巢湖市五三教育辅导学校高中数学总复习测试题及答案6

巢湖后五三教育辅导学校高中数学总复习测试题及答案(6)

第一章集合

第一节集合的含义、表示及基本关系

A组

1.已知A={1,2},B={x|xGA},则集合A与B的关系为.

2.若。{x|x2Wa,aGR},则实数a的取值范围是.

3.已知集合人={由=*2—2xT,xGR},集合B={x|-2%<8},则集合A与B的关

系是.

4.已知全集U=R,则正确表示集合乂={-1,0,1}和N={x|x2+x=0}关系的韦恩(Venn)

图是.

5.已知集合人=正伏&郎5},集合B={x|x>a},若命题“xGA”是命题“xCB”的

充分不必要条件，则实数a的取值范围是.

6.(原创题)已知mGA,n£B,且集合A={x|x=2a,aEZ},B={x|x=2a+1,aGZ},

又C={x|x=4a+1,aGZ},判断m+n属于哪一个集合？

B组

ababl.设a,b都是非零实数，y=可能取的值组成的集合是.|a||b||ab|

2.已知集合人={-1,3,2m-1},集合B={3,m2}.若BUA,则实数m=.

3.设P,Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q={a+b|aGP,beQ},若P={0,2,5},

Q=(1,2,6},则P+Q中元素的个数是个.

4.已知集合乂=a仅2=1},集合N={x|ax=l},若NM,那么a的值是.

5.满足{1}AU{1,2,3}的集合A的个数是个.

lblcl6.已知集合A={x|x=a+,aGZ},B={x|x=,b』Z},C={x|x=,62326

cGZ},则A、B、C之间的关系是.

7.集合A={x||x区4,xGR},B={x|x<a},则“AUB”是“a>5”的.

n8.设集合乂={111|111=2,nGN,且m<500},则M中所有元素的和为.

9.设A是整数集的一个非空子集，对于kGA,如果k—16A,且k+侔A,那么称k是A

的一个“孤立元”.给定$={1,2,3,4,5,6,7,8},由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立

元”的集合共有个.

10.已知A={x,xy,Ig(xy)},B={0,|x|,y}>KA=B,试求x,y的值.

-1-

11.已知集合A={x|x2-3x-10W0},

(1)若BUA,B={x|m+l<x<2m-l},求实数m的取值范围;

(2)若AUB,B={x|m—6<x<2m-1),求实数m的取值范围;

(3)^A=B,B={x|m-6<x<2m-1),求实数m的取值范围.

12.已知集合A={x|x2—3x+2«0},B={x|x2—(a+l)x+a<0}.

(1)若A是B的真子集，求a的取值范围；

(2)若B是A的子集，求a的取值范围；

(3)若人=8,求a的取值范围.

第二节集合的基本运算

A组

1.设—R,A={x|x>O},B={x|x>l},贝i」AD[UB=.

2.设集合A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集U=AUB,则集合【U(ACB)中的元素共有

个.

3.已知集合乂={0,1,2},N={x|x=2a,aSM),则集合MCN=.

4.设A,B是非空集合，定义A@B={x|xGAUB且x住ACB},已知A={x|0£S2},B=

{y|y>0},则A(§)B=.

5.某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都

不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为.

6.(2010年浙江嘉兴质检)已知集合A={x|x>l},集合B={x|mWxWm+3}.

(1)当m=-l时，求ACIB,AUB；

(2)若BUA,求m的取值范围.

-2-

B组

1.若集合M={xGR|-3<x<l},N={x£Z|-l<x<2},则MDN=.

2.己知全集U={-l,0,l,2},集合A={T,2},B={0,2},则(CUA)CB=.

3.(2010年济南市高三模拟)若全集U=R,集合M={x|-2WxW2},N={x|x2—3x4)},则

Mn([UN)=.

4.集合A={3,log2a},B={a,b},若AAB={2},则AUB=.

5.已知全集U=AUB中有m个元素,((UA)U([UB)中有n个元素.若AHB非空，则ACIB

的元素个数为.

6.设U={n|n是小于9的正整数},A={nCU|n是奇数},B={ndU|n是3的倍数}，则

1U(AUB)=.

x7.定义A®B={z|z=xy+xWA,yGB}.设集合A={0,2},B={1,2},C={1},y

则集合(A®B)®C的所有元素之和为.

8.若集合{(x,y)|x+y-2=0且x-2y+4=0}{(x,y)|y=3x+b},贝ijb=.

29.设全集I={2,3,a+2a—3},A={2,|a+l|},[IA=⑸,M={x|x=log2|a|},

则集合M的所有子集是.

10.设集合A={x|x2—3x+2=0},B={x|x2+2(a+l)x+(a2—5)=0}.

⑴若ACB={2},求实数a的值；

(2)若AUB=A,求实数a的取值范围.

11.已知函数f(x)=—1的定义域为集合A,函数g(x)=lg(—x2+2x+m)x+l

的定义域为集合B.

