高数课后习题难点9

第九章

1(1)如果二重积分JJ/(x,y)dxdy的被积函数f(x,y)是两个函数£(x)及£(y)的

D

乘积，即f(x,y)=f|(x).方(y),积分区域止｛(x,y)a&Wb,c<y<d\,证明这个

二重积分等于两个单积分的乘积，即

JJ/i(xyf2(y)dxdy=[(x)Jx]-[/f2(y)dy]

D

证明加⑴/⑴公功=力(x)/(y)dy=[if/(DAGMUx，

D--

而ff\(x)-f2(y)dy=力(x)ff2(y)dy,

故JJ/i(x)/(y)dxdy=f[力。)f以乎心妙.

D

由于fASHy的值是一常数，因而可提到积分号的外面，于是得

fiWxdy=\/力(%)知｛(fiWy]

D

(2)如果三重积分JJJ/(x,y,z)dxdydz的被积函数fix,y,z)是三个函数fI(x)、

Q

£(y)、£(z)的乘积，即f(x,y,z)=£(x)-£(y)-£(z),积分区域Q={(x,y,

z)|a<x<b,c<y<d,l<z<ni\,证明这个三重积分等于三个单积分的乘积，即

JJ\f\(x)f2(y)f3(z)dxdydz=j*(x)dx/f2(y)dyf3(z)dz.

Q-

证明JJJ/,(x%")人(z)dxdydz=£[，(『j](x)f2(y)f3(z)dz')dy]dx

Q"

=(/GV2G')『&z)dz)dy]dx=，[(力(幻『力⑵dz)(，/2(y)dy)Mx

(hpnetlnncdfb

=f[(J-⑵㈤(1.⑺助力⑴如=(f.(z)dz)(f.(y)dy)p；(x)Jx

=17i(x)"xf/2(y)dy『人(zMz.

2化二重积分/=jjf(x,y)da为二次积分(分别列出对两个变量先后次序不同的两

D

个二次积分)，其中积分区域〃是：

环形闭区域{(X,y)I1</+/<4}.

解

用直线x=_l和X=1可将积分区域〃分成四部分，分别记做几2,hZ于是

/=JJ7(x，)')db+JJ/(x,y)dcr+J，(x,y)dcr+JJ/(x,y)dcr

D

。2034

=I；dx焙/(x，y)力+£件瞎1f(x,y)dy

+卜［£/a，y)d)'+fdxf^/(x,y)dy

3.利用二重积分的定义证明：

(1)\\da=(y(其中。为〃的面积)；

D

证明由二重积分的定义可知，

J/(羽y)dor=bmt/©，〃)△5

D1

其中A3表示第i个小闭区域的面积.

此处f(x,y)=l,因而f(。，力=1,所以，

IL/cr=limVACT,=\ima=a.

JJ25)J1270

DI

(2)y)da=ky)da(其中左为常数);

DD

证明JW(x,y)db=Jjj;t妙&，如八。尸处小才/信⑺八%

D/=!i=\

=A!5t避)45=ky)dCF.

，'=1D

⑶JJf(%,y)dcr=jjy(x,y)db+J=(%,y)dcr,

DD,D2

其中止〃〃、〃为两个无公共内点的闭区域.

证明将〃和2分别任意分为m和七个小闭区域八5和,

*1*2

〃1+〃2=〃，作和

n〃i〃2

=X，(务，%)△%+£f(煤，%)A%•

i=\Z]=l，2=1

令各和八巴,的直径中最大值分别为九和4,又则有

图=鸣/“扁，”)△%+妈£/(%，%)△4,

f=lq=1"i2=\

即jj/(x,y)dCT=jj/(x,y)dcr+jjy(x,y)db.

DD}D2

4求由曲面史*+2/及z=6-2*-〃所围成的立体的体积.

解由卜=,+2『消去4得9+2/=6-29-咒即9+六2,故立体在Ry面

z=6-2x1-y2

上的投影区域为V+/W2,因为积分区域关于x及y轴均对称，并且被积函数关于

x,y都是偶函数，所以

V=jjf(6-2x2-},2)-(x2+2y2)]Jcr=jj(6-3x2-3y2)Jcr

DD

=12『(2-x2-y2)d),=8/-yj(2-x2)3dx=6TT.

