG+∠MGE+β＝180°，可得α与β的数量关系；（3）分两种情况画图讨论：①当n＝3时，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等，及△GCH内角和，可得γ＝90°+m．②当n＝2时，如果在BC边反射后与EF平行，则α＝90°，与题意不符；则只能在CD边反射后与EF平行，根据三角形外角定义，可得∠G＝γ﹣70°，由EF∥HK，且由（1）的结论可得，γ＝160°．解：（1）EF∥GH，理由如下：在△BEG中，∠2+∠3+α＝180°，α＝90°，∴∠2+∠3＝90°，∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，∵∠1+∠2+∠FEG＝180°，∠3+∠4+∠EGH＝180°，∴∠FEG+∠EGH＝180°，∴EF∥GH；（2）β＝2α﹣180°，理由如下：在△BEG中，∠2+∠3+α＝180°，∴∠2+∠3＝180°﹣α，∵∠1＝∠2，∠1＝∠MEB，

∴∠2＝∠MEB，∴∠MEG＝2∠2，同理可得，∠MGE＝2∠3，在△MEG中，∠MEG+∠MGE+β＝180°，∴β＝180°﹣（∠MEG+∠MGE）＝180°﹣（2∠2+2∠3）＝180°﹣2（∠2+∠3）＝180°﹣2（180°﹣α）＝2α﹣180°；（3）90°+m或160°．理由如下：①当n＝3时，如图所示：∵∠BEG＝∠1＝m，∴∠BGE＝∠CGH＝50°﹣m，∴∠FEG＝180°﹣2∠1＝180°﹣2m，∠EGH＝180°﹣2∠BGE＝180°﹣2（50°﹣m），∵EF∥HK，∴∠FEG+∠EGH+∠GHK＝360°，则∠GHK＝100°，则∠GHC＝40°，由△GCH内角和，得γ＝90°+m．②当n＝2时，如果在BC边反射后与EF平行，则α＝90°，与题意不符；

则只能在CD边反射后与EF平行，如图所示：根据三角形外角定义，得∠G＝γ﹣70°，由EF∥HK，且由（1）的结论可得，∠G＝γ﹣70°＝90°，则γ＝160°．综上所述：γ的度数为90°+m或160°．总结提升：本题考查了平行线的性质、列代数式，解决本题的关键是掌握平行线的性质，注意分类讨论思想的利用．6．（2021春•南湖区校级期中）为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN＝3：2．（1）填空：∠BAN＝72°．（2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？（3）如图2，若两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前若射出的光束交于点C，过C作∠ACD交PQ

于点D，且∠ACD＝126°，则在转动过程中，请求出∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系，若改变，请说明理由．思路引领：（1）根据∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM：∠BAN＝3：2，即可得到∠BAN的度数；（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：当0＜t＜90时，根据2t＝1•（30+t），可得t＝30；当90＜t＜150时，根据1•（30+t）+（2t﹣180）＝180，可得t＝110；（3）设灯A射线转动时间为t秒，根据∠BAC＝2t﹣108°，∠BCD＝126°﹣∠BCA＝t﹣54°，即可得出∠BAC：∠BCD＝2：1，据此可得∠BAC和∠BCD关系不会变化．解：（1）∵∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM：∠BAN＝3：2，∴∠BAN＝180°×2故答案为：72°；（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，①当0＜t＜90时，∵PQ∥MN，∴∠PBD＝∠BDA，∵AC∥BD，∴∠CAM＝∠BDA，∴∠CAM＝∠PBD，∴2t＝1•（30+t），解得t＝30；②当90＜t＜150时，∵PQ∥MN，∴∠PBD+∠BDA＝180°，∵AC∥BD，∴∠CAN＝∠BDA，∴∠PBD+∠CAN＝180°，∴1•（30+t）+（2t﹣180）＝180，解得t＝110，综上所述，当t＝30或110时，两灯的光束互相平行；（3）∠BAC与∠BCD的数量关系不变，∠BAC＝2∠BCD，理由如下：