(1)当m=3时，求Afl([RB)；

(2)若ACB={x|-l<x<4},求实数m的值.

12.已知集合A={xGR|ax2-3x+2=0}.

(1)若A=。，求实数a的取值范围；

(2)若A是单元素集，求a的值及集合A；

(3)求集合M={aCR|A3}.

-3-

第二章函数

第一节对函数的进一步认识

A组

一x—3x+41.(2009年高考江西卷改编)函数y=的定义域为.x

2-x-3x+4>0,解析：=>x6[-4,0)U(0,l]x川，

答案：[-4,0)U(0,l]

2.(2010年绍兴第一次质检)如图，函数f(x)的图象是曲线

段OAB,其中点O,A,B的坐标分别为(0,0),(1,2),(3,1),

1则f()的值等于.氏3)

1解析：由图象知f(3)=l,f(=f(l)=2.答案：2f(3)

x3,xWl,3.(2009年高考北京卷)已知函数f(x)=若f(x)=2,贝ijx=.-

X,x>1.

解析：依题意得烂1时,3x=2,；.x=log32；

当x>l时，-x=2,x=—2(舍去).故x=log32.答案：log32

4.(2010年黄冈市高三质检)函数f：{1,2}—{1,2}满

足flf(x)]>l的这样的函数个数有个.

解析：如图.答案：1

5.(原创题)由等式x3+alx2+a2x+a3=(x+l)3+bl(x+1)2+

b2(x+l)+b3定义一个映射f(al,a2,a3)=(bl,b2,b3),则

f(2,l，T)=.

解析：山题意知x3+2x2+x—1=(x+l)3+bl(x+l)2+b2(x+l)+b3,令x=—1得:—1

=b3；

-I=l+bl+b2+b3再令x=0与x=l得,3=8+4bl+2b2+b3

解得bl=-1,b2=0.

答案：(一1,0,-1)

11+(x>l),xl6.已知函数f(x)=2(l)求通一，2)]}的值；x+1(-1<X<1),2

-1

2x+3(x<-l).

3(2)求f(3x-l)；⑶若f(a)=,求a.2

解：f(x)为分段函数，应分段求解.l(l)..T-=l—2+l)=-2<—l,；.f(—2)=-22

+3,-1

-4-

13又If(-2)=—1,皿-2)]=f(—1)=2,.,.f{f[f(-2)]}=l+=22

213x(2)^3x—1>1,即x>,f(3x—1)=1+33x—13x—1

3若一1W3X-1W1,即0Wxf(3x-l)=(3x—l)2+l=9x2-6x+2；2

若3x-l<-1,即x<O,f(3x-l)=2(3x-l)+3=6x+1.

2/.f(3x_1)=9x—6x+2(0<x<),36x+1(x<0).23x2(x>),33x—1

3(3)：f(a)=,3a>l或一lWaW1.2

13当a>l时,有l+=,，a=2；a2

32当一iWaWl时，a2+l=,/.a=.22

2；.a=2或2

B组

11.(2010年广东江门质检)函数y=+lg(2x-l)的定义域是.3x-2

22解析：由3x—2>0,2x—l>0,得x>答案：{x|x>}33

-2x+l,(x<-l),2.(2010年山东枣庄模拟)函数f(x)=-3,(-l<x<2),

2x-1,(x>2),3则f(f(f)+5))=_.2

33解析：V-l<<2,.•.f)+5=-3+5=2,V-l<2<2,.*.f(2)=-3,22

；.f(—3)=(—2户(-3)+1=7.答案：7

3.定义在区间(-1,1)上的函数f(x)满足2f(x)—氏一x)=lg(x+l),则f(x)的解析式为

解析：•.•对任意的xG(—1,1),有一xd(—1,1),

由2f(x)—f(—x)=lg(x+l),①

由2f(—x)_f(x)=lg(—x+1),②

①x2+②消去f(一x),得3f(x)=21g(x+l)+lg(—x+l),21.,.f(x)=lg(x+l)+lg(l-x),(-

l<x<l).33

21答案：f(x)=lg(x+1)4■一x),(-l<x<l)33

4.设函数y=f(x)满足f(x+l)=出x)+l,则函数y=f(x)与y=x图象交点的个数可能是

________个.

-5-

解析：由f(x+l)=f(x)+l可得f(l)=f(0)+l,f(2)=[0)+2,f(3)=f(0)+3,,,本题中如果

f(0)=0,那么y=f(x)和y=x有无数个交点；若f(O)M，则y=fi[x)和y=x有零个交点.答

案：0或无数

2(x>0)5.设函数f(x)=2,若f(-4)=f(0),f(—2)=—2,则f(x)x+bx+c

(x<0)

的解析式为f(X)=,关于X的方程f(x)=x的解的个数为个.

