工程数学-积分变换(第4版)

工程数学——积分变换(第4版)2023REPORTING积分变换基本概念与性质傅里叶级数与傅里叶变换拉普拉斯变换及其性质离散时间信号与系统分析积分变换在电路分析中应用数值计算方法在积分变换中应用目录CATALOGUE2023PART01积分变换基本概念与性质2023REPORTING积分变换定义及分类定义积分变换是通过积分运算，将一个函数转化为另一个函数的方法。分类根据变换核的不同，积分变换可分为傅里叶变换、拉普拉斯变换、梅林变换等。VS积分变换具有线性性质，即对于任意常数a、b和函数f(x)、g(x)，有∫[a*f(x)+b*g(x)]dx=a*∫f(x)dx+b*∫g(x)dx。叠加原理若f1(x)、f2(x)分别是输入函数，F1(u)、F2(u)是对应的输出函数，则f1(x)+f2(x)的输出函数为F1(u)+F2(u)。线性性质线性性质与叠加原理收敛性对于某些积分变换，如傅里叶变换和拉普拉斯变换，需要满足一定的收敛条件才能保证变换的存在性和有效性。例如，傅里叶变换要求函数在无穷远处趋于零或具有有限个间断点。存在性条件不同的积分变换有不同的存在性条件。例如，拉普拉斯变换要求函数在实轴上的增长速度不能超过指数函数e^st(s为实数)的增长速度。收敛性与存在性条件常见函数空间及其性质在积分变换中，常见的函数空间包括连续函数空间、平方可积函数空间、绝对可积函数空间等。函数空间不同的函数空间具有不同的性质。例如，平方可积函数空间中的函数具有有限的能量；绝对可积函数空间中的函数可以进行傅里叶变换等。这些性质对于理解和应用积分变换具有重要意义。性质PART02傅里叶级数与傅里叶变换2023REPORTING三角函数系的正交性三角函数系在一定区间内具有正交性，即不同频率的三角函数在该区间内的积分为零。这一性质使得傅里叶级数展开成为可能。傅里叶系数求解利用三角函数系的正交性，可以通过求解函数与三角函数系的积分来得到傅里叶系数。这些系数决定了周期函数在傅里叶级数展开中的各项振幅和相位。收敛性与吉布斯现象傅里叶级数展开的收敛性取决于原函数的性质。对于某些函数，傅里叶级数在间断点附近会出现振荡现象，称为吉布斯现象。周期函数傅里叶级数展开非周期函数的傅里叶变换公式包括傅里叶正变换和傅里叶反变换。正变换将时域函数转换为频域函数，而反变换则将频域函数转换回时域函数。通过傅里叶变换，可以分析非周期函数的频域特性，如频谱、带宽等。这些特性在信号处理和通信等领域具有重要意义。非周期函数傅里叶变换公式频域特性傅里叶变换对123傅里叶变换是线性的，即多个函数的线性组合进行傅里叶变换等于各函数分别进行傅里叶变换后的线性组合。线性性质函数在时域中的平移对应于其频域中的相移。这一性质使得我们可以通过调整信号的相位来改变其在时域中的位置。时移性质函数在频域中的平移对应于其时域中的调制。这一性质在通信中用于实现信号的频率搬移。频移性质傅里叶变换基本性质卷积定理指出，两个时域函数的卷积等于它们频域函数的乘积，反之亦然。这一定理在信号处理和图像处理等领域具有广泛应用。卷积定理卷积定理在信号滤波、图像模糊处理等方面有重要应用。例如，在图像处理中，可以通过对图像和滤波器进行卷积来实现图像的平滑或锐化效果。应用举例卷积定理及应用举例PART03拉普拉斯变换及其性质2023REPORTING拉普拉斯变换定义$F(s)=int_{0}^{infty}f(t)e^{-st}dt$，其中$s$为复数，$f(t)$为原函数。收敛域确定拉普拉斯变换的收敛域是使得积分收敛的所有$s$的集合。通常可以通过分析原函数的性质，如增长性、周期性等，来确定收敛域。拉普拉斯变换定义及收敛域确定位移性质若$f(t)$的拉普拉斯变换为$F(s)$，则$e^{at}f(t)$的拉普拉斯变换为$F(s-a)$。线性性质若$a$和$b$为常数，$f_1(t)$和$f_2(t)$的拉普拉斯变换分别为$F_1(s)$和$F_2(s)$，则$af_1(t)+bf_2(t)$的拉普拉斯变换为$aF_1(s)+bF_2(s)$。微分性质若$f(t)$的拉普拉斯变换为$F(s)$，则$f'(t)$的拉普拉斯变换为$sF(s)-f(0^-)$。积分性质若$f(t)$的拉普拉斯变换为$F(s)$，则$int_{0}^{t}f(tau)dtau$的拉普拉斯变换为$frac{F(s)}{s}$。拉普拉斯变换基本性质查表法通过查阅已知的拉普拉斯变换对表，找到对应的原函数。部分分式法将拉普拉斯变换的表达式化为部分分式的形式，然后分别求出每个部分分式对应的原函数。幂级数法将拉普拉斯变换的表达式展开为幂级数形式，然后通过逐项积分求出原函数。拉普拉斯逆变换求解方法如$y'+y=f(t)$，通过拉普拉斯变换可转化为代数方程求解。如$y''+y=f(t)$，同样可以通过拉普拉斯变换转化为代数方程求解。在求解过程中，需要注意初始条件的处理和方程的简化。