设灯A射线转动时间为t秒，∵∠CAN＝180°﹣2t，∴∠BAC＝72°﹣（180°﹣2t）＝2t﹣108°，又∵∠ABC＝108°﹣t＝78°﹣t，∴∠BCA＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝180﹣t，而∠ACD＝126°，∴∠BCD＝126°﹣∠BCA＝126°﹣（180°﹣t）＝t﹣54°，∴∠BAC：∠BCD＝2：1，即∠BAC＝2∠BCD．总结提升：本题主要考查了平行线的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．类型三三角板（三角形）旋转问题7．（2022春•义乌市校级月考）如图1，将三角板ABC与三角板ADE摆放在一起；如图2，其中∠ACB＝30°，∠DAE＝45°，∠BAC＝∠D＝90°．固定三角板ABC，将三角板ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠CAE＝α（0°＜α≤90°）．（1）当α为15度时，AD∥BC；（2）在旋转过程中，试探究∠CAD与∠BAE之间的关系；（3）若旋转角∠CAE＝α的范围改为0°＜α＜180°．当△ADE旋转速度为5°/秒时，且它的一边与△ABC的某一边平行（不共线）时，直接写出时间t的所有值．思路引领：（1）根据平行线的判定定理即可求解；

（2）分①当0°＜α≤45°，45°＜α≤90°、α＞90°时3种情况，画图计算即可；（3）分AD∥BC、DE∥AB、DE∥BC、AE∥BC四种情况，分别求解即可．解：（1）当α＝15°时，AD∥BC，图形如下：∵AD∥BC，∴∠ACB＝∠CAD＝30°，∴∠CAE＝∠DAE﹣∠CAD＝45°﹣30°＝15°．故答案为15；（2）设：∠CAD＝γ，∠BAE＝β，①如上图，当0°＜α≤45°时，α+β＝90°，α+γ＝45°，故β﹣γ＝45°；②当45°＜α≤90°时，同理可得：γ+β＝45°，（3）①当AD∥BC时，α＝15°，t＝3；②当DE∥AB时，α＝45°，t＝9；③当DE∥BC时，α＝105°，t＝21；④当DE∥AC时，α＝135°，t＝27；⑤当AE∥BC时，α＝150°，t＝30；综上，t＝3或9或21或27或30．总结提升：解答此题的关键是通过画图，确定旋转后△ADE的位置，还注意分类求解，避免遗漏．8．（2022•苏州模拟）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，∠A＝60°，∠D＝30°；∠E＝∠B＝45°：（1）①若∠DCE＝45°，则∠ACB的度数为135°；

②若∠ACB＝140°，求∠DCE的度数；（2）由（1）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由．（3）当∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出∠ACE角度所有可能的值（不必说明理由），若不存在，请说明理由．思路引领：（1）①根据∠DCE和∠ACD的度数，求得∠ACE的度数，再根据∠BCE求得∠ACB的度数；②根据∠BCE和∠ACB的度数，求得∠ACE的度数，再根据∠ACD求得∠DCE的度数；（2）根据∠ACE＝90°﹣∠DCE以及∠ACB＝∠ACE+90°，进行计算即可得出结论；（3）分五种情况进行讨论：当CB∥AD时，当EB∥AC时，当CE∥AD时，当EB∥CD时，当BE∥AD时，分别求得∠ACE角度．（1）①∵∠DCE＝45°，∠ACD＝90°∴∠ACE＝45°∵∠BCE＝90°∴∠ACB＝90°+45°＝135°故答案为：135°；②∵∠ACB＝140°，∠ECB＝90°∴∠ACE＝140°﹣90°＝50°∴∠DCE＝90°﹣∠ACE＝90°﹣50°＝40°；（2）猜想：∠ACB+∠DCE＝180°理由如下：∵∠ACE＝90°﹣∠DCE又∵∠ACB＝∠ACE+90°∴∠ACB＝90°﹣∠DCE+90°＝180°﹣∠DCE即∠ACB+∠DCE＝180°；

（3）30°、45°、120°、135°、165°．理由：当CB∥AD时，∠ACE＝30°；当EB∥AC时，∠ACE＝45°；当CE∥AD时，∠ACE＝120°；当EB∥CD时，∠ACE＝135°；当BE∥AD时，∠ACE＝165°．总结提升：本题主要考查了平行线的性质，以及直角三角形的性质，解题时注意分类讨论思想的运用，分类时注意不能重复，也不能遗漏．9．（2022春•朝阳区校级期中）如图1，AB∥CD，点E，F分别在直线CD，AB上，∠BEC＝2∠BEF，过点A作AG⊥BE的延长线交于点G，交CD于点N，AK平分∠BAG，交EF于点H，交BE于点M．（1）直接写出∠AHE，∠FAH，∠KEH之间的关系：∠AHE＝∠FAH+∠KEH．（2）若∠BEF=12∠BAK，求∠（3）如图2，在（2）的条件下，将△KHE绕着点E以每秒5°的速度逆时针旋转，旋转时间为t，当KE边与射线ED重合时停止，则在旋转过程中，当△KHE的其中一边与△ENG的某一边平行时，直接写出此时t的值．思路引领：（1）根据平行线的性质和三角形的外角性质可得答案；（2）根据∠BEF=12∠BAK，分别表示出∠BAK、∠BEC、∠BAK、∠KAG、∠AME和∠AHE，再由AG⊥BE，可得∠

