（课标全国版）高考数学第一轮复习讲练测 第54讲 二项分布与正态分布（练）原卷版+解析

第54讲二项分布与正态分布【练基础】1．如果生男孩和生女孩的概率相等，则有3个小孩的家庭中女孩多于男孩的概率为()A.eq\f(2,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,4) D.eq\f(1,4)2．甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为()A．0.12 B．0.42C．0.46 D．0.883．设随机变量ξ服从正态分布N(μ，7)，若P(ξ<2)＝P(ξ>4)，则μ与D(ξ)的值分别为()A．μ＝eq\r(3)，D(ξ)＝eq\r(7) B．μ＝eq\r(3)，D(ξ)＝7C．μ＝3，D(ξ)＝7 D．μ＝3，D(ξ)＝eq\r(7)4．用电脑每次可以自动生成一个(0,1)内的实数，且每次生成每个实数都是等可能的，若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都大于eq\f(1,3)的概率为()A.eq\f(1,27) B．eq\f(2,3)C.eq\f(8,27) D．eq\f(4,9)5．甲、乙、丙三人参加学业水平测试，已知他们通过测试的概率分别为eq\f(1,3)，eq\f(1,2)，eq\f(2,3)，且每人是否通过测试相互独立，则这三人中至少有一人通过测试的概率为()A.eq\f(1,9) B.eq\f(1,2)C.eq\f(7,8) D.eq\f(8,9)6．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)＝2.4，P(X＝4)＜P(X＝6)，则p＝()A．0.7 B．0.6C．0.4 D．0.37．有歌唱道：“江西是个好地方，山清水秀好风光．”现有甲、乙两位游客慕名来到江西旅游，分别准备从庐山、三清山、龙虎山和明月山4个著名旅游景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件A：甲和乙至少一人选择庐山，事件B：甲和乙选择的景点不同，则条件概率P(B|A)＝()A.eq\f(7,16) B.eq\f(7,8)C.eq\f(3,7) D.eq\f(6,7)8．某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为eq\f(1,2)，两次闭合后都出现红灯的概率为eq\f(1,5)，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为()A.eq\f(1,10) B．eq\f(1,5)C.eq\f(2,5) D．eq\f(1,2)9.在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(－1,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.9544.A．1193 B．1359C．2718 D．341310．一台机床有eq\f(1,3)的时间加工零件A，其余时间加工零件B.加工零件A时，停机的概率为eq\f(3,10)，加工零件B时，停机的概率是eq\f(2,5)，则这台机床停机的概率为()A.eq\f(11,30) B．eq\f(7,30)C.eq\f(7,10) D．eq\f(1,10)【练提升】1．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得白球数为X，已知E(X)＝3，则D(X)＝()A.eq\f(8,5) B.eq\f(6,5)C.eq\f(4,5) D.eq\f(2,5)2．箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为()A.eq\f(C\o\al(3,5)C\o\al(1,4),C\o\al(4,5)) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,9)))3×eq\f(4,9)C.eq\f(3,5)×eq\f(1,4) D．Ceq\o\al(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,9)))3×eq\f(4,9)3．某班有48名学生，一次数学考试的成绩近似地服从正态分布，平均分为80，标准差为10，理论上说在80分到90分的人数约为()附：若随机变量X～N(μ，σ2)(σ>0)，则P(μ－σ<X<μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ<X<μ＋3σ)≈0.9973.A．32 B．16C．8 D．244．已知1号箱中有2个白球和4个红球、2号箱中有5个白球和3个红球，现随机从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出一球，则两次都取到红球的概率是________．5．某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18,19,20层停靠．若该电梯在底层有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为eq\f(1,3)，用X表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，则P(X＝4)＝________.6．对一个物理量做n次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差εn～Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,n)))，为使误差εn在(－0.5,0.5)的概率不小于0.9545，至少要测量________次(若X～N(μ，σ2)，则P(|X－μ|＜2σ)＝0.9545)．7．已知1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出一球，则两次都取到红球的概率为________．8．某乒乓球俱乐部派甲、乙、丙三名运动员参加某运动会的个人单打资格选拔赛，本次选拔赛只有出线和未出线两种情况．若一个运动员出线记1分，未出线记0分．假设甲、乙、丙出线的概率分别为eq\f(2,3)，eq\f(3,4)，eq\f(3,5)，他们出线与未出线是相互独立的．