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文档简介
§1.2概率和频率
(ProbabilityandFrequency)
研究随机现象,不仅关心试验中会出现哪些事件,更重要的是想知道事件出现的可能性大小,也就是事件的概率.事件的概率概率是随机事件发生可能性大小的度量
事件发生的可能性越大,概率就越大!
事件发生的可能性最大是百分之百,此时概率为1.0≤P(A)≤1我们用P(A)表示事件A发生的概率,则
事件发生的可能性最小是零,此时概率为0.可是,如何度量或者说如何计算一个事件发生的概率大小呢?一、频率(Frequency)
定义
1.2.1:设E为任一随机试验,A为其中任一事件,在相同条件下,把E独立的重复做n次,nA表示事件A在这n次试验中出现的次数(称为频数)。比值称为事件A在这n次试验中出现的频率(Frequency).频率的性质事件
A、B互斥,则可推广到有限个两两互斥事件的和事件.即非负性规范性可加性稳定性某一定数
n=4040,nH
=2048,F(H)=0.5069
n=12000,nH=6019,F(H)=0.5016n=24000,nH=12012,F(H)=0.5005频率稳定性的实例
蒲丰(Buffon
)投币
皮尔森(Pearson)投币投一枚硬币观察正面向上的次数.
例1.2.1
DeweyG.统计了约438023个英语单词中各字母出现的频率,发现各字母出现的频率不同:A:0.0788B:0.0156C:0.0268D:0.0389E:0.1268F:0.0256G:0.0187H:0.0573I:0.0707J:0.0010K:0.0060L:0.0394M:0.0244N:0.0706O:0.0776P:0.0186Q:0.0009R:0.0594S:0.0634T:0.0987U:0.0280V:0.0102W:0.0214X:0.0016Y:0.0202Z:0.0006二、概率的统计定义
(Thestatisticdefinitionofprobability)
定义1.2.2设有随机试验,若当试验的次数充分大时,事件的发生频率稳定在某数附近摆动,则称数为事件的概率(Probability),记为:注:1事件出现的概率是事件的一种属性。也就是说完全决定于事件本身的结果,是先于试验客观存在的。
2概率的统计定义只是描述性的。
3通常只能在充分大时,以事件出现的频率作为事件概率的近似值。三、概率的性质
(Thepropertyofprobability)
B-AAΩB(6)有限可加性:若AiAj=Φ(i≠j),则基本计数原理四、
这里我们先简要复习一下计算古典概率所要用到的1.加法原理设完成一件事有m种方式,第一种方式有n1种方法,第二种方式有n2种方法,…;
第m种方式有nm种方法,无论通过哪种方法都可以完成这件事,则完成这件事总共有n1+n2+…+nm
种方法.例如,某人要从甲地到乙地去,甲地乙地可以乘火车,也可以乘轮船.火车有两班轮船有三班乘坐不同班次的火车和轮船,共有几种方法?3
+2
种方法回答是基本计数原理则完成这件事共有种不同的方法.2.乘法原理设完成一件事有m个步骤,第一个步骤有n1种方法,第二个步骤有n2种方法,…;
第m个步骤有nm种方法,必须通过每一步骤,才算完成这件事,例如,若一个男人有三顶帽子和两件背心,问他可以有多少种打扮?可以有种打扮排列、组合的几个简单公式排列和组合的区别:顺序不同是不同的排列3把不同的钥匙的6种排列而组合不管顺序从3个元素取出2个的排列总数有6种从3个元素取出2个的组合总数有3种1、排列:从n个不同元素取k个(1kn)的不同排列总数为:k=n时称全排列排列、组合的几个简单公式ABDC例如:n=4,k=3第1次选取第2次选取第3次选取BDCBCDBDC……从n个不同元素取k个(允许重复)(1kn)的不同排列总数为:例如:从装有4张卡片的盒中有放回地摸取3张3241n=4,k=3123第1张4123第2张4123第3张4共有4.4.4=43种可能取法2、组合:从n个不同元素取
