贵州省黔东南州2023-2024学年高二上学期期末检测数学试题(含答案)

黔东南州2023－2024学年度第一学期期末检测高二年级数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章。1．已知等比数列的前两项分别为1，－2，则该数列的第4项为（）A．4 B．－4 C．8 D．－82．椭圆的焦距为（）A． B．4 C． D．23．在空间直角坐标系中，已知向量是平面的一个法向量，且．则直线与平面所成角的正弦值是（）A． B． C． D．4．若数列满足，则（）A．1 B． C． D．5．已知椭圆的焦点为为上一点，且点不在直线上，则“”是“的周长大于12”的（）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件6．如图，在三棱锥中，点满足，则（）A． B． C．2 D．7．已知是抛物线上的三个点，为焦点，，点到轴的距离为，则的最小值为（）A．10 B．11 C． D．8．已知双曲线的离心率为，当时，在数列中，满足为有理数的的最大值为（）A．959 B．960 C．961 D．963二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．若直线，则（）A． B． C． D．10．已知是空间的一个单位正交基底，则（）A． B．构成空间的一个基底C． D．构成空间的一个基底11．已知公比为的正项等比数列的前项积为，则（）A． B．当时，C． D．当，且取得最小值时，只能等于612．已知为坐标原点，是椭圆的右焦点，与椭圆交于两点，分别为的中点，若，则椭圆的离心率可能为（）A． B． C． D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．双曲线的虚轴长为______．14．抛物线的准线方程为______．15．某阶梯大教室的座位数从第二排开始，每排的座位比前一排多3个，已知第一排有5个座位，且该阶梯大教室共有258个座位，则该阶梯大教室最后一排的座位数为______．16．已知，直线为上的动点．过点作的切线，切点分别为，当最小时，点的坐标为，直线的一般式方程为______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知圆的圆心在直线上，且圆与轴相切于点．（1）求圆的标准方程；（2）若直线与图相交于两点，求．18．（12分）在数列中，且成等比数列．（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和．19．（12分）已知点，动点满足，记点的轨迹为曲线．（1）求的方程；（2）若是上不同的两点，且直线的斜率为5，线段的中点为，证明：点在直线上．20．（12分）如图，在直四棱柱中，．（1）证明：．（2）若，四边形的面积为，求平面与平面夹角的余弦值．21．（12分）已知数列的前项和为，且为定值．（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和．22．（12分）已知点在抛物线上，点在第一象限，过点且与相切的直线与轴交于点，与轴交于点．（1）证明：是的中点．（2）过点作的垂线交于另一点，且，求的斜率．黔东南州2023－2024学年度第一学期期末检测高二年级数学参考答案1．D依题意可得该等比数列的公比为，所以该数列的第4项为．2．B因为，所以．3．C直线与平面所成角的正弦值等于．4．D因为，所以，则．同理可得，则．5．B因为，所以．又，所以的周长为．若，则．若，则．所以“”是“的周长大于12”的必要不充分条件．6．C，所以，故．7．C因为的准线方程为，所以，所以，当且仅当三点共线且在线段上时，等号成立，所以的最小值为．8．A双曲线的离心率．因为，所以当时，为有理数．又，所以满足条件的的最大值为959．9．BD因为，所以．10．ACD因为是空间的一个单位正交基底，所以均为单位向量且两两垂直，所以，A正确．，C正确．因为，所以不能构成空间的一个基底，B错误．因为不存在实数，使得，所以构成空间的一个基底，D正确．11．ABC，A正确．，C正确．当时，因为，所以，可得，B正确．当时，因为，所以，则的最小值为或，D错误．12．AD设为椭圆的左焦点，所以，则，由椭圆的对称性，得四边形为矩形，则，且两点不在轴上，则离心率，椭圆的离心率的取值范围为，故选AD．13．6因为，所以，所以该双曲线的虚轴长为6．14．因为，所以，所以抛物线的准线方程为．15．38该阶梯大教室的座位数按照从小到大的顺序依次成等差数列，且首项为5，公差为3，设该阶梯大教室共有排，则，整理得，因为，所以．所以该阶梯大教室最后一排的座位数为．16．的标准方程为，其圆心为，半径为2．因为，所以当最小时，最小，此时与直线垂直，所以直线的方程为，即．联立解得所以点的坐标为，．在Rt中，，同理．以为圆心，为半径作圆（图略），则线段为与的公共弦，的方程为，即，两圆方程相减得，即直线的一般式方程为．17．解：（1）设圆的方程为，则．因为圆与轴相切于点，所以，所以，故圆的标准方程为．（2）圆心到标准直线的距离为，则．18．解：（1）由，可知是以1为公差的等差数列．因为成等比数列，所以．所以，解得，所以．（2），则．19．（1）解：因为，所以根据双曲线的定义可知点的轨迹为以为焦点，实轴长为4的双曲线的右支，由，得，所以的方程为．（2）证明：设两点的坐标分别为，则两式相减并整理得，，设，依题意可得所以，即，所以，即，所以点在直线上．【注】第（1）问中的方程也可以写为，若的方程写为，扣1分．20．（1）证明：连接，设与相交于点，因为，所以，所以，又，所以，所以，又，所以，即．因为平面平面，所以，因为，所以平面，因为平面，所以，因为，所以．（2）解：以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系．由题可知，四边形的面积为，解得．所以易知为平面的一个法向量，设为平面的一个法向量，则取，得，则，所以，故平面与平面夹角的余弦值为．21．解：（1）因为，且为定值，所以，当时，，所以，即，即，所以是首项为1，公比为的等比数列，故．