5(1)求JJarctan)dcr,其中〃是由圆周/+/=4,x+y^l及直线尸0,尸x所围成

DX

的第一象限内的闭区域.

解在极坐标下。={(9)104节,14”2},所以

JJarctanL/cr=jjarctan(tanO')-pdpd6=^OpdpdO

DDD

(2)贝其中〃是由圆周f+4=l及坐标轴所围成的在第一象限内

的闭区域；

解在极坐标下£>={(「,6)10“号,04”1},所以

0只必收z，6守

6计算Q，其中Q是由锥面R、与平面z=h(R>0,力>0)所围成

的闭区域.

解当04z幼时，过(0,0,z)作平行于不勿面的平面，截得立体。的截面为

/+'=区)24—z2

圆2：4'，故。的半径为h,面积为后，于是

dxd

^^zdxdydzjzdzJ\y=述1「吃"=成2九2

Q=2於」)4

7计算下列三重积分：

(1)JJj(X24-y24-Z2)6/v,其中。是由球面f+J+jT所围成的闭区域.

C

解在球面坐标下积分区域。可表示为

于是|Jj(x24-y24-^2)Jv=jJJr4-sin(pdrd(pdO

c。

=d6^m(pd(p^r4dr=^.

(2)JJJzdL其中闭区域O由不等式兀2+丁2+(1_42〈〃2,工2+/2±2所确定.

C

解在球面坐标下积分区域。可表示为

0<0<27i,Q<(p<^0<r<2acos(p,

于是口上八=JjJrcos^9'r2sin(pdrdcpd0

Qc

7T]

=2^-j^sin^cos^—(2^cos^)4t/^

S-7

二8的4I4sin^cos5(pd(p=y7ia^.

J6

(3)W^+y^dv,其中Q是由曲面4孑=25苛+力及平面z=5所围成的闭区域;

c

解在柱面坐标下积分区域C可表示为

0<6><2^,0<p<2,|p<z<5,

于是〕炉+产)小=/珂"sgdz

=2"p3(5-|adp=8".

(4)jjj(x2+y2)Jv,其中闭区域O由不等式0<aWJd+y+z?,zX)所确定.

Q

解在球面坐标下积分区域。可表示为

0<0<27T,0<(p<^,a<r<A,

于是JJf(x2+y2)Jv=JJ/(r2sin29cos2(p+r2sin2^?sin20)r2sin(pdrd(pdd

CQ

=jJdepsiiP的夕,r4dr=^(A5-a5).

8求底面半径相同的两个直交柱面f+y2=R2及f+j：*所围立体的表面积.

解设4为曲面2=配方相应于区域Q：y+)%/?2上的面积.则所求表面积

为A=4A].

A=4]J「(等)2+(善)2/办，=4jjJl+(—7===y)2+02^

iJVdx®加ylR2-X2

dX

=4^4^-x2(1Xdy=4R「点匕*=8R[Rdx=16R2.

9利用三重积分计算下列由曲面所围成立体的质心(设密度片1):

22

z=x+y,x+y=a,x=0,y=0,z=0.

解V=缶『小，『，dz=I%『(x2+y2)dy

=£[x2(a-x)+^(a-x)3]dx

,,1a5

元J""=办，『Z=R=|a,

C-cr

O

y=x=la.x,y对称

之$肝小V"x『dy『'z=畀2,

c

所以立体的重心为.

10—均匀物体(密度。为常量)占有的闭区域Q由曲面和平面zH),Lxha,

lyl=a所围成，

(1)求物体的体积；

解由对称可知

24

=4(dx/(》2+y2)dy=4£(ax+y)Jx=1a.

(2)求物体的质心；

解由对称性知亍=9=0.

m=疗可办厂zdz

C

=,(冗4+2x2y2+y4My

=H'(ax4+^a3x2+争dx=看口2.

⑶求物体关于z轴的转动惯量.

22+>22

解Iz=JJjpC^+y)dv=4p£drdy£(x+y)dz

Q.

=^p^dx£(x4+2x2y2+y4)dy=4p-1|«6=pa6.

11.设面密度为常量〃的匀质半圆环形薄片占有闭区域

O={(x,y,0)IR|W产于</?2，了“}，求它对位于Z轴上点M)(O,0,a)(a>0)处单位

质量的质点的引力F.