k个(1kn)的不同组合总数为:常记作,称为组合系数。组合系数又常称为二项式系数,因为它出现在下面的二项式展开的公式中:3、组合系数与二项式展开的关系令a=-1,b=1利用该公式,可得到许多有用的组合公式:令a=b=1,得由有比较两边
xk
的系数,可得
运用二项式展开4、n个不同元素分为k组,各组元素数目分别为r1,r2,…,rk的分法总数为r1个元素r2个元素rk个元素…n个元素因为23479108615
例如,一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球.将球编号为1-10.把球搅匀,蒙上眼睛,从中任取一球.先来看下面这个例子。
因为抽取时这些球是完全平等的,我们没有理由认为10个球中的某一个会比另一个更容易取得.也就是说,10个球中的任一个被取出的机会是相等的,均为1/10.1324567891010个球中的任一个被取出的机会都是1/1023479108615§1.3古典概型
(ClassicalProbability)一、古典概型(等可能概型)“概型”是指某种概率模型。“古典概型”是一种最简单、最直观的概率模型。如果做某个随机试验时,只有有限个事件可能发生,且事件满足下面三条:
1发生的可能性相等(等可能性);
2在任意一次试验中至少有一个发生(完备性);
3在任意一次试验中至多有一个发生(互不相容).
具有上述特性的概型称为古典概型。
古典概型中概率的计算:记
则(1.3.1)事实上,对上述的古典概型,它的样本空间由概率的有限可加性知:由等可能性若则有利场合数例1.2.2
在中不重复地任取4个数,求它们能排成首位非零的四位偶数的概率.解
设
A为“能排成首位非零的四位偶数”
四位偶数的末位为偶数,故有种可能,而前三位数有种取法,由于首位为零的四位数有种取法,所以有利于A发生的取法共有种.基本事件总数例1.2.3
(分房模型)设有
k
个不同的球,每个球等可能地落入
N
个盒子中(),设每个盒子容球数无限,求下列事件的概率:
(1)某指定的
k
个盒子中各有一球;
(2)某指定的一个盒子恰有
m
个球(
)
(3)某指定的一个盒子没有球;
(4)恰有
k
个盒子中各有一球;
(5)至少有两个球在同一盒子中;
(6)每个盒子至多有一个球.解设
(1)~(6)的各事件分别为则例1.2.4“分房模型”的应用
数科院三年级有
n
个人,求至少有两人生日相同(设为事件A
)的概率.解
本问题中的人可被视为“球”,365天为365只“盒子”.
为
n
个人的生日均不相同,这相当于每个盒子至多有一个球.由例1.2.3(6)n102023304050P(A)0.120.410.510.710.890.97
例1.2.5袋中有a
只白球,b
只红球,从袋中按不放回与放回两种方式取m个球(),求其中恰有
k
个()白球的概率.解(1)不放回情形E:球编号,任取一球,记下颜色,放在一边,重复
m
次.记事件
A
为m个球中有k个白球,则又解E1:球编号,一次取
m
个球,记下颜色.记事件
A
为m个球中有k个白球,则
不放回地逐次取
m个球,与一次任取
m个球算得的结果相同.因此称超几何分布.(2)放回情形
E2:球编号,任取一球,记下颜色,放回去,重复
m
次.记
B
为取出的
m个球中有
k个白球,则称二项分布例1.2.6(彩票问题)一种福利彩票称为幸福35选7,即从01,02,03,…,35个号码中不重复地开出7个基本号码和一个特殊号码。中各等奖的规则如下,试求各等奖的中奖概率。中奖级别中奖规则一等奖7个基本号码全中二等奖中6个基本号码及特殊号码三等奖中6个基本号码四等奖中5个基本号码及特殊号码五等奖中5个基本号码六等奖中4个基本号码及特殊号码七等奖中4个基本号码解:因为不重复地选号码是一种不放回抽样,所以样本空间Ω含有样本点的个数是要中奖应把抽取看成是在三种类型中抽取:第一类号码:7个基本号码;第二类号码:1个特殊号码;第三类号码:27个无用号码。记pi