解析：由题意得

16-4b+c=c4-2b+c=-2

b=4

c=2

2(x>0).\f(x)=2.x+4x+2(x<0)

由数形结合得f(x)=x的解的个数有3个.

2(x>0)答案：23x+4x+2(x<0)

6.设函数f(x)=logax(a>0,a#l),函数g(x)=—x2+bx+c,若f(2H—f(2

l+l)g(x)的图象过点A(4,—5)及B(-2,-5),则2=,函数f[g(x)]2

的定义域为.

答案：2(-1,3)

x2-4x+6,x>07.(2009年高考天津卷改编)设函数f(x)=,则不等式f(x)>f(l)x

+6,x<0

的解集是.

解析：由已知，函数先增后减再增，当xK),f(x)>f(l)=3时，令*x)=3,解得x=l,

x=3.故f(x)>f⑴的解集为0Wx&1t;l或x>3.

当x<0,x+6=3时,x=-3,故f(x)>f(l)=3,解得一3<x<0或x>3.

综上,f(x)>f(l)的解集为{x|-3<x<l或x>3}.答案：{x|—3<x<l或x>3}

8.(2009年高考山东卷)定义在R上的函数f(x)满足f(x)=log2(4-x),x<0,则

f(3)的值为.f(x-l)-f(x-2),x>0,

解析:Vf(3)=f(2)-f(l),又f(2)=f(l)-f(0),.-.f(3)=-f(0),Vf(0)=log24

-6-

=2,・,・K3)=—2.答案：一2

9.有一个有进水管和出水管的容器，每单位时间进水量是一定的，设从某时刻开始，5

分钟-7-

-a)—2+l=3(l

a-16—2=1—aA=[3(l—a)]—24(1—a)>0221—a2<0,

11.已知Rx+2)=f(x)(x£R),并且当x£[—1,1]时，f(x)=-x2+l,求当xe[2k-1,2k

+l](kGZ)时、f(x)的解析式.

解：由f(x+2)=戈x),可推知f(x)是以2为周期的周期函数.当xG[2k-l,2k+l]时，2k

—l<x<2k+1,—l<x—2k<l,/.f(x—2k)=—(x—2k)2+1.

又f(x)=f(x—2)=f(x—4)=,,=出x—2k),

.,.f(x)=-(x-2k)2+l,xG[2k-l,2k+l],k£Z.

12.在2008年11月4日珠海航展上，中国自主研制的ARJ21支线客机备受关注，接到

了包括美国在a=2,/.a=±2.5a<-11a>1a<-1或a>1,.,.a=2.

(2)*x)=1000216-x(87<x<216,xGN).*2000(0<xW86,x6N*).3x(3)分另U为86、

130或87、129.

第二节函数的单调性

A组

1.(2009年高考福建卷改编)下列函数f(x)中，满足“对任意xl,x2S(0,4-00),当xl<x2

时，都有f(xl)>f(x2)”的是.

1①出x)=②出x)=(x-l)2③f(x)=ex®f(x)=ln(x+l)x

解析：：对任意的xl,x2G(0,+oo),当xl<x2

时,都有f(xl)>f(x2),，f(x)在(0,+oo)上为减函数.答

案：①

2.函数f(x)(xWR)的图象如右图所示,则函数g(x)

=[logax)(0<a<1)的单调减区间是.

-8-

1解析：V0<a<l,y=logax为减函数，...logaxW[0时，g(x)为减函数.2

1山OWlogaxWaWxWl.答案：[,1](或a,1))23.函数yx—415—3x的值域是.

兀兀解析：令x=4+sin2a,aG[0],y=sina+3cosa=2sin(a+,/.l<y<2.23

答案：[1,2]

a4.已知函数f(x)=|ex+|(aeR)在区间[0,1]上单调递增，则实数a的取值范围eaa解

析：当a<O,且ex+岂。时,只需满足e0+0即可,则一10a<O；当eeaaa=0时，f(x)=

|ex|=ex符合题意；当a>O时，f(x)=ex+f(x)—exee>0在xG[0,1]上恒成立.只需满足

a0(e2x)min成立即可,故把1,综上一

答案：一iWaWl

5.(原创题汝I果对于函数f(x淀义域1(x>O)的下确界为一0(x=0)

-1(x<-l)是有下确界的

函数.答案：①③④

6.已知函数f(x)=x2,g(x)=x—1.

(1)若存在XGR使f(x)<bg(x),求实数b的取值范围;

(2)设F(x)=f(x)—mg(x)+l—m—m2,且|F(x)|在［0,1］上单调递增,求实数m的取值范围.

解：(l)xGR,f(x)<bg(x)xGR,x2—bx+b<0A=(—b)2—4b>0b<0或

b>4.(2)F(x)=x2—mx+1—m2.A=m2—4(1—m2)=5m2—4,

252①当A<0即一mW55

-9-

255-<m55

ml,则xl<0.2m02-5<m<0.5255②当A>0即m<一或m时,设方程F(x)=0的根

为xl,x2(xl<x2),若55

m2>1m>2.2F(0)=l—mWO

m若WO,贝I］x2<0,2

m2<05—iWm<一综上所述：—l<m<0fiEm>2.52F(0)=l—m>0

B组

1.(2010年山东东营模拟)下列函数中，单调增区间是(一8,0］的是.