解引力F=(FX,Fy,Fz),由对称性,6=0,而

F=G(Jda

xJJ(x2+y2+a2)3/2

哪x2+黑2严=_Ga£deR9*严

=.i一一,J

J昭+q-^R\+a~

12.设均匀柱体密度为p,占有闭区域Q=｛Q,y,z）\x2+y2<R2,0仑幼｝,求它对

于位于点Mo（O,0,。）3〉力）处单位质量的质点的引力.

解由柱体的对称性可知，沿x轴与y轴方向的分力互相抵消，故Fx=Fx=0,

=

4梦（工）2产2人

=G“ST）以」）』+产篝02严

Gp[(a-^dz[月3/2

=2^Gpj^(a-z)f

------------1]<Jz

a-z次+m一>

=271Gp[h+{R2+(a-h)2-，腔+标].

13选择以下各题中给出的四个结论中一个正确的结论:

(1)设有空间闭区域

。产{(x,y,z)|/+y+z2<^,z>0},

d={(x,y,z)|/+y+z~<^,xNO,y>0,z>0},

则有.

(A)ffjxdv=4ffjxdv；(B)jffydV=4jffydv;

C|C|Q

Q22

(0jj|zt/v=4jjjzJv;(J9)jj^xyzdv=4jj^xyzdv.

解（。.

提示：fix,y,z）=x是关于x的奇函数，它在关于yOz平面对称的区域Q上

的三重积分为零，而在d上的三重积分不为零，所以（⑷是错的.类似地，（8）和

（〃）也是错的.

fix,y,z）=z是关于x和y的偶函数，它关于yOz平面和z念面都对称的区

域d上的三重积分可以化为Q在第一卦部分d上的三重积分的四倍.

（2）设有平面闭区域外｛（x,力|-ci<x<a,x<y<a\,〃=｛（x,y）0<A<a,x<y<a\,

则

Jj盯+cosxsiny)dxdy=

D

(A)2[fcosxsinydxdy;(8)2^xydxdy;(04j|cosxsinydxdy;(〃)0.

A£>]Di

解(4.-a±Wa关于y对称

14计算j«)*+3x_6y+9)db,其中庆｛(不力|/^y<lt].

D

解因为积分区域〃关于X轴、y轴对称，所以

口3"0=Jj6ydb=0.

DD

JJ9db=9JJdb=9;rf?2.

DD

因为‘卜2db=Jk2db=3卜2+、2)46

DD乙D

所以jj(y2+3x-6y+9)Jcr=9^?2+^jj(x24-y2)J(T

DD

=9砒2+；『48(隹•pdp=9r[睦.

15在均匀的半径为7?的半圆形薄片的直径上，要接上一个一边与直径等长的同

样材料的均匀矩形薄片，为了使整个均匀薄片的质心恰好落在圆心上，问接上去

的均匀矩形薄片另一边的长度应是多少？

解设所求矩形另一边的长度为〃建立坐标系，使半圆的直径在x轴上，圆

心在原点.不妨设密度为片lg/cm[

由对称性及已知条件可知元=y=o,即

Jjydxdy=0,

D

从而f/etydy=o,

即「~[(R3-x2)-H2]dx=0,

LR2

亦即R3~R2-RH2=Q,

从而H=.RR.

因此，接上去的均匀矩形薄片另一边的长度为

16.求曲抛物线尸V及直线厂1所围成的均匀薄片(面密度为常数〃)对于直

线尸一1的转动惯量.

解抛物线尸V及直线尸1所围成区域可表示为

D={(x,y)|-1<^<1,x<y<l},

所求转动惯量为

/=JJ〃（y+l）2dxdy=4件，2（>+1）2办=34][8-（/+1）3磔=靛〃.

D

17,设在矛处面上有一质量为材的匀质半圆形薄片，占有平面闭域用{（%

y）|/+/<^,y>0},过圆心0垂直于薄片的直线上有一质量为力的质点A8=a.求

半圆形薄片对质点尸的引力.

解设尸点的坐标为（0,0,a）.薄片的面密度为〃=*—=2与.

L兀R2兀R?

2

设所求引力为代（&E,居）.