(1)求在这次选拔赛中，这三名运动员至少有一名出线的概率；(2)记在这次选拔赛中，甲、乙、丙三名运动员所得分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E(ξ)．9．九节虾的真身是虎斑虾，虾身上有一深一浅的横向纹路，煮熟后有明显的九节白色花纹，肉味鲜美．某酒店购进一批九节虾，并随机抽取了40只统计质量，得到的结果如下表所示：质量/g[5,15)[15,25)[25,35)[35,45)[45,55]数量4121185(1)若购进这批九节虾35000g，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批九节虾的数量(所得结果保留整数)；(2)以频率估计概率，若在本次购买的九节虾中随机挑选4只，记质量在[5,25)间的九节虾的数量为X，求X的分布列．10．高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行，更带动了我国经济的巨大发展，据统计，在2019年这一年内从A市到B市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为50万人次．为了解乘客出行的满意度，现从中随机抽取100人次作为样本，得到下表(单位：人次)：满意度老年人中年人青年人乘坐高铁乘坐飞机乘坐高铁乘坐飞机乘坐高铁乘坐飞机10分(满意)1212022015分(一般)2362490分(不满意)106344(1)在样本中任取1个，求这个出行人恰好不是青年人的概率．(2)在2019年从A市到B市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取2人次，记其中老年人出行的人次为X.以频率作为概率，求X的分布列和数学期望．(3)如果甲将要从A市出发到B市，那么根据表格中的数据，你建议甲是乘坐高铁还是飞机？并说明理由．第54讲二项分布与正态分布【练基础】1．如果生男孩和生女孩的概率相等，则有3个小孩的家庭中女孩多于男孩的概率为()A.eq\f(2,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,4) D.eq\f(1,4)【答案】B【解析】设女孩个数为X，女孩多于男孩的概率为P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝Ceq\o\al(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2×eq\f(1,2)＋Ceq\o\al(3,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＝3×eq\f(1,8)＋eq\f(1,8)＝eq\f(1,2).2．甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为()A．0.12 B．0.42C．0.46 D．0.88【答案】D【解析】因为甲、乙两人是否被录取相互独立，又因为所求事件的对立事件为“两人均未被录取”，由对立事件和相互独立事件概率公式，知P＝1－(1－0.6)×(1－0.7)＝1－0.12＝0.88.3．设随机变量ξ服从正态分布N(μ，7)，若P(ξ<2)＝P(ξ>4)，则μ与D(ξ)的值分别为()A．μ＝eq\r(3)，D(ξ)＝eq\r(7) B．μ＝eq\r(3)，D(ξ)＝7C．μ＝3，D(ξ)＝7 D．μ＝3，D(ξ)＝eq\r(7)【答案】C【解析】∵随机变量ξ服从正态分布N(μ，7)，∴正态曲线关于x＝μ对称．∵P(ξ<2)＝P(ξ>4)，∴μ＝eq\f(2＋4,2)＝3，D(ξ)＝σ2＝7.4．用电脑每次可以自动生成一个(0,1)内的实数，且每次生成每个实数都是等可能的，若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都大于eq\f(1,3)的概率为()A.eq\f(1,27) B．eq\f(2,3)C.eq\f(8,27) D．eq\f(4,9)【答案】C【解析】由题意可得，用该电脑生成1个实数，且这个实数大于eq\f(1,3)的概率为P＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)，则用该电脑连续生成3个实数，这3个实数都大于eq\f(1,3)的概率为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3＝eq\f(8,27).故选C.5．甲、乙、丙三人参加学业水平测试，已知他们通过测试的概率分别为eq\f(1,3)，eq\f(1,2)，eq\f(2,3)，且每人是否通过测试相互独立，则这三人中至少有一人通过测试的概率为()A.eq\f(1,9) B.eq\f(1,2)C.eq\f(7,8) D.eq\f(8,9)【答案】D【解析】所求事件的对立事件为“三人均未通过测试”，概率为eq\f(2,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,9)，故至少有一人通过测试的概率为1－eq\f(1,9)＝eq\f(8,9).故选D.6．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)＝2.4，P(X＝4)＜P(X＝6)，则p＝()A．0.7 B．0.6C．0.4 D．0.3【答案】B【解析】由题知X～B(10，p)，则D(X)＝10×p×(1－p)＝2.4，解得p＝0.4或0.6.又∵P(X＝4)＜P(X＝6)，即Ceq\o\al(4,10)p4(1－p)6＜Ceq\o\al(6,10)p6(1－p)4⇒(1－p)2＜p2⇒p＞0.5，∴p＝0.6，故选B.7．有歌唱道：“江西是个好地方，山清水秀好风光．”现有甲、乙两位游客慕名来到江西旅游，分别准备从庐山、三清山、龙虎山和明月山4个著名旅游景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件A：甲和乙至少一人选择庐山，事件B：甲和乙选择的景点不同，则条件概率P(B|A)＝()A.eq\f(7,16) B.eq\f(7,8)C.eq\f(3,7) D.eq\f(6,7)【答案】D【解析】由题知，事件A：甲和乙至少一人选择庐山共有n(A)＝Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1,3)＋1＝7种情况，事件AB：甲和乙选择的景点不同，且至少一人选择庐山，共有n(AB)＝Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1,3)＝6种情况，所以P(B|A)＝eq\f(nAB,nA)＝eq\f(6,7).8．