（3）结合（2），分以下几种情况求解：①当KH∥NG时，延长KE交GN边于P，②当KH∥EG时，③当KH∥EN时，即EK与EG在同一直线上时，④当KE∥NG时，⑤当HE∥NG时．解：（1）∵AB∥CD，∴∠KEH＝∠AFH，∵∠AHE是△AHF的外角，∴∠AHE＝∠AFH+∠FAH，∴∠AHE＝∠FAH+∠KEH．故答案为：∠AHE＝∠FAH+∠KEH；（2）∵AB∥CD，∴∠BAK＝∠MKE，∠ABE＝∠BEC，∵∠BEF=1∴∠BAK＝2∠BEF，∵∠BEC＝2∠BEF，∴∠BAK＝∠BEC，∴∠BAK＝∠ABE，∴AK平分∠BAG，∴∠BAK＝∠GAK＝∠ABE，∵AG⊥BE，∴∠AGB＝90°，∴3∠BAK＝90°，∴∠BAK＝∠ABE＝∠GAK＝30°，∴∠BEF=1∴∠CEF＝45°，∴∠CEF＝∠AFE＝45°，∴∠AHE＝∠AFE+∠BAK＝75°．（3）①当KH∥NG时，延长KE交GN边于P，

∵∠EKH＝∠EPG＝30°，∴∠PEG＝90°﹣∠EPG＝60°，∵∠GEN＝90°﹣ENG＝30°，∴∠PEN＝∠PEG﹣∠GEN＝30°，∴∠CEK＝∠PEN＝30°，∴当△KHE绕E点旋转30°时，EK∥GN，∴t=30°②当KH∥EG时，∴∠EKH＝∠KEG＝30°，∴∠NEK＝∠NEG+∠KEG＝60°，∴∠NEK＝60°，∴∠CEK＝120°，∴当△KHE绕点E旋转120°时，HK∥EG，∴t=120°③当KH∥EN时，即EK与EG在同一直线上时，∴∠CEK＝150°，∴当△KHE绕点E旋转150°时，KH∥EN，

∴t=150°∴当△KEH的其中一边与△ENG的某一边平行时t的值为6秒或24秒或30秒．④当KE∥NG时，∵∠GEN＝30°，∴∠CEK＝90°﹣∠GEN＝60°．∴当△KHE旋转60°时，KE∥NG．∴t=60⑤当HE∥NG时，∵∠GEN＝30°，∠KEH＝45°，∴∠CEK＝∠CEH+∠HEK＝90°﹣∠GEN+∠HEK＝105°．∴当△KHE旋转105°时，HE∥NG．∴t=105当△KEH的其中一边与△ENG的某一边平行时t的值为6秒或24秒或30秒或12秒或21秒．总结提升：本题考查了平行线的性质、角平分线的性质、三角形外角的性质、三角形的内角和及一元一次方程在几何问题中的应用，理清题中的数量关系并分类讨论是解题的关键．类型三三角板（图形）平移问题10．（2022春•海淀区校级期中）如图，直线AB∥CD，直线EF与AB，CD分别交于点G，H，∠EHD＝α（0°＜α＜90°）．小安将一个含30°角的直角三角板PMN按如图①放置，使点N、M分别在直线AB、CD上，且在点C、H的右侧，∠P＝90°，∠PMN＝60°．（1）填空；∠PNB+∠PMD＝∠P（填“＞”“＜”或“＝”）；

