概率和频率教材

§1.2概率和频率

(ProbabilityandFrequency)

研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小，也就是事件的概率.事件的概率概率是随机事件发生可能性大小的度量

事件发生的可能性越大，概率就越大！

事件发生的可能性最大是百分之百，此时概率为1.0≤P(A)≤1我们用P(A)表示事件A发生的概率，则

事件发生的可能性最小是零，此时概率为0.可是，如何度量或者说如何计算一个事件发生的概率大小呢？一、频率(Frequency)

定义

1.2.1:设E为任一随机试验，A为其中任一事件，在相同条件下，把E独立的重复做n次，nA表示事件A在这n次试验中出现的次数(称为频数)。比值称为事件A在这n次试验中出现的频率(Frequency).频率的性质事件

A、B互斥，则可推广到有限个两两互斥事件的和事件．即非负性规范性可加性稳定性某一定数

n=4040，nH

=2048，F(H)=0.5069

n=12000，nH=6019，F(H)=0.5016n=24000，nH=12012，F(H)=0.5005频率稳定性的实例

蒲丰(Buffon

)投币

皮尔森(Pearson)投币投一枚硬币观察正面向上的次数．

例1.2.1

DeweyG.统计了约438023个英语单词中各字母出现的频率，发现各字母出现的频率不同：A:0.0788B:0.0156C:0.0268D:0.0389E:0.1268F:0.0256G:0.0187H:0.0573I:0.0707J:0.0010K:0.0060L:0.0394M:0.0244N:0.0706O:0.0776P:0.0186Q:0.0009R:0.0594S:0.0634T:0.0987U:0.0280V:0.0102W:0.0214X:0.0016Y:0.0202Z:0.0006二、概率的统计定义

(Thestatisticdefinitionofprobability)

定义1.2.2设有随机试验，若当试验的次数充分大时，事件的发生频率稳定在某数附近摆动，则称数为事件的概率(Probability)，记为：注：1事件出现的概率是事件的一种属性。也就是说完全决定于事件本身的结果，是先于试验客观存在的。

2概率的统计定义只是描述性的。

3通常只能在充分大时，以事件出现的频率作为事件概率的近似值。三、概率的性质

(Thepropertyofprobability)

B-AAΩB(6)有限可加性：若AiAj=Φ(i≠j),则基本计数原理四、

这里我们先简要复习一下计算古典概率所要用到的1.加法原理设完成一件事有m种方式，第一种方式有n1种方法，第二种方式有n2种方法,…；

第m种方式有nm种方法,无论通过哪种方法都可以完成这件事，则完成这件事总共有n1+n2+…+nm

种方法.例如，某人要从甲地到乙地去,甲地乙地可以乘火车,也可以乘轮船.火车有两班轮船有三班乘坐不同班次的火车和轮船，共有几种方法?3

+2

种方法回答是基本计数原理则完成这件事共有种不同的方法.2.乘法原理设完成一件事有m个步骤，第一个步骤有n1种方法，第二个步骤有n2种方法,…；

第m个步骤有nm种方法,必须通过每一步骤,才算完成这件事，例如，若一个男人有三顶帽子和两件背心，问他可以有多少种打扮？可以有种打扮排列、组合的几个简单公式排列和组合的区别：顺序不同是不同的排列3把不同的钥匙的6种排列而组合不管顺序从3个元素取出2个的排列总数有6种从3个元素取出2个的组合总数有3种1、排列:从n个不同元素取k个（1kn)的不同排列总数为：k=n时称全排列排列、组合的几个简单公式ABDC例如：n=4,k=3第1次选取第2次选取第3次选取BDCBCDBDC……从n个不同元素取k个（允许重复）（1kn)的不同排列总数为：例如：从装有4张卡片的盒中有放回地摸取3张3241n=4,k=3123第1张4123第2张4123第3张4共有4.4.4=43种可能取法2、组合:从n个不同元素取