1①y=-®y=—(x—1)③y=x2—2@y=—冈x

解析：由函数y=—|x|的图象可知其增区间为(-8,0］.答案：④

2.若函数出x)=log2(x2—ax+3a)在区间［2,+s)上是增函数，则实数a的取值范围是

解析：令g(x)=x2-ax+3a,由题知g(x)在[2,+s)上是增函数，且g(2)>0.

a22,；•一4<a*.答案：—4<a<44—2a+3a>0>

a33.若函数f(x)=x+a>O^(,+s)上是单调增函数，则实数a的取值范围x4a39

解析：•.,f(x)=x+(a>O)在(a,+oo)上为增函数，...aW，0<a<x416

9答案：(0,16

4.(2009年高考陕西卷改编)定义在R上的偶函数f(x),对任意xl,x2G[0,+

f(x2)—f(x1)a))(x1#：x2),有<0,则下列结论正确的是.x2—xl

-10-

@f(3)<f(-2)<f(l)②fU)<f(-2)<f(3)

③N-2)<f(l)<f(3)@f(3)<f(l)<f(-2)

f(x2)-f(xl)解析：<0,得f(x)在x£［0,+oo)上单调递减，由偶函数性x2—xl

质得f(2)=f(-2),即f(3)<f(-2)<f(l).答案：①

xa(x<O),5.(2010年陕西西安模拟)已知函数f(x)=满足对任意(a—3)x+

4a(x>0)

f(x)—f(x)x1#：x2成立，则a的取值范围是.xl—x2

0<a<l,1解析：由题意知，f(x)为减函数，所以a-3<0,解得0<a40a>(a

—3)x0+4a,

6.(2010年宁夏石嘴山模拟)函数f(x)的图象是如下图

所示的折线段OAB,点A的坐标为(1,2),点B的坐标

为(3,0),定义函数g(x)=f(x>(x-l),则函数g(x)的最

大值为.

2x(x—1)(0<x<l),解析：g(x)=(—x+3)(x—1)(l<x<3),

当OWx<l时，最大值为0；当1WXV3时，

在x=2取得最大值1.答案：1

7.(2010年安徽合肥模拟)己知定义域在[-1,1]上的函数y=f(x)的值域为则函数y

=仅)的值域是.

解析：函数y=f(x)的值域为[-2,0],，y=f(cosx)的值域为答案：

[-2,0]

8.已知f(x)=log3x+2,x£[l,9],则函数y=[f(x)]2+f(x2)的最大值是.

解析：•.,函数y=[f(x)]2+f(x2)的定义域为

l<x<9,，xe[l,3],令log3x=t,t€[0,l],2l<x<9,

...y=(t+2)2+2t+2=(t+3)2—3,.,.当t=l时，ymax=13.答案：13

19.若函数f(x)=loga(2x2+x)(a>0,a#l)在区间(0,)内恒有氏x)>0,则f(x)的单2

调递增区间为.

1解析：令fi=2x2+x,当xW(0时,|1G(O,1),而此时f(x)>0恒成立，.'.0<a<l,2

-11-

lll|i=2(x+2—,则减区间为(一8).而必然有2x2+x>0,即x>0或x<484

111一.，f(x)的单调递增区间为(一00.答案:(-co,-)222

1110.试讨论函数y=2(logx)2—21ogx+1的单调性.22

1解：易知函数的定义域为(0,+oo).如果令u=g(x)=logx,y=f(u)=2u22

1—2u+l,那么原函数y=f[g(x)]是由g(x)与f(u)复合而成的复合函数，而u=log2

lllx在xG(0,+oo)内是减函数,y=2u2-2u+l=2(u2在uG(-oo)上是222

111121减函数，在uWoo)上是增函数.又u£即三得xNu>,222222

得0<x<2.由此，从卜表讨论复合函数y=f[g(x)]的单调性：

2

1122故函数y=x)2—21ogx+l在区间(0,上单调递减，在区间(8)2222

上单调递增.

xlll.(2010年广西河池模拟)已知定义在区间(0,+oo)上的函数f(x)满足f(=f(xl)x2

一f(x2),且当x>l时，f(x)<O.

⑴求f(l)的值；(2)判断f(x)的单调性；(3)若43)=-1,解不等式f(1x|)<-2.解：⑴令

xl=x2>0,代入得f(l)=f(xl)-f(xl)=O,故[1)=0.

xl(2)任取xl,x2G(0,4-oo),且xl>x2,则>l,由于当x>l时，f(x)<0,x2

x所以f)<0,即f(xl)-f(x2)<0,因此式xl)<f(x2),x2

所以函数f(x)在区间(0,+oo)上是单调递减函数.