某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为eq\f(1,2)，两次闭合后都出现红灯的概率为eq\f(1,5)，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为()A.eq\f(1,10) B．eq\f(1,5)C.eq\f(2,5) D．eq\f(1,2)【答案】C【解析】设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A，“第二次闭合后出现红灯”为事件B，则由题意可得P(A)＝eq\f(1,2)，P(AB)＝eq\f(1,5)，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合出现红灯的概率是P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(1,5),\f(1,2))＝eq\f(2,5).故选C.9.在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(－1,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.9544.A．1193 B．1359C．2718 D．3413【答案】B【解析】对于正态分布N(－1,1)，可知μ＝－1，σ＝1，正态曲线关于直线x＝－1对称，故题图中阴影部分的面积为eq\f(1,2)×[P(－3<X<1)－P(－2<X<0)]＝eq\f(1,2)×[P(μ－2σ<X<μ＋2σ)－P(μ－σ<X<μ＋σ)]＝eq\f(1,2)×(0.9544－0.6826)＝0.1359，所以点落入题图中阴影部分的概率P＝eq\f(0.1359,1)＝0.1359，投入10000个点，落入阴影部分的个数约为10000×0.1359＝1359.故选B.10．一台机床有eq\f(1,3)的时间加工零件A，其余时间加工零件B.加工零件A时，停机的概率为eq\f(3,10)，加工零件B时，停机的概率是eq\f(2,5)，则这台机床停机的概率为()A.eq\f(11,30) B．eq\f(7,30)C.eq\f(7,10) D．eq\f(1,10)【答案】A【解析】假设总时间为1，则在1时间内，加工零件A停机的概率是eq\f(1,3)×eq\f(3,10)＝eq\f(1,10)，加工零件B停机的概率是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq\f(2,5)＝eq\f(4,15)，所以这台机床停机的概率是eq\f(1,10)＋eq\f(4,15)＝eq\f(11,30).【练提升】1．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得白球数为X，已知E(X)＝3，则D(X)＝()A.eq\f(8,5) B.eq\f(6,5)C.eq\f(4,5) D.eq\f(2,5)【答案】B【解析】由题意知，X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(3,m＋3)))，∴E(X)＝5×eq\f(3,m＋3)＝3，解得m＝2，∴X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(3,5)))，∴D(X)＝5×eq\f(3,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,5)))＝eq\f(6,5).故选B.2．箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为()A.eq\f(C\o\al(3,5)C\o\al(1,4),C\o\al(4,5)) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,9)))3×eq\f(4,9)C.eq\f(3,5)×eq\f(1,4) D．Ceq\o\al(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,9)))3×eq\f(4,9)【答案】B【解析】由题意知，第四次取球后停止是当且仅当前三次取的球是黑球，第四次取的球是白球的情况，此事件发生的概率为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,9)))3×eq\f(4,9).3．某班有48名学生，一次数学考试的成绩近似地服从正态分布，平均分为80，标准差为10，理论上说在80分到90分的人数约为()附：若随机变量X～N(μ，σ2)(σ>0)，则P(μ－σ<X<μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ<X<μ＋3σ)≈0.9973.A．32 B．16C．8 D．24【答案】B【解析】∵数学成绩近似地服从正态分布N(80,102)，P(|X－μ|<σ)＝0.6827，∴P(|X－80|<10)＝0.6827.根据正态曲线的对称性知位于80分到90分之间的概率是位于70分到90分之间的概率的一半，∴理论上说在80分到90分的人数约为eq\f(0.6827,2)×48≈16.故选B.4．已知1号箱中有2个白球和4个红球、2号箱中有5个白球和3个红球，现随机从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出一球，则两次都取到红球的概率是________．【解析】设“从1号箱取到红球”为事件A，“从2号箱取到红球”为事件B.由题意，P(A)＝eq\f(4,2＋4)＝eq\f(2,3)，P(B|A)＝eq\f(3＋1,8＋1)＝eq\f(4,9)，所以P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝eq\f(4,9)×eq\f(2,3)＝eq\f(8,27)，所以两次都取到红球的概率为eq\f(8,27).【答案】eq\f(8,27)5．某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18,19,20层停靠．