由于薄片关于y轴对称，所以引力在x轴上的分量£=0,而

F、=G忆喈2、3ndsm即「招广/'叱

）4（/+俨+02）3/2尸J）】）（p2+q2）3/2产

=机〃Gfsin田。f32±2）3/2S=2〃中Gf.22严S

4GmM八R+^a^+R?R、

=-“2一（ln--------------L==T），

兀Ra{a2+R?

Fz=~G%2+黑2）3/2加=一切“4〃。/（02立2）3/2即

第十章

1计算下列对弧长的曲线积分:

QeEdS,其中L为圆周x2+y2=a2,直线y=x及X轴在第一象限内所围成的扇

形的整个边界；

解其中

L=L]+L2+L3,

L\：x=x,y=O(O<x<«),

L<x=acost,y=asint(0<r<—),

L3：x=x,y=x(0<x«春〃)，

因而,e^^ds=[e，于ds+[e^^ds+[e^^ds,

•(L<•4Lj•¥>•)

____n___________________

=je"J12+02dx+pe。J(一〃sin/)2+(acosf)2力+/

=e〃(2+5)—2.a一定要小于B

2设螺旋形弹簧一圈的方程为x=^cosz,y=asint,z=kt,其中0W1W2石

它的线密度p(x,y,z)=x2+y2+z2,求：

(1)它关于z轴的转动惯量A；(2)它的重心.

角不ds=^x2(t)+y，2(t)z2(t)dt=J*+〃2力.

⑴L=[(x2+y2)p(3,z)ds=^(X2+J2)(X2+J2+Z2)J5

=a2(a2+k2t2)yja2+k2dt=y2^a2+k2(3a2+4^r2Z:2).

(2)M=p(x,y,z)ds=£(x2+y2+(a2+k2t2)y[a^k^dt

="|■万J〃2+攵2(3a：+4乃2%2),

元=A['02+)*+z2)ds=/acos/(a2+Z2t2)yja1+k2dt

6nak2

3a2+47r2k2，

y=-L^y(x2+y2+z2)ds=-^~asint(a2+k2t2)y/a2+k2dt

-6加女2

3a2+4/r2k2，

Z=A1z(x2+y2+z2)ds='Rktd+k2t2)yl正甫出

3成(a2+2乃2%2)

3/+4万2攵2

6加攵26如攵23成5+2兀2k2)

故重心坐标为（■■).

3标+4♦攵2，3Q2+4-，3〃2+4%222

3求^xdx+ydy+(x+y-1)dz,其中「是从点(1,1,1)到点(2,3,4)的

一段直线；

解r的参数方程为x=l+t,y=U2t,z=l+3t,t从0变到L

xdx+ydy+(^x+y—V)dz=口(l+f)+2(l+2f)+3(l+f+l+2z-1)]力

=j(6+14f)力=13.

求4dx-dy+ydz,其中「为有向闭折线48c4,这里的4,8,C

依次为点(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1);

解r=AB+BC+CA,其中

AB:x=x,y=l-x,z=0,x从1变至U0,

BC:x=0,y=l-z,z=z,z从。变到1,

CA:x=x,y=0,z=l-x,1从0变到1,

故^dx-dy+ydz=(dx-dy-^ydz-^jdx-dy+ydz+(dx-dy+ydz

=f”(D3+口-a-z)'+(l-z)M+[dx=1.

4一力场由沿横轴正方向的常力F所构成，试求当一质量为m

的质点沿圆周/+/=/?2按逆时针方向移过位于第一象限的那一段时

场力所作的功.

解已知场力为尸=（炉1,0）,曲线L的参数方程为

x=Rcos8,y=Rsin”

夕从0变到于是场力所作的功为

n

W=^Fdr=^\F\dx=^\F\-（-RsinO）d0=-\F\R.

设z轴与力方向一致，求质量为m的质点从位置（Xi,yi,zi）

沿直线移到3,九Z2）时重力作的功.

解已知F=（0,0,mg）.设r为从3,乃,zi）到3,”,Z2）的直线,

则重力所作的功为

-

W=dr=0dx+Ody+mgdz=mgJdz=mg（z2Zi）•

5设「为曲线x=f,y=P,4户上相应于，从0变到1的曲线弧，

把对坐标的曲线积分[Pdx+。办，+我也化成对弧长的曲线积分.