k个（1kn)的不同组合总数为：常记作，称为组合系数。组合系数又常称为二项式系数，因为它出现在下面的二项式展开的公式中：3、组合系数与二项式展开的关系令a=-1,b=1利用该公式，可得到许多有用的组合公式：令a=b=1,得由有比较两边

xk

的系数，可得

运用二项式展开4、n个不同元素分为k组，各组元素数目分别为r1,r2,…,rk的分法总数为r1个元素r2个元素rk个元素…n个元素因为23479108615

例如，一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球.将球编号为1－10.把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球.先来看下面这个例子。

因为抽取时这些球是完全平等的，我们没有理由认为10个球中的某一个会比另一个更容易取得.也就是说，10个球中的任一个被取出的机会是相等的，均为1/10.1324567891010个球中的任一个被取出的机会都是1/1023479108615§1.3古典概型

(ClassicalProbability)一、古典概型（等可能概型）“概型”是指某种概率模型。“古典概型”是一种最简单、最直观的概率模型。如果做某个随机试验时，只有有限个事件可能发生，且事件满足下面三条：

1发生的可能性相等(等可能性)；

2在任意一次试验中至少有一个发生(完备性)；

3在任意一次试验中至多有一个发生(互不相容).

具有上述特性的概型称为古典概型。

古典概型中概率的计算：记

则（1.3.1）事实上，对上述的古典概型，它的样本空间由概率的有限可加性知：由等可能性若则有利场合数例1.2.2

在中不重复地任取4个数，求它们能排成首位非零的四位偶数的概率．解

设

A为“能排成首位非零的四位偶数”

四位偶数的末位为偶数，故有种可能，而前三位数有种取法，由于首位为零的四位数有种取法，所以有利于A发生的取法共有种．基本事件总数例1.2.3

（分房模型）设有

k

个不同的球,每个球等可能地落入

N

个盒子中（）,设每个盒子容球数无限,求下列事件的概率：

(1)某指定的

k

个盒子中各有一球；

(2)某指定的一个盒子恰有

m

个球(

)

(3)某指定的一个盒子没有球；

(4)恰有

k

个盒子中各有一球；

(5)至少有两个球在同一盒子中；

(6)每个盒子至多有一个球．解设

(1)~(6)的各事件分别为则例1.2.4“分房模型”的应用

数科院三年级有

n

个人，求至少有两人生日相同（设为事件A

）的概率．解

本问题中的人可被视为“球”，365天为365只“盒子”．

为

n

个人的生日均不相同，这相当于每个盒子至多有一个球．由例1.2.3(6)n102023304050P(A)0.120.410.510.710.890.97

例1.2.5袋中有a

只白球，b

只红球，从袋中按不放回与放回两种方式取m个球（)，求其中恰有

k

个（）白球的概率．解(1)不放回情形E：球编号，任取一球，记下颜色，放在一边，重复

m

次．记事件

A

为m个球中有k个白球，则又解E1：球编号，一次取

m

个球，记下颜色．记事件

A

为m个球中有k个白球，则

不放回地逐次取

m个球，与一次任取

m个球算得的结果相同．因此称超几何分布．(2)放回情形

E2：球编号，任取一球，记下颜色，放回去，重复

m

次．记

B

为取出的

m个球中有

k个白球，则称二项分布例1.2.6（彩票问题）一种福利彩票称为幸福35选7，即从01，02，03，…，35个号码中不重复地开出7个基本号码和一个特殊号码。中各等奖的规则如下，试求各等奖的中奖概率。中奖级别中奖规则一等奖7个基本号码全中二等奖中6个基本号码及特殊号码三等奖中6个基本号码四等奖中5个基本号码及特殊号码五等奖中5个基本号码六等奖中4个基本号码及特殊号码七等奖中4个基本号码解：因为不重复地选号码是一种不放回抽样，所以样本空间Ω含有样本点的个数是要中奖应把抽取看成是在三种类型中抽取：第一类号码：7个基本号码；第二类号码：1个特殊号码；第三类号码：27个无用号码。记pi