若该电梯在底层有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为eq\f(1,3)，用X表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，则P(X＝4)＝________.【解析】由题意知，X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(1,3)))，则P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))k×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))5－k，k＝0,1,2,3,4,5.故P(X＝4)＝Ceq\o\al(4,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))1＝eq\f(10,243).【答案】eq\f(10,243)6．对一个物理量做n次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差εn～Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,n)))，为使误差εn在(－0.5,0.5)的概率不小于0.9545，至少要测量________次(若X～N(μ，σ2)，则P(|X－μ|＜2σ)＝0.9545)．【解析】根据正态曲线的对称性知：要使误差εn在(－0.5,0.5)的概率不小于0.9545，则(μ－2σ，μ＋2σ)⊂(－0.5，0.5)且μ＝0，σ＝eq\r(\f(2,n))，∴0.5≥2eq\r(\f(2,n))⇒n≥32.【答案】327．已知1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出一球，则两次都取到红球的概率为________．【解析】设“从1号箱取到红球”为事件A，“从2号箱取到红球”为事件B.由题意，P(A)＝eq\f(4,2＋4)＝eq\f(2,3)，P(B|A)＝eq\f(3＋1,8＋1)＝eq\f(4,9)，所以P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝eq\f(4,9)×eq\f(2,3)＝eq\f(8,27)，所以两次都取到红球的概率为eq\f(8,27).【答案】eq\f(8,27)8．某乒乓球俱乐部派甲、乙、丙三名运动员参加某运动会的个人单打资格选拔赛，本次选拔赛只有出线和未出线两种情况．若一个运动员出线记1分，未出线记0分．假设甲、乙、丙出线的概率分别为eq\f(2,3)，eq\f(3,4)，eq\f(3,5)，他们出线与未出线是相互独立的．(1)求在这次选拔赛中，这三名运动员至少有一名出线的概率；(2)记在这次选拔赛中，甲、乙、丙三名运动员所得分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E(ξ)．【解析】(1)记“甲出线”为事件A，“乙出线”为事件B，“丙出线”为事件C，“甲、乙、丙至少有一名出线”为事件D，则P(D)＝1－P(eq\x\to(A)eq\x\to(B)eq\x\to(C))＝1－eq\f(1,3)×eq\f(1,4)×eq\f(2,5)＝eq\f(29,30).(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3.P(ξ＝0)＝P(eq\x\to(A)eq\x\to(B)eq\x\to(C))＝eq\f(1,30)，P(ξ＝1)＝P(Aeq\x\to(B)eq\x\to(C))＋P(eq\x\to(A)Beq\x\to(C))＋P(eq\x\to(A)eq\x\to(B)C)＝eq\f(13,60)，P(ξ＝2)＝P(ABeq\x\to(C))＋P(Aeq\x\to(B)C)＋P(eq\x\to(A)BC)＝eq\f(9,20)，P(ξ＝3)＝P(ABC)＝eq\f(3,10).所以ξ的分布列为ξ0123Peq\f(1,30)eq\f(13,60)eq\f(9,20)eq\f(3,10)故E(ξ)＝0×eq\f(1,30)＋1×eq\f(13,60)＋2×eq\f(9,20)＋3×eq\f(3,10)＝eq\f(121,60).9．九节虾的真身是虎斑虾，虾身上有一深一浅的横向纹路，煮熟后有明显的九节白色花纹，肉味鲜美．某酒店购进一批九节虾，并随机抽取了40只统计质量，得到的结果如下表所示：质量/g[5,15)[15,25)[25,35)[35,45)[45,55]数量4121185(1)若购进这批九节虾35000g，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批九节虾的数量(所得结果保留整数)；(2)以频率估计概率，若在本次购买的九节虾中随机挑选4只，记质量在[5,25)间的九节虾的数量为X，求X的分布列．【解析】(1)由表中数据可以估计每只九节虾的质量为eq\f(1,40)×(4×10＋12×20＋11×30＋8×40＋5×50)＝29.5(g)，因为35000÷29.5≈1186(只)，所以这批九节虾的数量约为1186只．(2)由表中数据知，任意挑选1只九节虾，质量在[5,25)间的概率p＝eq\f(4＋12,40)＝eq\f(2,5)，X的所有可能取值为0,1,2,3,4，则P(X＝0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))4＝eq\f(81,625)，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,4)×eq\f(2,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))3＝eq\f(216,625)，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2＝eq\f(216,625)，P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))3×eq\f(3,5)＝eq\f(96,625)，P(X＝4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))4＝eq\f(16,625).所以X的分布列为X01234Peq\f(81,625)eq\f