解曲线「上任一点的切向量为

E,2/,3/）=（l,2x,3y）,

单位切向量为

1

(cosa,cosAcos/)=e(L2x,3y),

T41+2必+9廿

Pdx+Qdy+Rdz=j[Pcosa+Qcos£+Rcosy]c/s

,fP+2xQ+3yR,

一1jl+4=+9y24s.

6利用曲线积分，求星形线x=acos3f,y=asii?f;所围成的图形的面积:

解A=j-ydx-0一asin3f.3acos2f•(-sinf)力

=3a2^sin4/cos2tdt='l^2■

7计算曲线积分!翥翳，其中L为圆周（x-1y+/=2,L的方

向为逆时针方向.

解尸=就丙0=号号当入外0时

迤=空=/一）,2/一/=

dxdy2（，+）,2）22（7+廿）2,

在L内作逆时针方向的£小圆周

I:x=£cos“y=^sin^[0<0<2

在以L和/为边界的闭区域“上利用格林公式得

扔Zx+0dy=JJ卷-^-)dxdy=0,

L+l-Df

即<^Pdx+Qdy=-(^Pdx+Qdy=<^Pdx+dy.

jydx-xdy_/)心一皿=产一内屋。一/cos2。1荏7T-

因此4fde-

*-2(x2+y2)32(%2+y2)—L2s22力

8[(2盯3_y2cosx)dx+(l-2ysinx+3x2y2)dy,其中L为在抛物线

2x=7?y2上由点(0,0)至lj令,1)的一段弧；

解P=2x),3-y2cosx,2=l-2ysinx+3x2y2,

4^---=(-2ycosx+6xy2)-(6xy2-2ycosx)=0,

oxdy

所以由格林公式

PdX+Qdy=

LoA+OB1J修—普心办，=0,

D7

其中L、04、0B、及。如图所示.

故[Pdx+Qdy^ABPdx+Qdy

=50公+(Q-2y+亨丹爪箸

9证明x一,在整个孙,平面除去y的负半轴及原点的区域G内是某个二元

函数的全微分，并求出一个这样的二元函数.

解这里P=F^,。=/^.显然，区域G是单连通的，P和。在G内具

x'+yzx+y

有一阶连续偏导数，并且

3P二一2x)；=0。

dy(x2+y2)2dx'

所以哗理在开区域G内是某个二元函数“(x,y)的全微分.

+22

“(X,y)=铐"雯=r~^f2y2dy=hn(x+y)+C.

注意(1,0)c

10当z是X。)，面内的一个闭区域时，曲面积分Jj7(x,y,z)dS与二重积分有什

£

么关系？

解Z的方程为z=0,(x,y)e。，

dS=Jl+z：+z；dxdy=dxdy,

故JJf(%,y,z)dS=^f(x,y,z)dxdy.

D

11计算/卜+V环，其中z是：

(1)锥面Z=J?可及平面Z=1所围成的区域的整个边界曲面；

解将Z分解为2=为+无，其中

21：z=l,Dj：X24-J,2<1,dS=dxdy;

21：z=J-2+y2,%2+y2<i,dS="l+z：+z；d%dy=-J2dxdy.

Jk+VRSnjpx+yws+jjy+yws

E%工2

=J,x2+y2)dxdy+^x^+y2}dxdy

AD2

小”r3dr+可何r3dr

.V21+V2

=—H--—71—―--71.

222______

提示：dS=Jl+—^~^-+—r^dxdy=42dxdy.

一\/+%2+y2,

(2)锥面z2=3(d+y2)被平面.0及z=3所栈得的部分.

解Z：Z=V^J%2+y2,Dxy,f+Jq,

dS=J]+zj+z；dxdy=2dxdy,

因而jj(x2+y2)JS=^x2+y2yidxdy=^d3^r22rdr=^7i.

z

D1Y

6x

提示：dS=Jl+[,-------]2+[,-Y-d-x-d-y-=-2dxdy.

213(下+俨)2)3(下+歹2)

12计算下列对坐标的曲面积分：

(1)[卜2y2zdMy其中z是球面x2+y2+z2^2的下半部分的下侧;

解E的方程为Z=—JR2—x2-y2,。灯：f+y2，R,于是

^^y^zdxdy=-Jjx2y2(__冗2_y2)dxdy

E%

=jjd-j-co「夕产sin夕\//?2一户.汨「

二.J/?'-八.