为中第i等奖的概率（i=1,2,…,7），则可得各等奖的中奖概率如下：若记A为事件“中奖”，则为事件“不中奖”，且可得P（中奖）=P（不中奖）=例1.2.7甲乙二人掷均匀硬币，其中甲掷n+1次，乙掷n次，求“甲掷出正面的次数大于乙掷出正面的次数”这一事件的概率。解：令甲正=甲掷出的正面次数甲反=甲掷出的反面次数乙正=乙掷出的正面次数乙反=乙掷出的反面次数于是所求事件的概率为P（甲正>乙正）另一方面显然有Ω－（甲正>乙正）=（甲正≤乙正）=（甲反>乙反）因为硬币是均匀的，由对称性知P（甲正>乙正）=P（甲反>乙反）由此即得P（甲正>乙正）=

例1.2.8某人的表停了，他打开收音机听电台报时，已知电台是整点报时的，问他等待报时的时间短于十分钟的概率．9点10点10分钟几何概型（等可能概型的推广）（Geometricprobability

）几何概型

设样本空间为有限区域

,若样本点落入

内任何区域

G

中的概率与区域G

的测度成正比,则样本点落入G内的概率为：测度长度面积体积其他度量单位

例1.2.9两船欲停靠同一个码头，设两船到达码头的时间各不相干，而且到达码头的时间在一昼夜内是等可能的．如果两船到达码头后需在码头停留的时间分别是1小时与2小时，试求在一昼夜内，任一船到达时，需要等待空出码头的概率.

解设船1到达码头的瞬时为

x，船2到达码头的瞬时为

y

，

设事件

A

表示任一船到达码头时需要等待空出码头．xy2424y=xy=x+1y=x-2例1.2.10蒲丰（Buffon）投针问题。平面上画有等距离的平行线，平行线间的距离为a(a>0)，向平面任意投掷一枚长为l(l<a)的针，试求针与平行线相交的概率。解：以x

表示针的中点与最近一条平行线间的距离，又以φ表示针与此直线间的交角（见图1.1）xlφa易知有φoΩ图1—1图1—2由上两式可以确定x－φ平面上的一个矩形Ω，这时为了针与平行线相交，其充要条件是(见图1-2).由等可能性知，如果l,a

为已知，则以π值代入上式即可计算得P(A)之值。反过来，如果已知P(A)的值，正如前面所提到的，可以用频率去近似它。如果投针N

次，其中针与平行线相交n

次，则频率为，于是历史上有一些学者曾亲自做过这个试验。下表记录了他们的试验结果（把a折算为单位长）试验者年份投掷次数相交次数π的近似值针长Wolf1850500025323.15960.8Smith185632041218.53.15540.6DeMorgan1860600382.53.1371.0Fox188410304893.15950.75Lazzerini1901340818083.14159290.83Reina192525208593.17950.5419表1—1

这是一个颇为奇妙的方法：只要设计一个随机试验，使一个事件的概率与某一未知数有关，然后通过重复试验，以频率近似概率，即可求得未知数的近似解。人们称这种计算方法为随机模拟法，也称蒙特—卡洛（Monte-Carlo）法。例1.2.11在一个圆上任取三点A、B、C,求能构成锐角三角形的概率.ABC解：在一个圆上任取三点A、B、C，构成的三角形内角分别为设的取值为x,的取值为y,它们构成本试验的样本空间S.0<x<0<y<有ABC0<x<π/20<y<π/2x+y>π/2由几何概率计算得所求概率为能构成锐角的(x,y)所应满足的条件是：S如右图中红色部分1/4即S={(x,y):,}0<x<0<y<例1.2.12贝特朗（Bertrand）悖论在半径为r

的圆C

内任意做