-12-

x9(3)由a=Rxl)-f(x2)得f)=R9)—f(3),而93)=7,所以f(9)=-2.x23

由于函数f(x)在区间(0,+功上是单调递减函数，

由f(|x|)<f(9),得|x|>9,；.x>9或x<-9.因此不等式的解集为{x|x>9或x<

19}.

x2+ax+bl2.已知：f(x)=log3,xC(0,+oo),是否存在实数a,b,使f(x)同时x

满足下列三个条件：(1)在(0,1］上是减函数，(2)在口，+oo)上是增函数，(3)f(x)的最小值是

1.若存在，求出a、b；若不存在，说明理由.

解：：f(x)在(0,1］上是减函数，［1,+8)上是增函数，；.x=l时，f(x)最小，k)g31+a+bl.

即a+b=2.1

xl2+axl+bx22+ax2+b设0Vxl<x2Wl,则f(xl)>f(x2).即〉恒成立.xlx2

(xl-x2)(xlx2—b)由此得0恒成立.xlx2

又「xl—xavo,xlx2>0,；.xlx2—b<0恒成立，

(x3—x4)(x3x4—b)设Igx3<x4,则4x3)<f(x4)恒成立.VO恒成立.x3x4

Vx3—x4<0,x3x4>0,；.x3x4>b恒成立.，bWl.由bNl且bWl可知b=l,；.a=L.,.存

在a、b,使f(x)同时满足三个条件.

第三节函数的性质

A组

1.设偶函数f(x)=loga|x-b|在(一8,0)上单调递增，则f(a+l)与f(b+2)的大小关系为

解析：由f(x)为偶函数，知b=0,.,.出x)=loga|x|,又f(x)在(一8,0)上单调递增,所以

0<a<；U<a+l<2,则f(x)在(0,+s)上单调递减,所以f(a+l)>f(b+2).答案：

f(a+l)>f{b+2)

2.(2010年广东三校模拟)定义在R上的函数f(x)既是奇函数又是以2为周期的周期函数,

则fU)+f(4)+f(7)等于.

解析：f(x)为奇函数，且xGR,所以f(0)=0,由周期为2可知，f(4)=0,f(7)=f(l),又由

f(x+2)=f(x),令x=-l得f(l)=f(—l)=一f(l)=qi)=O,所以f(l)+f(4)+f(7)=0.答案：0

3.(2009年高考山东卷改编)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间

［0,2］上是增函数，则f(—25)、f(ll),f(80)的大小关系为.

解析：因为f(x)满足f(x-4)=-f(x),所以f(x-8)=f(x),所以函数是以8为周期的周期函

数，则我一25)=£(—1),f(80)=f(0),f(ll)=f(3),又因为f(x)在R上是奇函数,f(0)=0,得

f(80)=f(0)=0,f(-25)=f(-l)=-f(l),而由［x_4)=_f(x)得

-4)=f(l),又因为f(x)在区间［0,2］上是增函数，所以f(l)>f(O)=O,所以一即

f(-25)<f(80)<f(ll).

答案：f(-25)<f(80)<f(ll)

-13-

4.(2009年高考辽宁卷改编)已知偶函数f(x)在区间［0,+oo)上单调增加，则满

1足f(2x-l)<f()的x取值范围是.3

1解析:由于f(x)是偶函数，故f(x)=R|x|),由f(|2x—l|)<f(,再根据f(x)的单3

11212调性得|2x-l|<<x<.答案:()33333

5.(原创题)已知定义在R上的函数f(x)是偶函数，对xdR,f(2+x)=f(2—x),当f(—3)

=一2时，f(2011)的值为.

解析：因为定义在R上的函数f(x)是偶函数，所以f(2+x)=f(2—x)=f(x—2),故函数f(x)

是以4为周期的函数，所以f(2011)=fr3+502x4)=fi［3)=f(-3)=-

2.答案：一2

6.己知函数y=f(x)是定义在R上的周期函数，周期T=5,函数y=f(x)(—1/xWl)是奇函

数，又知y=f(x)在［0,1］上是一次函数，在［1,4］上是二次函数，且在x=2时函数取得最小值

-5⑴证明:f(l)+f(4)=0；(2)求y=f(x),xc口,4］的解析式；

(3)求丫=4*)在［4,9］上的解析式.

解：(1)证明：：f(x)是以5为周期的周期函数，，f(4)=f(4-5)=氏-1),又：y=f(x)(一

1SXS1)是奇函数，.-.f(l)=-fi(-l)=-f(4),.,.f(l)+f(4)=0.

(2)当xG［l,4］时,由题意可设f(x)=a(x—2)2-5(a>0),由f(l)+f(4)=0,得a(l—2)2—5

+a(4—2)2—5=0,；.a=2,/.f(x)=2(x-2)2-5(l<x<4).