(2)JJzdxdy+xdydz+ydzdx,其中z是柱面x2+y2=l被平面z=0及

z=3所截得的第一卦限内的部分的前侧；

解2在X。)，面的投影为零，故JJzdxdy=0.

z

2可表示为x=y][-y2,(y,Z)£QK={(>,Z)I0<><1,04z«3},故

j卜仪=^yll-y2dydz=jdz^l-y2dy=3(丁-闷))

ZDyz

2可表示为y=Ji3,(z？x)eD^={(z,x)IO<z<3,0<¥<l},故

^ydzdx=^>Jl-x2dzdx=yjl-x2dx=3>jl-x2dx.

£D.r

因止匕jjzdxdy+xdydz+ydzdx=2(3^\-x2dx)=6x^=1■乃.

解法二2前侧的法向量为〃=(2x,2y,0),单位法向量为

1

(COS6Z,COS/?,COS/)=(x,y,0),

^x2+y2

由两种曲面积分之间的关系,

jJzdxdy+xdydz+ydzdx=J«xcos2+ycosp+zcosy)dS

EZ

提示：[ps表示曲面的面积.

(3)^f(x,y,z)+x]dydz+[2f(x,y,z)+y]dzdx+[f(x,y,z)+z]dxdy,其中

工

/(北乂名)为连续函数,2：是平面4y+2=1在第四卦限部分的上侧；

解曲面Z可表示为z=l-x+y,(x,y)eDp={(x,y)IO<x<l,0<y<x-l},

2上侧的法向量为n=(l,-l,1),单位法向量为

由两类曲面积分之间的联系可得

/(尤，乂z)+xM)0z+[2/(x,乂z)+y]dzdx+[f(x,乂z)+z]dxdy

z

=jj[(/+x)coscr+(2/+y)cos£+(/+z)cos7]JS

z

=!«/+幻心+(2/+)>(-专)+(/+。卡瑟

=为卜7+*=古JJdS=\\dxdy=^.

x'%

(4)(^xzdxdy4-xydydz+yzdzdx,其中2是平面x=0,y=0,z=0,x+y+z=l

所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧.

解工=工]+£2+23+24,其中

Si：x=0,Dyz:0<y<l,0<z<l-y,

无：y=0,D^:0<zl,0<x<l-^,

区：z=0,Dxy\0<x<l,0<y<l-x,

，4：z=l-x-y,Dxy:0<r<l,0<^<l-x,

于是^xzdxdy=|j+jp-jj+jj=0+0+0+^xzdxdy

ZZ]z2s3L4E4

=^x(y-x-y)dxdy=fxdx]，(lr-y)dy==.

由积分变元的轮换对称性可知

<^xydydz.=<^yzdzdx==.

因此^xzdxdy+xydydz+yzdzdx=3><击=*

z

解S=Z14-S2+Z3+Z4,其中为、L2>区是位于坐标面上的三块;

，4：z=l-x-y9Dxy:0<x<l,0<)?<l-x.

显然在勿、工2、区上的曲面积分均为零，于是

丹adxdy+xydydz+yzdzdx

=j^xzdxdy+xydydz+yzdzdx

Jj(xycosa+yzcos/?+xzcosy)dS

%

V3JjXy+yz+%z)dS=3U【xy+(x+y)(l-x-y)Wxdy=/.

Dxy

13设u(x,y,z)、v(x,y,z)是两个定义在闭区域。上的具有二阶连续

偏导数的函数，雪，”依次表示〃(x,y,z)、v(x,y,z)沿E的外法线方向

onon

的方向导数.证明

„小一必〃)dxdydz=曲〃等-以器)dS,

cz

其中Z是空间闭区间。的整个边界曲面，这个公式叫作林第二公式.

证明由第一格林公式(见书中例3)知

梦霖+就普"办以

=朔豕一肝)dxdydz,

dxdxdydydz及

Q

即票+整需M"

可豕一J%当黑+黑)小如

将上面两个式子相减，即得

/嘿+整的嚓+第静…

到噎〜景s.