（2）若∠MNG的平分线NO交直线CD于点O，如图②．①当NO∥EF，PM∥EF时，求α的度数；②小安将三角板PMN沿直线AB左右移动，保持PM∥EF，点N、M分别在直线AB和直线CD上移动，请直接写出∠MON的度数（用含α的式子表示）．思路引领：（1）过P点作PQ∥AB，根据平行线的性质可得∠PNB＝∠NPQ，∠PMD＝∠QPM，进而可求解；（2）①由平行线的性质可得∠ONM＝∠PMN＝60°，结合角平分线的定义可得∠ANO＝∠ONM＝60°，再利用平行线的性质可求解；②可分两种情况：点N在G的右侧时，点N在G的左侧时，利用平行线的性质及角平分线的定义计算可求解．解：（1）过P点作PQ∥AB，

∴∠PNB＝∠NPQ，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠PMD＝∠QPM，∴∠PNB+∠PMD＝∠NPQ+∠QPM＝∠MPN，故答案为：＝（2）①∵NO∥EF，PM∥EF，∴PO∥PM，∴∠ONM＝∠NMP，∵∠PMN＝60°，∴∠ONM＝∠PMN＝60°，∵NO平分∠MNO，∴∠ANO＝∠ONM＝60°，∵AB∥CD，∴∠NOM＝∠ANO＝60°，∴α＝∠NOM＝60°；②点N在G的右侧时，如图②，∵PM∥EF，∠EHD＝α，∴∠PMD＝α，∴∠NMD＝60°+α，∵AB∥CD，∴∠ANM＝∠NMD＝60°+α，∵NO平分∠ANM，

∴∠ANO=12∠ANM＝30°+∵AB∥CD，∴∠MON＝∠ANO＝30°+12点N在G的左侧时，如图，∵PM∥EF，∠EHD＝α，∴∠PMD＝α，∴∠NMD＝60°+α，∵AB∥CD，∴∠BNM+∠NMO＝180°，∠BNO＝∠MON，∵NO平分∠MNG，∴∠BNO=12[180°﹣（60°+α）]＝60°−∴∠MON＝60°−12综上所述，∠MON的度数为30°+12α或60°−总结提升：本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，分类讨论是解题的关键．11．（2022春•沈丘县期末）如图1，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中∠ONM＝30°，∠OCD＝45°（1）观察猜想将图1中的三角尺OCD沿AB的方向平移至图②的位置，使得点O与点N重合，CD与MN相交于点E，则∠CEN＝105°．（2）操作探究

将图1中的三角尺OCD绕点O按顺时针方向旋转，使一边OD在∠MON的内部，如图3，且OD恰好平分∠MON，CD与NM相交于点E，求∠CEN的度数；（3）深化拓展将图1中的三角尺OCD绕点O按沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当边OC旋转75或255°时，边CD恰好与边MN平行．（直接写出结果）思路引领：（1）在△CEN中，依据三角形的内角和定理求解即可；（2）根据角平分线的定义求出∠DON＝45°，利用内错角相等两直线平行求出CD∥AB，再根据两直线平行，同旁内角互补求解即可；（3）当CD在AB上方时，CD∥MN，设OM与CD相交于F，根据两直线平行，同位角相等可得∠OFD＝∠M＝60°，然后根据三角形的内角和定理列式求出∠MOD，即可得解；当CD在AB的下方时，CD∥MN，设直线OM与CD相交于F，根据两直线平行，内错角相等可得∠DFO＝∠M＝60°，然后利用三角形的内角和定理求出∠DOF，再求出旋转角即可．解：（1）∵∠ECN＝45°，∠ENC＝30°，∴∠CEN＝105°．故答案为：105°．（2）∵OD平分∠MON，∴∠DON=12∠MON∴∠DON＝∠D＝45°，∴CD∥AB，∴∠CEN＝180°﹣∠MNO＝180°﹣30°＝150°；．（3）如图1，CD在AB上方时，设OM与CD相交于F，∵CD∥MN，∴∠OFD＝∠M＝60°，在△ODF中，∠MOD＝180°﹣∠D﹣∠OFD，＝180°﹣45°﹣60°，＝75°，当CD在AB的下方时，设直线OM与CD相交于F，∵CD∥MN，∴∠DFO＝∠M＝60°，

在△DOF中，∠DOF＝180°﹣∠D﹣∠DFO＝180°﹣45°﹣60°＝75°，∴旋转角为75°+180°＝255°，综上所述，当边OC旋转75°或255°时，边CD恰好与边MN平行．故答案为：75或255．总结提升：本题考查了旋转的性质，三角形的内