(3)：y=f(x)(-lWxWl)是奇函数，，外尸。，又知y=f(x)在［0,1］上是一次函

2数,二可设f(x)=kx(0^x^D，而41)=2(1—2)—5=—3,.*.k=—3,.,.当gxSl

时,f(x)=-3x,从而当一10x<O时,f(x)=—f(—x)=-3x,故一1二x0l时,f(x)=-3x.

•••当4sxs6时，有一IWx—SWl,.,.f(x)=f(x-5)=-3(x-5)=-3x+

15.当6<x<9时，l<x-5<4,/.f(x)=f(x-5)=2［(x-5)-2］2-5=2(x-7)2-5.

一3x+15,4<x<6；.f(x)=.22(x-7)-5,6<x<9

B组

1.(2009年高考全国卷I改编)函数f(x)的定义域为R,若f(x+l)与f(x—1)都是奇函数，

则下列结论正确的是.

①f(x)是偶函数②f(x)是奇函数③f(x)=f(x+2)

④f(x+3)是奇函数

解析：；f(x+l)与f(x—l)都是奇函数，；.f(—x+l)=—f(x+l),f(—x—1)=—f(x—1),

函数出x)关于点(1,0),及点(-1,0)对称，函数f(x)是周期丁=2［1-(一

1)］=4的周期函数.(一x—l+4)=-f(x—1+4),f(一x+3)=-f(x+3),即f(x+3)是奇

函数.答案：④

32.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)=—f(x+),且［-2)=f(-l)=—1,f(0)2

=2,f(l)+f(2)+„+f(2009)+f(2010)=.

3解析:f(x)=-f(x+=f(x+3)=f(x),即周期为3,由4-2)=f(-1)=-1,2

f(0)=2,所以f(l)=-l,f(2)=-l,43)=2,所以f(1)+f(2)+„+f(2009)+f(2010)=f(2008)

+f(2009)+f(2010)=f(l)+f(2)+f(3)=0.答案：0

-14-

3.(2010年浙江台州模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且［1)=1,若将f(x)的图象

向右平移一个单位后，得到一个偶函数的图象，贝IJf(l)+fT2)+f(3)+,,+f(2010)=.

解析：f(x)是定义在R上的奇函数，所以R-x)=-f(x),将f(x)的图象向右平移一个单位

后，得到一个偶函数的图象，则满足出-2+x)=—f(x),即Rx+2)=-f(x),所以周期为4,

f(l)=l,f(2)=f(0)=0,f(3)=-f(l)=-1,f(4)=0,所以f(l)+f(2)+f(3)+f(4)=0,则f(l)

+f(2)+f(3)+,,+f(2010)=f(4)x502+f(2)=0.答案：0

4.(2010年湖南郴州质检)已知函数f(x)是R上的偶函数,且在(0,+8)上有f(x)>0,

若出—1)=0,那么关于x的不等式xf(x)<0的解集是.

解析:在(0,+8)上有P(x)>0,则在(0,+8)上f(x)是增函数，在(一8,0)上是减函数,

又f(x)在R上是偶函数，且[—1)=0,，f(l)=0.从而可知xG(—8,—1)时，f(x)>0；x

G(T,0)时,f(x)<0；XW(O,1)时，f(x)<0：Xe(l,+8)时,f(x)>0....不等式的解集为

(-00,-1)U(0,1)答案:(-00,-1)U(O,1).

5.(2009年高考江西卷改编)已知函数f(x)是(-8,+oo)上的偶函数，若对于这0,都有f(x

+2)=f(x),且当xG[0,2)时，，f(x)=log2(x+l),则fi[-2009)+f(2010)的值为.

解析：：f(x)是偶函数，；.f(一2009)=f(2009).：f(x)在x>0时f(x+2)=f(x),；.f(x)周期

为2.f(—2009)+f(2010)=f(2009)+f(2010)=f(l)+f(0)=log22+log21=0+1=1.答案：1

6.(2010年江苏苏州模拟)已知函数f(x)是偶函数，并且对于定义域内任意的X,

1满足f(x+2)=-2<x<3时，f(x)=x,贝IJf(2009.5)=.f(x)

1解析：由f(x+2)=一可得f(x+4)=f(x),f(2009.5)=f(502x4+1.5)=f(1.5)f(x)

55=f'(—2.5)；f(x)是偶函数，/.f(2009.5)=f(2.5)22

7.(2010年安徽黄山质检)定义在R上的函数出x)在(-8,a]上是增函数，函数y=f(x+a)

是偶函数，当xl<a,x2>a,且|xl-a|<|x2—a|时，则f(2a-xl)与f(x2)的大小关系为

解析：；y=f(x+a)为偶函数，.,.y=f(x+a)的图象关于y轴对称，，y=f(x)的图象关于x

=a对称.又在(一co,a］上是增函数，，f(x)在［a,+s)上是减函数.当xl<a,x2>a,

且|xl-a|<|x2—a|时,有a—xl<x2—a,HPa<2a—xl<x2,f(2a—x1)>fi［x2).答

案：f(2a—xl)>f(x2)

8.已知函数f(x)为R上的奇函数,当x>0时，氏x)=x(x+1).若f(a)=-2,则实数a=.