2

14利用高斯公式推证阿基米德原理：浸没在液体中所受液体的压力

的合力(即浮力)的方向铅直向上，大小等于这物体所排开的液体的重力.

证明取液面为xOy面,z轴沿铅直向下，设液体的密度为0,在物

体表面E上取元素dS上一点，并设Z在点(x,y,z)处的外法线的方向余

弦为coscz,cos/7,cosy,则dS所受液体的压力在坐标轴x,y,z上的分量

分别为

-p^.cosadS,-pzcos/3dS,-pzcosydS,

Z所受的压力利用高斯公式进行计算得

Fx=可-pzcosadS=j||0Jv=0,

4=可-/cos及/S=jj|(Wv=O,

ZQ

4/cos渣=JJj-Rv=-pj|pv=-/?IQI,

n

其中ie为物体的体积.因此在液体中的物体所受液体的压力的合力，

其方向铅直向上，大小等于这物体所排开的液体所受的重力，即阿基

米德原理得证.

15利用斯托克斯公式，计算下列曲线积分：

⑴4(y-z)dz+(z-x)dy+(x—y)dz,其中「为椭圆f+yD'+京=1

(a>0,。>0),若从x轴正向看去，这椭圆取逆时针方向；

解设Z为平面工+壬=1上「所围成的部分，则E上侧的单位法

ab

向量为

b

〃=(cosa,cos民cosy)=(0,r

yla2+b2da1+b2

cosacos夕cos/

于是j(y-z)dx+(z-x)dy+(x-y)dz="言言ydS

工y-zz-xx-y

=jj(-2cosa-2cos/?-2cos/)t/S--^===JJdS

22

-2(〃+/7)ffV^+Z?dxdy=2(Q+A)/^办,--2m(a+h).

a2+b2pJJaa%

xy

提示:2(即24-加)的面积元素为4=、1+也b)2公力=业a2止+b公2办，.

aaa

(2)(^3ydx-xzdy+yz2dz,其中「为圆周x'+y1=2z,z=2,若从z轴的

正向看去，这圆周是取逆时针方向；

解设Z为平面z=2上「所围成的部分的上侧，则

dydzdzdxdxdy

^3ydx-xzdy-\-yvdz=J且且。

dxdydz

3y-xzyz2

2

=J«z2+x)dydz-(z+3)dxdy=一5乃x2=-204

16利用斯托克斯公式把曲面积分“rotA.〃dS化为曲线积分，并计算积分值,

其中A、E及〃分别如下：

222

(1)A=yi^xyj^xzk,S为上半球面z=A/l-x-y,的上侧,〃是工的

单位法向量；

解设2的边界「：」+『二1,"0,取逆时针方向，其参数方程为

x=cos"产sin"z=0(04/2区

由托斯公式

JjrotAnJS=Pdx+Qdy+Rdz=4y2dx+xydy+xzdz

=『白也2。(-sin6)+cos2esine]de=0.

(2)4=。-z)i+)⑵rzA,2为立方体0<x<2,0<y<2,0<z<2的表面外侧

去掉xOy面上的那个底面,〃是2的单位法向量.

角用jjrotAnJ5二Pdx+Qdy+Rdz

^(y-x)dx+yzdy+(-xz)dz=ydx=f2Jx=-4

16选择下述题中给出的四个结论中一一个正确的结论：

设曲面2是上半球面:x2+y2+z2=/?2(z>0),曲面心是曲面2在

第一卦限中的部分，则有.

⑷“MS=4j]xdS;(8)JJydS=4J"

(O-4jjxJS;(£))JJqzdS-4JJxyzdS.

E%S%

解(C).

17求力F=yi+^+xk沿有向闭曲线「所作的功，其中r为平面x+)，+z=l被三个坐标面所截成

的三角形的整个边界，从z轴正向看去，沿顺时针方向.

解设£为平面x+y+z=l在第一卦部分的下侧，则力场沿其边界L(顺时针方向)所作的功

为

w=

曲面£的的单位法向量为〃=1,l)=(cosa,cos力cosy),由斯托克斯公式有

cosacos/?cos/

yzx

IJ«-l—1-l)dS=百JpS=>/3~(V2)2sin^=3

Lg232

18计算下列曲面积分：

(1)K『噂f