一阶常微分方程二阶常微分方程线性常微分方程求解举例PART04离散时间信号与系统分析2023REPORTING用时间序列表示离散时间信号，即$x[n]$，其中$n$为整数。序列表示法图形表示法频域表示法通过绘制信号的波形图或时域图来表示离散时间信号。通过傅里叶变换将信号从时域转换到频域，用频谱表示信号。030201离散时间信号表示方法描述离散时间系统输入输出关系的数学方程，一般为线性常系数差分方程。差分方程描述系统特性的函数，通常表示为$H(z)$，是$z$变换的结果。系统函数用状态变量和状态方程来描述系统的动态行为。状态空间表示法离散时间系统描述方式对于离散时间信号$x[n]$，其Z变换定义为$X(z)=sum_{n=-infty}^{infty}x[n]z^{-n}$，其中$z$为复数变量。Z变换定义Z变换的收敛域是使得级数$sum_{n=-infty}^{infty}|x[n]z^{-n}|$收敛的所有$z$的集合。常用的判断方法有比值法、根式法和积分法。收敛域判断Z变换定义及收敛域判断线性性质若$x_1[n]$和$x_2[n]$的Z变换分别为$X_1(z)$和$X_2(z)$，则$ax_1[n]+bx_2[n]$的Z变换为$aX_1(z)+bX_2(z)$。若$x[n]$的Z变换为$X(z)$，则$x[n-k]$的Z变换为$z^{-k}X(z)$。若$x[n]$的Z变换为$X(z)$，则$x[n]e^{jomegan}$的Z变换为$X(ze^{jomega})$。若$x_1[n]$和$x_2[n]$的Z变换分别为$X_1(z)$和$X_2(z)$，则它们的卷积$y[n]=sum_{k=-infty}^{infty}x_1[k]x_2[n-k]$的Z变换为$Y(z)=X_1(z)X_2(z)$。通过Z变换可以求出离散时间信号的初值和终值。初值定理指出，当$n=0$时，$x[0]=lim_{ztoinfty}X(z)$；终值定理指出，当$ntoinfty$时，若$lim_{ntoinfty}x[n]$存在且有限，则$lim_{ntoinfty}x[n]=lim_{zto1}(z-1)X(z)$。时移性质卷积性质初值定理和终值定理频移性质Z变换基本性质和定理PART05积分变换在电路分析中应用2023REPORTING阻抗函数的定义与性质阻抗函数是描述电路元件对电流阻碍作用的函数，具有实部和虚部，其实部表示电阻，虚部表示电抗。阻抗函数与频率相关，反映了电路元件在不同频率下的阻抗特性。阻抗函数的求解方法根据电路元件的伏安特性，可以建立阻抗函数的数学模型。对于线性时不变电路元件，其阻抗函数可以通过拉普拉斯变换或傅里叶变换求解。具体方法包括部分分式展开、留数定理等。电路元件阻抗函数求解一阶动态电路的特点一阶动态电路是指包含一个储能元件（如电感或电容）和一个电阻的电路。其暂态过程是指电路从一种稳态过渡到另一种稳态的过程。要点一要点二一阶动态电路暂态过程分析方法对于一阶动态电路，可以采用经典法或拉普拉斯变换法进行分析。经典法通过列写电路方程并求解得到暂态过程的解析解；拉普拉斯变换法则是将电路方程转换为复频域方程，通过求解复频域方程得到暂态过程的象函数，再通过反变换得到原时域的解析解。一阶动态电路暂态过程分析二阶动态电路的特点二阶动态电路是指包含两个储能元件（如两个电感或两个电容）和一个电阻的电路。其暂态过程比一阶动态电路更为复杂，具有振荡和衰减等特性。二阶动态电路暂态过程分析方法对于二阶动态电路，同样可以采用经典法或拉普拉斯变换法进行分析。经典法需要列写二阶常系数线性微分方程并求解；拉普拉斯变换法则是将微分方程转换为复频域方程进行求解。在求解过程中，需要注意二阶电路的固有频率、阻尼比等参数对暂态过程的影响。二阶动态电路暂态过程分析高阶动态电路的特点高阶动态电路是指包含三个或三个以上储能元件的电路。其暂态过程更为复杂，具有多个振荡频率和衰减时间常数等特性。高阶动态电路暂态过程分析方法对于高阶动态电路，由于其复杂性，一般采用数值计算方法进行分析，如龙格-库塔法、欧拉法等。这些方法通过迭代计算逐步逼近真实解，可以得到较为准确的结果。同时，也可以采用近似方法进行简化分析，如主导极点法、帕德近似法等。这些方法可以在一定程度上降低计算复杂度，但需要注意其适用范围和精度要求。高阶动态电路暂态过程分析PART06数值计算方法在积分变换中应用2023REPORTING将积分区间划分为若干小区间，每个小区间上的函数值用矩形面积近似表示。矩形法将积分区间划分为若干小区间，每个小区间上的函数值用梯形面积近似表示。梯形法在梯形法的基础上，采用抛物线对函数进行插值，得到更精确的近似值。辛普森法数值积分方法简介利用傅里叶变换的对称性和周期性，将原序列分解为多个子序列，分别进行傅里叶变换，再合并结果。算法原理将原序列按奇偶性分解为两个子序列，对子序列进行傅里叶变换，利用旋转因子合并结果。实现步骤降低了计算复杂度，提高了计算效率。优点010203快速傅里叶变换算法原理及实现定义将时间域