解析：当走0时，f(x)=x(x+l)>0,由f(x)为奇函数知x<0时,f(x)<0,；.a<0,

f(—a)=2,—a(—a+1)=2,；.a=2(舍)或a=-1.答案：—1

9.(2009年高考山东卷)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x—4)=—f(x),且在区间［0,2］

上是增函数.若方程f(x)=m(m>0)在区间［-8,8］上有四个不同的根xl,x2,x3,x4,则xl

+x2+x3+x4=.

解析：因为定义在R上的奇函数，满足f(x-4)=-*x),所以f(4—x)=f(x),因此，函数

图象关于直线x=2对称且f(0)=0.由f(x-4)=一«x)知f(x—8)=f(x),所以函数是以8为周

期的周期函数.又因为f(x)在区间［0,2］上是增函数，所以f(x)在区间［-2,0］上也是增函数，

如图所示，那么方程的0=01(01>0)在区间［-8,8］

-15-

上有四个不同的根xl,x2,x3,x4,不妨设xl<x2<x3Vx4.由对称性知xl+x2=-12,

x3+x4=4,所以xl+x2+x3+x4=-12+4=-8.答案：

-8

10.已知f(x)是R上的奇函数，且当xG(-oo,0)时，f(x)=—xlg(2—x)>求f(x)

的解析式.

解：：f(x)是奇函数，可得f(o)=-f(0),.('(。尸。.当x>O时，-x<；o,由已知出一x)

=xlg(2+x),—f(x)=xlg(2+x),即f(x)=—xlg(2+x)(x>O).

—xlg(2—x)(x<O),f(x)=即f(x)=—xlg(2+|x|)(xeR).—xlg(2+x)(x>0).

11.已知函数f(x),当x,y』R时,恒有fi[x+y)=f(x)+f(y).(1)求证：f(x)是奇

1+函数：(2)如果xGR,f(x)<O,并且f(l)=一,试求f(x)在区间[-2,6]上的最值.2

解：(1)证明：•••函数定义域为R,其定义域关于原点对称.

•.•f(x+y)=f(x)+Ry),令y=-x,，f(O)=f(x)+f(-x).令x=y=O,；.f(O)=f(O)+f(O),

得出O)=O.；.f(x)+f(—x)=0,得f(一x)=-f(x),，f(x)为奇函数.

+(2)法--：设x,yGR,f(x+y)—f(x)+f(y),f(x+y)—f(x)=f(y).

++x£R,f(x)<O,f(x+y)—f(x)<O,f(x+y)<f(x).Vx+y>x,，f(x)在(0,

+8)上是减函数.又,.,Rx)为奇函数，f(0)=0,...qx)在(-00,+oo)上是减函

1数.，f(一2)为最大值，f(6)为最小值・•.•fU)=-，f(—2)=-f(2)=-2fU)=2

1,f(6)=2f(3)=2[fU)+f(2)]=-3....所求f(x)在区间[-2,6]上的最大值为1,最小值为一

3.

法二：设xl<x2,且xl,x2GR.则f(x2-xl)=f[x2+(-xl)]=f(x2)+f(-xl)=f(x2)-

f(xl).Vx2-xl>0,.*.f(x2-xl)<0.，f(x2)-f(xl)<0.即f(x)在R上单调递减.，f(一

12)为最大值,f(6)为最小值.•.•f(l)=一，；.f(—2)=-f(2)=-2f(l)=l,f(6)=2f(3)2

=2[f(l)+f(2)]=-3..•.所求f(x)在区间[-2,6]上的最大值为1,最小值为-3.

12.已知函数f(x)的定义域为R,且满足f(x+2)=-f(x).

(1)求证：f(x)是周期函数；

11(2)若f(x)为奇函数，且当OWxWl时，f(x)x,求使的)=一[0,2010]上22

的所有x的个数.

解：(1)证明：Vf(x+2)=-f(x),.•.f(x+4)=—f(x+2)=—[-f(x)]=f(x),；.f(x)是以4

为周期的周期函数.

1⑵当0<x<l时，f(x)=x,2

11设一10xWO,贝UOM-xWl,.,.出一*)=(一*)=一*.：氏*)是奇函数，/.f(-22

lllx)=—f(x)»f(x)=-x,即[x)=.故f(x)=(—iWxgl)222

-16-

1又设l<x<3,则一/.f(x-2)(x-2),2

1又：f(x_2)=_f(2_x)=_fK_x)+2]=_[_f(_x)]=_f(x),A-f(x)=(x2

lx(-l<x<l)21-2),Af(x)=-(x-2)(l<x<3)./.f(x)=21-(x-2)(l<x<3)2

11由f(x)解得x=-l.：f(x)是以4为周期的周期函数.故f(x)=一的所22

13有x=4n—l(ndZ).令0W4n-l，2010,则勺£502,又；nGZ,44

1/.l<n<502(nEZ),...在[0,2010]上共有502个x使f(x)=-.2

第三章指数函数和对数函数

第一节指数函数

A组

--1.(2010年黑龙江哈尔滨模拟)若a>l,b<O,且ab+ab=2,则ab—ab的值

等于.

