初中数学九年级上册1 二次函数【省一等奖】

21.1二次函数1课堂讲解二次函数的定义、用二次函数表达式表示实际问题2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升要用长20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，设连墙的一边为x,矩形的面积为y,试写出y关与x的函数关系式.1知识点二次函数的定义问

题（一）

某水产养殖户用长40m的围网，在水库中围一块矩形的水面，投放鱼苗(如图)．要使围成的水面面积最大，则它的边长应是多少米？

这个问题首先要找出围成的矩形水面面积与其边长之间的关系．设围成的矩形水面的一边长为xm，那么，矩形水面的另一边长应为(20－x)m.若它的面积是Sm2，则有S＝x(20－x).这里x的取值有什么限制？问

题（二）

有一玩具厂，如果安排装配工15人，那么每人每天可装配玩具190个；如果增加人数，那么每增加1人，可使每人每天少装配玩具10个．问增加多少人才能使每天装配玩具总数最多？玩具总数最多是多少？设增加x人，这时，则共有(15＋x)个装配工，每人每天可少装配10x个玩具，因此，每人每天只装配(190－10x)个玩具．所以，增加人数后，每天装配玩具总数y可表示为y＝(190－10x)(15＋x)．归

纳

定义：一般地，表达式形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)的函数叫做x的二次函数；其中x是自变量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．【例1】下列函数中，哪些是二次函数？并指出二次函数的

二次项系数、一次项系数和常数项．

(1)y＝7x－1；(2)y＝－5x2；

(3)y＝3a3＋2a2；(4)y＝x－2＋x；

(5)y＝3(x－2)(x－5)；(6)导引：判断一个函数是否是二次函数，要紧扣定义并将其化简后再判断．(1)是一次函数；(2)是二次函数，二次项系数为－5，一次项系数和常数项都为0；(3)中自变量的最高次数是3，所以不是二次函数；(4)中x－2

不是整式，所以不是二次函数；把(5)整理得到y＝

3x2－21x＋30，是二次函数，二次项系数为3，一次项系数为－21，常数项为30；(6)中是分式，所以不是二次函数．解：(2)与(5)是二次函数．(2)y＝－5x2的二次项系数为－5，一次项系数和常数项都为0；(5)化为一般式，得到y＝3x2－21x＋30，所以y＝3(x－2)(x－5)的二次项系数为3，一次项系数为－21，常数项为30.

判断一个函数是否为二次函数，要看这个函数的表达式化简后是否同时满足二次函数定义中的三个条件：(1)函数的表达式为整式；(2)函数的表达式有唯一的自变量；(3)函数表达式自变量的最高次数为2，且二次项系数不等于0.总

结1设圆的半径为r，请填空：(1)这个圆的周长C＝______，它是r的_______函数；(2)这个圆的面积S＝______，它是r的_______函数．2在下列表达式中，哪些是二次函数？(1)正常情况下，一个人在运动时每分所能承受的最高心跳次数b与这个人的年龄a之间的关系可表示为b＝0.8(220－a)；(2)圆锥的高为h，它的体积V与底面半径r之间的关系可表示为(h为定值)；(3)物体自由下落时，下落高度h与下落时间t之间的关系可表示为(g为定值)；(4)导线的电阻为R，当导线中有电流通过时，单位时间所产生的热量Q与电流I之间的关系可表示为Q＝RI2(R为定值)．4对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是()A．y＝mx2＋3x－1B．y＝(m－1)x2C．y＝(m－1)2x2D．y＝(－m2－1)x23(2015·兰州)下列函数表达式中，一定为二次函数的是()A．y＝3x－1B．y＝ax2＋bx＋cC．s＝2t2－2t＋1D．【例2】已知函数是y关

于x的二次函数，求a，b的值．

导引：若是二次函数，则等号的右边应是关于x的二次多项式，故a－b＝0，2a＋b－3＝0，于是a，b可求．

解：由题意得解得

当二次函数的二次项系数含有待定字母时，求出字母的值必须满足二次项系数不为0这一条件．总

结1若函数

是y关于x的二次函数，求

k的值．2已知关于x的函数

.(1)当a取什么值时，它为二次函数？(2)当a取什么值时，它为一次函数？2知识点用二次函数表达式表示实际问题【例3】

填空：

(1)已知圆柱的高为14cm，则圆柱的体积

V(cm3)与底面半径r(cm)之间的函数表达式是_________________；

(2)已知正方形的边长为10，若边长减少x，则面积减少y，y与x之间的函数表达式是________________________．V＝14πr2(r＞0)

y＝－x2＋20x(0≤x≤10)

导引：(1)根据圆柱体积公式V＝πr2h求解．(2)有三种思路：如图，①减少的面积y＝S四边形AEMG＋

S四边形GMFD＋S四边形MHCF＝

x(10－x)＋x2＋x(10－x)＝－x2＋20x；②减少的面积

y＝S四边形AEFD＋S四边形GHCD－

S四边形GMFD＝10x＋10x－x2＝－x2＋20x；③减少的面积y＝S四边形ABCD－

S四边形EBHM＝102－(10－x)2＝－x2＋20x.(1)求几何问题中的二次函数表达式，除了根据有关的面积、体积公式写出二次函数表达式以外，还应考虑问题的实际意义，明确自变量的取值范围(在一些问题中，自变量的取值可能是整数或者是在一定的范围内)．总

结(2)如果不能通过已知条件直接写出函数表达式(直接法)，应适当考虑通过割补法，将问题转化为几个图形面积和差的问题(间接法)，再寻求解答；判断自变量的取值范围，应结合问题，考虑全面，不要漏掉一些约束条件，列不等式组是求自变量的取值范围的常见方法．(3)如果要作实际问题中的函数的图象，注意其图象应是在自变量取值范围内的部分图象．总

结下列函数关系中，不是二次函数的是()A．边长为x的正方形的面积y与边长x的函数关系B．一个直角三角形两条直角边长的和是6，则这个直角三角形的面积y与一条直角边长x的函数关系C．在边长为5的正方形内挖去一个边长为t的小正方形，剩余面积S与t的函数关系D．多边形的内角和m与边数n的函数关系1【例4】如图，已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10cm，AC与MN在同一直线上，开始时点A与点M重合，然后让△ABC向右移动，最后点A与点N重合．问题：

(1)试写出重叠部分的面积y(cm2)与线段MA的长度

x(cm)之间的函数表达式；

(2)当MA＝1cm时，重叠部分的面积是多少？导引：(1)根据图形及题意可得出重叠部分是等腰直角三角形，从而根据MA的长度可得出y与x之间的函数表达式；(2)将x＝1代入函数表达式可得出重叠部分的面积．解：(1)由题意知，开始时点A与点M重合，然后让△ABC向右移动，两图形重叠部分为等腰直角三角形，所以．(2)当MA＝1cm时，重叠部分的面积是cm2.总

结

此题主要考查的是求动态几何图形中面积的函数表达式，判断出重叠部分是等腰直角三角形是关键．在确定实际问题中的函数表达式时，通常根据题目中的等量关系列出恰当的函数表达式，并且要特别注意自变量的取值范围.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12mm，BC＝24mm，动点P从点A开始沿边AC向C以2mm/s的速度移动，动点Q从点C开始沿边CB向B以4mm/s的速度移动．(1)若P，Q两点同时出发，请写出△PCQ的面积S1关于运动时间t(s)的函数表达式及t的取值范围．(2)在(1)的条件下，请写出四边形APQB的面积S2关于运动时间t(s)的函数表达式．1.定义：一般地,形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数.2.y=ax²+bx+c(a,b,c是