为中第i等奖的概率(i=1,2,…,7),则可得各等奖的中奖概率如下:若记A为事件“中奖”,则为事件“不中奖”,且可得P(中奖)=P(不中奖)=例1.2.7甲乙二人掷均匀硬币,其中甲掷n+1次,乙掷n次,求“甲掷出正面的次数大于乙掷出正面的次数”这一事件的概率。解:令甲正=甲掷出的正面次数甲反=甲掷出的反面次数乙正=乙掷出的正面次数乙反=乙掷出的反面次数于是所求事件的概率为P(甲正>乙正)另一方面显然有Ω-(甲正>乙正)=(甲正≤乙正)=(甲反>乙反)因为硬币是均匀的,由对称性知P(甲正>乙正)=P(甲反>乙反)由此即得P(甲正>乙正)=
例1.2.8某人的表停了,他打开收音机听电台报时,已知电台是整点报时的,问他等待报时的时间短于十分钟的概率.9点10点10分钟几何概型(等可能概型的推广)(Geometricprobability
)几何概型
设样本空间为有限区域
,若样本点落入
内任何区域
G
中的概率与区域G
的测度成正比,则样本点落入G内的概率为:测度长度面积体积其他度量单位
例1.2.9两船欲停靠同一个码头,设两船到达码头的时间各不相干,而且到达码头的时间在一昼夜内是等可能的.如果两船到达码头后需在码头停留的时间分别是1小时与2小时,试求在一昼夜内,任一船到达时,需要等待空出码头的概率.
解设船1到达码头的瞬时为
x,船2到达码头的瞬时为
y
,
设事件
A
表示任一船到达码头时需要等待空出码头.xy2424y=xy=x+1y=x-2例1.2.10蒲丰(Buffon)投针问题。平面上画有等距离的平行线,平行线间的距离为a(a>0),向平面任意投掷一枚长为l(l<a)的针,试求针与平行线相交的概率。解:以x
表示针的中点与最近一条平行线间的距离,又以φ表示针与此直线间的交角(见图1.1)xlφa易知有φoΩ图1—1图1—2由上两式可以确定x-φ平面上的一个矩形Ω,这时为了针与平行线相交,其充要条件是(见图1-2).由等可能性知,如果l,a
为已知,则以π值代入上式即可计算得P(A)之值。反过来,如果已知P(A)的值,正如前面所提到的,可以用频率去近似它。如果投针N
次,其中针与平行线相交n
次,则频率为,于是历史上有一些学者曾亲自做过这个试验。下表记录了他们的试验结果(把a折算为单位长)试验者年份投掷次数相交次数π的近似值针长Wolf1850500025323.15960.8Smith185632041218.53.15540.6DeMorgan1860600382.53.1371.0Fox188410304893.15950.75Lazzerini1901340818083.14159290.83Reina192525208593.17950.5419表1—1
这是一个颇为奇妙的方法:只要设计一个随机试验,使一个事件的概率与某一未知数有关,然后通过重复试验,以频率近似概率,即可求得未知数的近似解。人们称这种计算方法为随机模拟法,也称蒙特—卡洛(Monte-Carlo)法。例1.2.11在一个圆上任取三点A、B、C,求能构成锐角三角形的概率.ABC解:在一个圆上任取三点A、B、C,构成的三角形内角分别为设的取值为x,的取值为y,它们构成本试验的样本空间S.0<x<0<y<有ABC0<x<π/20<y<π/2x+y>π/2由几何概率计算得所求概率为能构成锐角的(x,y)所应满足的条件是:S如右图中红色部分1/4即S={(x,y):,}0<x<0<y<例1.2.12贝特朗(Bertrand)悖论在半径为r
的圆C
内任意做
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