-----解析：Va>l,b<O,/,0<ab<l,ab>l.又：(ab+ab)2=a2b+a2b+2=8,

’.a2b

-------------Fa2b=6,，(ab—ab)2=a2b+a2b—2=4,/.ab一ab=-2.答案：一2

2.已知f(x)=ax+b的图象如图所示，则f(3)=.

解析:由图象知f(0)=l+b=-2,，b=-3.又f(2)

=a2—3=0,；.a=3,则f(3)=3)3-3=3-3.

答案:3-3

-23.函数y=(2xx的值域是.2

解析：•.,2x-x2=-(x-l)2+l<l,

l—211；.(2xx二答案：)222

4.(2009年高考山东卷)若函数f(x)=ax—x—a(a>O,且arl)有两个零点,则实数a的取

值范围是.

解析：函数f(x)的零点的个数就是函数丫=2*与函数y=x+a交点的个数，由函数的图象

可知a>l时两函数图象有两个交点，0<a<l时两函数图象有惟一交点，故a>l.答

案：(1,+oo

-17-

5.(原创题)若函数f(x)=ax-l(a>0,a#l)的定义域和值域都是[0,2],则实数a等于

0<a<la>l20解析：由题意知a—1=0无解或a-l=0=a3.答案：3

a0—1=2a2—1=2

—2x+b6.已知定义域为R的函数f(x)=(l)求a,b的值；2+a

(2)若对任意的twR,不等式f(t2—2t)+f(2t2—k)<O恒成立，求k的取值范围.

-1+b解：(1)因为f(x)是R上的奇函数，所以40)=0,即=0,解得b=1.2+a

11x2-2+1-2+1从而有f(x)=+又由f(l)=一f(-l)知，解得a=2.2+a4+al+a

_2x++l(2)法一:由(1)知氏x),22+12+2

由上式易知f(x)在R上为减函数，又因f(x)是奇函数，从而不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0

of(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(-2t2+k).

因f(x)是R上的减函数，由上式推得t2-2t>-2t2+k.

1即对一切tGR有3t2-2t-k>0,从而A=4+12k<0,解得k<-.3

—2x+1—2t—2t+1—22tk+l法二:由(1)知f(x)=+,又由题设条件得t2t+l—F<O2

+22--l-222tkl+2

即Q2t2-k+122-+2)(-2t2-2t+l)+(2t2-2t+1+2)(-22t2-k+l)<0

整理得23t2-2t-k>l,因底数2>l,故3t2-2t-k>0

1上式对一切tGR均成立，从而判别式△=4+12k<0,解得k<—.3

B组

xl.如果函数f(x)=a+b—l(a>O且存1)的图象经过第一、二、四象限，不经过

第三象限，那么…定有.

00<a<l且b>O(2)0<a<l且0<b<l③a>l且b<O④a>l且

b>O

解析：当0<a<l时，把指数函数f(x)=ax的图象向下平移，观察可知一l<b-l<O,

即0<b<L答窠:②

-2.(2010年保定模拟)若f(x)=-x2+2ax与g(x)=(a+l)lx在区间［1,2］上都是减

函数，则a的取值范围是.

解析：f(x)=-x2+2ax=—(x—a)2+a2,所以f(x)在［a,+oo)上为减函数，

a<l又f(x),g(x)都在［1,2］上为减函数，所以需=0<aWL答案：(0,1］a+l>l

3.已知f(x),g(x)都是定义在R上的函数，且满足以下条件①f(x)=ax-g(x)(a>0,

f(l也一l)5a彳l)；②g(x)#)+a等于•g(l)g(-l)2

f(x)f(l)氏一1)55一解析：由f(x)=ax-g(x)=ax,所以+=a+al,解得ag(x)g(l)g(—1)22

-18-

11=2或答案：2或22

-4.(2010年北京朝阳模拟)已知函数f(x)=ax(a>0且#1),其反函数为fl(x).若

一lf(2)=9,则fl()+f(l)的值是.3

1解析:因为f(2)=a2=9,且a>0,；.a=3,则f(x)=3x=,/.x=—1,3

一1一1故fl(=-1.又f(l)=3,所以fl()+f(l)=2.答案：233

15.(2010年山东青岛质检)已知f(x)=()x,若f(x)的图象关于直线x=l对称的图3

象对应的函数为g(x),则g(x)的表达式为.

解析：设y=g(x)上任意一点P(x,y),P(x,y)关于x=